考研数学高数习题集及其答案

1函数、极限、连续

填空题

1.已知/(x)=sinX,f[(p{x}\=1-x2,则9(x)=,定义域为.

解./[^(x)]=sin(p{x}=1-x2,(p{x}=arcsin(l-x2)

-1<1-%2<1,0<x2<2,|x|<V2

]+yax.

----=ftddt,则a=_______.

[XJJ—CO

a

解.可得e"=fte'dgQd-e1)=aea-ea,所以a=2.

J—00

—00

r(12n

lim-------1—z----------------1-------1—2---------------

+〃+1n+n+2〃+〃+〃

12n

解.

12n12n

~?--------------1-----5-------5------<-5---------------1-----5----+--­••+—；---------

YI+7?+172+7?+2n+n+nn+〃+1n+〃+1n+n+1

1+2H--------1-n12n1+2H--------1-n

所以______________<____________।______________________________<_______________

n1+n+nn2+n+ln2+n+2n2+n+nn2+n+1

n(l+n)

l+2-i----1-n21

—--幺-------->—

2)

n+n+nn+n+n2

n(l+n)

1+2H--------bn_21

)

n2+n+1n2+n+l2

n

所以—+—+…+2

〃foo(n+〃+ln+〃+2n+几+〃2

1IXl<1

4.已知函数/"(%)=<，则f[f(x)]______.

0|X|>1

解.f[f(x)]=1.

5.lim(J〃+3G_个n_4n)=.

M—>CO

lim(，几+34-yln-4n)=lim

解.

n—>oo

「n+3Vn—n+J~n.

=lim,---1=2

勿+3n+dn-yl~n

6.设当九—0时，/(%)=ex一匕竺为x的3阶无穷小，则a=,b=.

1+bx

\+ax

ex+bxex-1-axex+bxex-1-ax

解.左=lim-----!+"在"lim=lim

0冗3%.ox3(1+bx)x->0x3

ex+bex+bxex-a

二lim(1)

x—>03x2

二lim(2)

%-o6x2

由(1)：lim(e"+bex+bxex-〃)=1+6一〃=0

%-o

由(2)：lim(e'+2bex+bxex)=1+2/?=0

x—>0

b.11

b「，Cl——

2

7.limcotx----

%-。Isin%

A「cosxx-sinx「x-sinxr1-cosx「sinx1

解.lim--------------=lim---------=lim--------=lim----=—

2

xfosinxxsinx工一°xx-o3%6%6

.990

8.已知lim—7-----------------------7-=A(o)，则A二，k二

k

…n_(„_y

M1990M1990

解.lim----------1=lim—----=A

0li

fn_(n_i)"iskri"'+…

所以k-1=1990,k=1991;—=A,A=—=----

kk1991

选择题

1.设f(x)和(X)在(一,+)内有定义，f(x)为连续函数，且Hx)0,(x)有间断点，则

(p(x)

(a)"(x)]必有间断点(b)[J)],必有间断点(c)f[(x)]必有间断点(d)"工必有间断点

于(X)

1I%|<1

解.(a)反例夕⑴=j0,f(x)=1,贝IJ[f(x)]=1

|XI〉1

1|X|<1

(b)反例夕(X)=〈，，(X)]'=1

-1IX|>1

1|x|<l

(c)反例(p(x)=<f[x)=1,则尸[(£)]=

0Ix|>1

处1在(一