考研数学二矩阵

考研数学二矩阵

1.【单项选择题】A,B都是n阶矩阵，下列命题中正确的是

A.ABWO=AWO且BWO.

B.如AB=O,则必有A=0或B=0.

C.如AB=O,则|A|=0或|B|=0.

D.如AB=B,贝UA=E.

正确答案：C

参考解析：由行列式乘法公式IAB|=|A||B|.

当AB=O时,有|A||B|二0所以|A|和|B|至少有一个为0,即(C)正确.

令A=,则AB=o][°J

可知(A)(B)均不正确.

■1-，则AB=r1■「2■•2-

令A=,B==B.

_0.0JoJL0..0.

但AWE•知(D)不正确.

2.【单项选择题】已知A是任意一个n阶矩阵，则

①A+A'；②A-A'；③AA\④AA*；⑤A’A.上述矩阵中，对称矩阵一共有

A.2个.

B.3个.

C.4个.

D.5个.

正确答案：C

参考解析：(A+AT)T=AT+(AT)T=A+AT

(AAT)T=(AT)TAT=AAT

(ATA)T=AT(AT)T=ATA

AA*=|A|E,所以①②③⑤均是对称矩阵

而(AH)T=AJ(A，)T=-(A-AT)是反对称矩阵

3.【单项选择题】下列矩阵中，初等矩阵是

-100'

002.

A.10.

'010"

001.

B.Ll00.

100'

020.

C.00-1

'l0>/2

010.

D.001

正确答案：D

参考解析：单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵是初等矩阵，而(A)(B)(C)

均需要单位矩阵作两次初等变换才能得到.

4.1单项选择题】已知A是n阶可逆矩阵，若A〜B,则下列命题中

①AB〜BA,(2)A2-B2,③K〜B\④A，〜Bl

正确的命题共有

A.4个.

B.3个.

C.2个.

D.1个.

正确答案：A

参考解析：由于矩阵A可逆，有

A=BA

按相似定义知AB〜BA.即命题①正确.

因为A〜故存在可逆矩阵。使/-AP=从那么

B?=(PAP)(PA/*)=PA-P

B1=(PA?)-=P'A“PVT=pA'P

B=(PAP)T=PrAT(Pl)T=[(P1)T]'AT(P1)T

按相似定义知命题②③④也均正确.故应选(A).

5.【单项选择题】已知A,B,C均为n阶矩阵，则运算法则中错误的是

A.(A+B)+C=(C+B)+A.

B.(AB)C=A(BC).

C.(A+B)C=AC+BC.

D.A(B+C)=BA+CA.

正确答案：D

参考解析：矩阵加法有交换律、结合律，(A)正确.

矩阵乘法有结合律，(B)正确.

矩阵加法乘法有分配律，(C)正确.

矩阵乘法没有交换律，(D)错误.

6.【单项选择题】

设”维行向量0=(1,0,…,0,；卜4=E—cra.8=E+2a，a,则AB为().

A.0

B.-E

C.E

D.E+a1a

正确答案：C

安以⑺w由aa'=1•得AB=(E-aTa)(E-F2aTa)=E.选(C).

笏考斛折：2

7.【单项选择题】设A,B为n阶矩阵，则下列结论正确的是().

A.若A,B可逆，则A+B可逆

B.若A,B可逆，则AB可逆

C.若A+B可逆，则A-B可逆

D.若A+B可逆，则A,B都可逆

正确答案：B

参考解析：若A,B可逆，贝|J|A|WO,|B|WO,又|AB|=|A||B|,所以|AB|WO,

于是AB可逆，B正确。

8.【单项选择题】设A为四阶非零矩阵，且r(A*)=l,则().

A.r(A)=l

B.r(A)=2

C.r(A)=3

D.r(A)=4

正确答案：C

参考解析：因为r(A*)=l,所以r(析=4-1=3,选考).

9.【单项选择题】

a”aI?ai3a12a112aI?+a131/01Oi/I00\

aaa,B=a22a212a22+"23■P=100012

设4=l\2223।H=1

'00r'00r

aa*a3i2a*+“33

31O32a33

则A.B的关系为（）.

A.B=PRA

B.B=P2P,A

C.B=PzAP]

D.

B=AP2PI

正确答案：D

参考解析：

P=E%.P=E/2),显然A苜先将第2列的两倍加到第3列,再籽第1列及第2列

对调•所以B=AE,3(2)E,2=AP,选(D).

10.【单项选择题】设a为n阶矩阵，且|A|=0,则人().

A.必有一列元素全为零

B.必有两行元素对应成比例

C.必有一列是其余列向量的线性组合

D.任一列都是其余列向量的线性组合

正确答案：C

参考解析：因为|A|=0,所以r(A)<n,从而A的行个列向量线性相关，于是其列

向量中至少有一个向量可由其余向量线性表示，选(C).

11.【单项选择题】设A为n阶实对称矩阵，下列结论不正确的是().

A.矩阵A与单位矩阵E合同

B.矩阵A的特征值都是实数

C.存在可逆矩阵P,使PAP-为对角阵

D.存在正交阵Q,使Q'AQ为对角阵

正确答案：A

参考解析：根据实对称矩阵的性质，显然(B)、(C)、(D)都是正确的，但实对称

矩阵不一定是正定矩阵，所以A不一定与单位矩阵合同，选(A).

12.【单项选择题】设A是mXn阶矩阵，B是nXm阶矩阵，则().

A.当m>n时，必有|AB|关0

B.当m>n时,必有|AB|二0

C.当n>m时,必有|AB|W0

D.当n>m时,必有|AB|二0

正确答案：B

参考解析:AB为m阶矩阵，因为r(A)Wmin{m,n},r(B)Wmin{m,n},且r(AB)

Wmin{r(A),r(B)},所以r(AB)Wmin{m,n},故当m>n时，r(AB)WnVm,于

是|AB|=0,选B。

13.【单项选择题】设A,B都是n阶可逆矩阵，贝h).

A.(A+B)*=A*+B*

B.(AB)*=B*A*

C.(A-B