2025北京四中八年级（下）统练一数学（教师版）

第1页/共1页2025北京四中初二（下）统练一数学一、选择题1.斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案．下列斐波那契螺旋线图案中属于轴对称图形的是（）A. B. C. D.2.在电子显微镜下测得一个圆球体细胞的直径是，用科学记数法表示为（）A. B. C. D.3.下列计算正确的是（）A. B.C. D.4.下列各式从左到右的变形，一定正确的是（）A. B. C. D.5.下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A. B.C. D.6.徐老师到单位附近的加油站加油，如图是所用的加油机加油过程中某一时刻的数据显示，则其中的常量是（）A.金额 B.数量 C.金额和单价 D.单价7.如图，在和中，B，E，C，F在同一条直线上．下面给出5个论断：①，②，③，④，⑤．选其中3个作为条件，不能判定的是（）A.①②③ B.②③④ C.③④⑤ D.①②④8.在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且随的增大而增大，则点的坐标可以是（）A. B. C. D.9.张老师出门散步时离家的距离与时间之间的关系图象如图所示，若用黑点表示张老师家的位置，则张老师散步行走的路线可能是（）A. B. C. D.10.如图，点，分别是边，上的定点，点，分别是边，上的动点，记，，当最小时，，则的度数为（）A. B. C. D.二、填空题11.若分式有意义，则a的取值范围是____________．12.计算：_______．13.如图，在中，，是的垂直平分线，，，则_______．14.若直线经过第一二四象限，则直线经过第_______象限．15.在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点，则_______，_______．16.已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是_______．17.小华从家出发沿笔直马路匀速步行去图书馆听讲座，几分钟后，爸爸发现小华忘带图书馆的出入卡，于是从家出发沿相同路线匀速跑步去追小华，爸爸追上小华后以原速度沿原路回家．小华拿到出入卡后以原速度的倍快步赶往图书馆，并在从家出发时到达图书馆（小华被爸爸追上时交流的时间忽略不计）．在整个过程中，小华与爸爸之间的距离y与小华离家的时间x的对应关系如图所示．（1）小华从家出发____________时，爸追上小华；（2）图书馆离小华家____________．18.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点点Q在x轴的负半轴上分别以为腰，点C为直角顶点在第一、第二象限作等腰、等腰，连接交y轴于P点，则的值为_______．三、解答题19.计算：（1）；（2）．20.因式分解：（1）﹣2a3+12a2﹣18a（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）21.（1）先化简，再从中选择合适的值代入求值．（2）解分式方程：．22.如图所示，人教版八年级上册数学教材/53数学活动中有这样一段描述：如图，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．（1）试猜想筝形的对角线与有什么位置关系？并用全等三角形的知识证明你的猜想；（2）过点D作交于点E，若，，求的长．23.已知一次函数的图象经过两点．（1）画出该一次函数的图象，并求这个一次函数的表达式；（2）若y轴上存在点P，使得的面积是3，求点P的坐标．24.周末小天踏上了探索北京中轴线的旅程．上午他从正阳门-箭楼出发，骑行到达景山公园南门，在景山公园游览了后，又从景山公园北门步行到鼓楼参观打卡．如果小天骑行的平均速度是步行的平均速度的3倍，骑行比步行少用．请你判断他能否在当日上午前到达鼓楼，并说明理由．25.八年级上学期我们学习了角平分线性质及其判定定理，课本的例同时运用了角平分线性质及其判定定理完成了该几何问题的证明．例．已知：如图，，分别是，的平分线，，，垂足分别为点，．求证：点在的平分线上．证明：过点作，垂足为点．，分别是，的平分线（已知）．，（已知），（所作），，（_______）（等量代换）．点在的平分线上（_______）【研究原图形】（1）补全例的证明过程；（2）在例的图中，分别连接，，．小婷发现和的内角之间存在一定的数量关系，若则_______．（用含的代数式表示）【解决新问题】为了方便研究，小婷同学把满足例1条件的叫做的“内三角形”，点叫做“共心”．（3）已知是的“内三角形”，点是“共心”，点，，分别在边，，上，且．先画出符合条件的示意图，再过点作于点，求证：点在直线上．26.我们约定：关于x的代数式A，B，若不论x为何值，都有（m为常数），则称代数式A，B互为“差值代数式”，m为“差值”例如：，因为，所以A，B互为“差值代数式”，“差值”为2．