2025北京北师大实验中学九年级（下）开学考数学（教师版）

第1页/共1页2025北京北师大实验中学初三（下）开学考数学一、单项选择题（本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题意．每小题2分，共16分）1.如图是某个几何体的展开图，该几何体是（）A.正方体 B.三棱柱 C.圆柱 D.圆锥2.北京大力推动光通信技术发展应用，打造全市1毫秒、环京2毫秒、京津冀3毫秒时延圈，其中光传导工具是光纤，一种多模光纤芯的直径是米，将用科学记数法表示为（）A. B.C. D.3.正十边形的每一个外角的度数为（）A. B. C. D.4.实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A. B. C. D.5.在一个不透明的盒子中装有个白球，其余为黄球，它们除颜色不同外，其余都相同，若从中随机摸出一个球，颜色是白球的概率为，则黄球的个数是（）A. B. C. D.6.已知点在反比例函数的图像上，且，则下列结论一定正确的是（）A. B. C. D.7.若关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是（）A. B.且C.且 D.且8.如图．经过圆心O，是的一条弦，，是的切线．再从条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知，便得．条件①：平分条你②：条件③：则所有可以添加的条件序号是（）A.① B.①③ C.②③ D.①②③二、填空题（共8道小题，每题2分，共16分）9.若代数式有意义，则实数的取值范围是_____．10.分解因式：_____．11.方程的解为_____．12.如图，在中，分别在边上，．若，则的值为_____．13.如图，在圆内接四边形中，对角线，，，则__________．14.某实验基地为全面掌握“无絮杨”树苗的生长规律，定期对2000棵该品种树苗进行抽测．近期从中随机抽测了100棵树苗，获得了它们的高度x（单位：）．数据经过整理后绘制的频数分布直方图如右图所示．若高度不低于的树苗为长势良好，则估计此时该基地培育的2000棵“无絮杨”树苗中长势良好的有_________棵．15.如图，在正方形中．点E，F，G分别在边，，上，．若，，则的度数为_____（用含的式子表示）．16.2019年11月，联合国教科文组织将每年的3月14日定为“国际数学日”，也被许多人称为节”某校今年“节”策划了五个活动，规则见下图：小云参与了所有活动．（1）若小云只挑战成功一个，则挑战成功的活动名称为_____；（2）若小云共挑战成功两个，且她参与的第四个活动成功，则小云最终剩下的“币”数量的所有可能取值为____．三、解答题（共12道小题，第17-19，21-23题，每题5分，第20，24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分，共68分）17.计算：．18.解不等式组：．19.已知，求的值．20.如图，在中，点E，F分别在，上，，．（1）求证：四边形是矩形；（2），，，求的长．21.关于的一元二次方程．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）设此方程的两个根分别为，若，求的值．22.在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点．（1）求这个一次函数的解析式；（2）已知一次函数．①无论m取何值，直线都经过点；②当时，对于x的每一个值，函数的值都大于一次函数的值，结合函数图象，直接写出m的取值范围．23.某校舞蹈队共有12名学生，测量并获取了所有学生的身高(单位：)，数据整理如下：a．12名学生的身高∶160，164，164，165，166，167，167，167，168，168，169，171，b．12名学生的身高的平均数、中位数、众数：平均数中位数众数166.3（1）写出表中，的值；（2）现将12名学生分成如下甲乙两组．对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好．据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是(填“甲组”或“乙组”)；甲组学生的身高165167167168168171乙组学生的身高160164164166167169（3）该舞蹈队要选六名学生参加艺术节比赛，已经确定甲组四名参赛的学生的身高分别为165，167，168，168．在乙组选择另外两名参赛学生时，要求所选的两名学生与已确定的四名学生所组成的参赛队身高的方差最小，则乙组选出的另外两名学生的身高分别为和．24.如图，、均为的直径．点E在上，连接，交于点F，连，，点G在的延长线上，．（1）求证：与相切；（2）若，，求的长．25.如图，点O为边长为1的等边三角形的外心．线段经过点O，交边于点P，交边于点Q．若，下表给出了x，，的一些数据(近似值精确到)．x11（1）补全表格；（2）在同一平面直角坐标系中描出了部分点．