根据该约定，解答下列问题．（1）判断下列各式是否互为“差值代数式”．若是，则在括号中的划“√”，若不是，则划“×”．①与（）②与（）③与（）（2）已知关于x的整式，若M，N互为“差值代数式”，且“差值”为4，求a的值；（3）已知关于x的整式，若S，T互为“差值代数式”，且满足．①求b，c，d的值；②求代数式的最小值．27.如图，在等边中，D为上一点，连接，E为线段上一点（），将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接．（1）求证：；（2）点G为延长线上一点，连接交于点M．若M为的中点，用等式表示线段之间的数量关系，并证明.选做题28.如图，在平面直角坐标系中有、两点，请在轴上找一点，将沿翻折，使点的对应点恰好落在轴上．利用无刻度的直尺和圆规在图中找出所有符合条件的点．（不写作法，保留作图痕迹）29.在平面直角坐标系中，对于点和线段给出如下定义：若点满足最小，且，则称点为线段的美好点．（1）若点的坐标是，点的坐标是，线段的美好点的坐标是_____．（2）若点为轴上一动点，点为轴上一动点，①在图1中画出线段的所有美好点；②当点的坐标为，点在轴正半轴时，的值为_____．（3）如图2，点和点的坐标分别是，，点为线段上的动点，点的坐标是，以点为中心，各边分别与坐标轴平行且边长为的正方形上存在线段的美好点，直接写出的取值范围．

参考答案一、选择题1.【答案】A【分析】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意；B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意．故选：A．2.【答案】A【分析】本题考查了负整数指数科学计算法，根据科学计算法的要求，正确确定出和的值是解答本题的关键．对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，是正整数，等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）．详解】解：．故选：A．3.【答案】D【分析】本题考查了积的乘方运算，幂的乘方，单项式的乘法与除法，熟练掌握相关计算法则是解题的关键．根据积的乘方运算，幂的乘方，单项式的乘法与除法运算逐项分析判断即可求解．【详解】解：A、，故该选项不正确，不符合题意；B、，故该选项不正确，不符合题意；C、，故该选项不正确，不符合题意；D、，故该选项正确，符合题意；故选：D4.【答案】C【分析】根据分式的基本性质逐项判断，注意乘除一个数或代数式的时候要保证不为0．【详解】A.当时，才成立，故A选项错误；B.，故B选项错误；C.因为a是分母，所以，所以成立，故C选项正确；D.，故D错误；故选：C．【点睛】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的分子分母同乘除一个不为0的数或代数式，分式的值不变是解题的关键．5.【答案】D【分析】本题考查因式分解的识别，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可．【详解】解：中等号右边不是积的形式，故A不符合题意；是乘法运算，故B不符合题意；是乘法运算，故C不符合题意；符合因式分解的定义，故D符合题意；故选D．6.【答案】D【分析】本题主要考查常量和变量．根据常量的定义即可作答．【详解】解：由题意得，单价是常量．故选：D．7.【答案】D【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定方法：、、、、依次对各选项分析即可判断．【详解】解：③∵，∴．A、①②③根据“”可判断；B、②③④根据“”可判断；C、③④⑤根据“”可判断；D、①②④为两边与一边的对角对应相等，故不能判断；故选：D．8.【答案】B【分析】本题考查一次函数的性质、一次函数图像上点的坐标特征，一次函数，当时，随的增大而增大，因此将下列各点代入，能使的即可．掌握一次函数的性质是解题的关键．【详解】解：A．把代入一次函数得：，解得：，此时随的增大而减小，故此选项不符合题意；B．把代入一次函数得：，解得：，此时随的增大而增大，故此选项符合题意；C．把代入一次函数得：，解得：，此时随的增大而减小，故此选项不符合题意；

D．把代入一次函数得：，解得：，此时随的增大而减小，故此选项不符合题意．故选：B．9.【答案】C【分析】根据题意和函数图象可以分析出张老师散步情况，从而可以解答本题．【详解】由图象可知，

张老师从家出发刚开始离家的距离在变大，然后较长一段时间离家的距离不变，然后回家，

故选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意，

故选C．【点睛】考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．10.【答案】A【分析】本题考查了轴对称最短线段问题，三角形的外角性质，作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，则最小，由轴对称的性质得，，即可得，得到，再根据即可求解，由轴对称作出最短线段是解题的关键．【详解】解：如图，作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，则最小，∵，，∴，∴，即，整理得，，∵，∴，∴，故选：．二、填空题11.【答案】【分析】本题考查了分式有意义条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义分母为零；（2）分式有意义分母不为零；（3）分式的值为零分子为零且分母不为零．根据分式有意义，分母不为零列式计算即可得解．【详解】解：由题意得，，解得，故答案为：．12.【答案】【分析】本题考查负整数指数幂和积的乘方公式，先按积的乘方公式计算，再按同底数幂公式合并，最后利用负整数指数幂公式化简即可．掌握相关运算法则和公式是解题的关键．【详解】解：原式．13.【答案】【分析】本题考查了角平分线的性质定理，线段的垂直平分线的性质定理，度直角三角形的性质，解本题的关键是掌握角平分线和线段的垂直平分线及直角三角形的性质定理．由线段的垂直平分线的性质定理，得到，可求平分，由角平分线的性质可得，由度直角三角形的性质，得到，即可求出的长度．【详解】解：是的垂直平分线，，，，，，，，，，，，，，．故答案：14.【答案】一、三、四【分析】本题考查一次函数图象与系数的关系．解答本题注意理解：直线所在的位置与k、b的符号有直接的关系．时，直线必经过一、三象限．时，直线必经过二、四象限．时，直线与y轴正半轴相交．时，直线过原点；时，直线与y轴负半轴相交．根据图象在坐标平面内的位置关系确定k，b的取值范围，从而求解．【详解】解：由直线的图象经过第一、二、四象限，∴，，∴直线经过第一、三、四象限，故答案为：一、三、四．15.【答案】①.3②.【分析】本题主要考查了一次函数的平移以及待定系数法求一次函数解析式，根据平移的性质可得出，由一次函数的图象经过点，用待定系数即可求出一次函数解析式．【详解】解：∵一次函数的图象由函数的图象平移得到，∴k值不变，，∴一次函数为：，∵一次函数的图象经过点，∴，∴一次函数的表达式为：，故答案为：3；．16.【答案】且【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，先解方程得到，再根据分式方程的解为正数求出m的取值范围，再由，即，得到，即，据此可得答案．【详解】解：去分母得：，解得，∵关于x的分式方程的解是正数，∴，解得．∵，即，∴，即．∴m的取值范围是且．故答案为：且．17.【答案】①.10②.1760【分析】本题主要考查了变量关系图像上获取信息以及二元一次方程组的应用，看懂变量之间的图像是解题的关键．（1）根据图像即可得出答案，（2）设小华原来速度为，爸爸的速度为，则小华后来的速度为根据函数图像关系列出关于a，b的二元一次方程求解即可得出a的值，再根据路程等于时间乘以速度计算即可得出答案．【详解】解：（1）由图像可得出时间为的时候，小华与爸爸之间的距离y为0，即小华从家出发时，爸爸追上小华；故答案为：10．（2）设小华原来的速度为，爸爸的速度为，则小华后来的速度为根据函数关系图可得出：，解得：，∴小华原来的速度为，后来的速度为：，∴图书馆离小华家故答案为：1760．18.【答案】10【分析】过作，交轴于，再，得出，然后根据点，求得，最后判定，得出，即可求得．【详解】解：过作，交轴于，则，∵等腰、等腰，∴，∴，∴，∵，∴，在和中，即在和中，故答案为：10．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形的面积计算以及等腰直角三角形的性质的综合应用．证明及是解题的关键．三、解答题19.【答案】（1）（2）【分析】本题考查整式的混合运算，完全平方公式、平方差公式，熟练掌握整式混合运算法则是解决问题的关键．（1）先利用完全平方公式和平方差公式计算，再去括号，最后由整式加减运算法则求解即可得到答案，（2）利用平方差公式和完全平方公式计算即可求解．【小问1详解】．【小问2详解】解：．20.【答案】（1）﹣2a（a﹣3）2（2）（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．（2）原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【小问1详解】原式＝﹣2a（a2﹣6a+9）＝﹣2a（a﹣3）2【小问2详解】原式＝（x﹣y）（9a2﹣4b2）＝（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）．【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．21.【答案】（1），；（2）【分析】本题考查分式的化简求值问题和解分式方程，掌握相关的方法步骤是解题的关键．（1）先化简原式，再根据分母和除数不为零选择合适的x值代入求值即可；（2）按照解分式方程的一般步骤求解即可．【详解】解：（1）原式，要使原式有意义，则且，∴且，∴，原式．（2）两边同时乘以得：，整理得：，解得：，检验：当时,，∴是原方程的根．22.【答案】（1），证明见解析（2）【分析】（1）证明，得，即可根据等腰三角形的“三线合一”证明；（2）由，得，而，得到，则，进而求解即可．【小问1详解】解：，证明：在和中，，，，，，．【小问2详解】，，，，，，，∴∴．【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、平行线的性质等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且证明是解题的关键．23.【答案】（1）图像见解析，（2）或【分析】本题考查了一次函数的几何综合，求解一次函数解析式，画函数图象，准确求出函数解析式是解题关键．（1）在图中描出点，连接即可得出函数图象，用待定系数法求解一次函数解析式即可；（2）设，根据的面积是3，得到，求出m的值即可得出结果．【小问1详解】解：如图，在图中描出点，连接即可得出函数图象，设一次函数解析式为：，，解得：，一次函数解析式为：；【小问2详解】设，，，或，或．24.【答案】能，理由见详解【分析】本题考查了分式方程的实际应用，等量关系式：步行的时间骑行的时间，据此列方程，解方程即可求解；找出等量关系式是解题的关键．【详解】解：能，理由如下：设小天的步行平均速度，则骑行的平均速度为，则有，解得：，经检验：是所列方程的根，且符合实际意义；小天的步行平均速度，则骑行的平均速度为，总共所需时间为：（），到达钟鼓楼的时间为，故能在当日上午前到达鼓楼．25.【答案】（1）在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等；在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上（2）（3）见详解【分析】本题主要考查了角平分线的性质、垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质等内容，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键；（1）根据角平分线的性质即可求解；（2）连接、，，延长交于点，根据题意可得，进而求得，进而得解；（3）先求出，所以，再证，所以是的垂直平分线，进而得解即可；【详解】（1）证明：过点作，垂足为点．，分别是，的平分线（已知）．，（已知），（所作），，（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）（等量代换）．点在的平分线上（在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上）；故答案为：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等；在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上（2）如图，连接、，，延长交于点，，，，，，，，，，，，即，，故答案为：（3）示意图如下，，，，由(2)可知，，，，可得点在的垂直平分线上，，，，，，，可知是的垂直平分线，点在直线上；26.【答案】（1）①√②×③√（2）或（3）①；②的最小值为【分析】根据定义解答即可得解；先由定义得出或，解方程即可得解；①恒等变形得出，然后由新定义即可得解，②先将代数式变形成，然后通过配方利用非负数的性质得出，最后代入即可得解．【小问1详解】∵，∴①与互为“差值代数式”，∵，∴②与不互为“差值代数式”，∵，∴③与互为“差值代数式”，故答案为：①√②×③√；【小问2详解】由题可知，∴或，∴或，综上所述或；【小问3详解】①，，，，，互为“差整值代数式”，，②，，，的最小值为．【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，二次根式的加减运算，因式分解，分式的混合运算，利用平方根解方程，代数式的配方等知识点，熟练掌握其性质并能灵活对代数式进行恒等变形是解决此题的关键．27.【答案】（1）见解析（2），证明见解析【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握这些知识点并构造适当的辅助线证明三角形全等是解题的关键．（1）证明即可；（2）过点A作，交的延长线于点H，则可证明，从而有，则有；再证明，得，由线段的和差关系即可得证．【小问1详解】证明：∵为等边三角形，∴；∵线段绕点C顺时针旋转得到线段，∴，∴，∴，∴，∴；【小问2详解】解：；证明如下：如图，过点A作，交的延长线于点H；∴，，∴；∵，∴，∴，∴，∴；∵M为的中点，∴；∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴．选做题