请补全表格中数据的对应点，并分别画出与关于x的函数图象；（3）结合函数图象，解决下列问题：①当是等腰三角形时，关于x的函数图象上的对应点记为，请在x轴上标出横坐标为a的点；②当取最大值时，x的值为．26.在平面直角坐标系中，是抛物线上的两点．（1）求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；（2）对于，，都有，求m的取值范围．27.在正方形中，E为射线上一点不与点A，B重合，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，作交射线于点．（1）如图1，当点E在线段上时，①依题意补全图形，并证明；②用等式表示线段和之间的数量关系，并证明；（2）已知，能否是等腰三角形？若能，直接写出使是等腰三角形的的长度；若不能，说明理由．28.在平面直角坐标系中，的半径为2，对于点，和的弦，给出如下定义：若弦上存在点，使得点绕点逆时针旋转后与点重合，则称点是点关于弦的“等边旋转点”．（1）如图，点，直线与交于点，．①点的坐标为______，点______（填“是”或“不是”）点关于弦的“等边旋转点”；②若点关于弦的“等边旋转点”为点，则的最小值为______，当与相切时，点的坐标为______；（2）已知点，，若对于线段上的每一点，都存在的长为的弦，使得点是点关于弦的“等边旋转点”，直接写出的取值范围．

参考答案一、单项选择题（本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题意．每小题2分，共16分）1.【答案】C【分析】本题考查几何体的展开图，熟记常见几何体的展开图是解答的关键．根据该几何体展开图的特点，结合圆柱的展开图求解即可．【详解】解：∵该几何体的展开图是一个长方形和两个圆组成，符合圆柱的展开图，∴该几何体是圆柱，故选：C．2.【答案】C【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．据此解答即可．【详解】解：．故选：C．3.【答案】A【分析】利用多边形的外角性质计算即可求出值．【详解】解：360°÷10＝36°，故选：A．【点睛】此题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的外角性质是解本题的关键．4.【答案】A【分析】本题考查的了实数与数轴，根据点在数轴的位置判断式子的正负，解题的关键是会利用数轴进行判断．利用数轴上数的位置判断大小，然后分别进行判断即可．【详解】解：根据题意，得，，∴，，，∴选项A正确，符合题意，选项B、C、D错误，不符合题意．故选：A．5.【答案】C【分析】本题主要考查了根据概率公式计算概率，解分式方程等知识点，根据概率公式正确列出方程是解题的关键．根据“概率所求情况数与总情况数之比”，列方程求解即可．【详解】解：设黄球的个数为个，根据题意可得：，解得：，经检验，是原分式方程的解，，即：黄球的个数是个，故选：C．6.【答案】D【分析】把点A和点B的坐标代入解析式，根据条件可判断出、的大小关系．【详解】解：∵点，）是反比例函数的图像上的两点，∴，∵，∴，即，故D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查反比例函数图像上点的坐标特征，掌握图像上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．7.【答案】C【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，关于的一元二次方程有两个实数根，可知且，求出k的取值范围即可．【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，∴且，，即，且，解得且，故选：C．8.【答案】B【分析】连接，，令，交于点，由垂径定理可知，，，则，若选条件①，可是，证，可得，若选条件②，可知，得，设，则，可得，，则，可得，若选条件③，可知，即可证，进而可证，得，可知，即可判断答案．【详解】解：连接，，令，交于点，∵经过圆心O，是的一条弦，，∴，，则，若选条件①，∵平分，∴，∴，∴，故①符合题意；若选条件②，∵，∴，∵是的切线，∴，∵，则，∴，设，则，∴，，则，∴，即，故②不符合题意；若选条件③，∵，即：∴，又∵∴，∴，又∵，∴，∴，∴，故③符合题意；综上，所有可以添加的条件序号是①③，故选：B．【点睛】本题属于几何综合题，考查了垂径定理，切线的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键．二、填空题（共8道小题，每题2分，共16分）9.【答案】【分析】此题考查了二次根式有意义的条件：被开方数大于等于零，据此解答【详解】解：∵有意义，∴，解得，故答案为10.【答案】【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键，先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可得到答案．【详解】解：，故答案为：．11.【答案】【分析】本题考查解分式方程，熟知分式方程的解法步骤是解答的关键．先根据去分母化为整式方程，然后解整式方程，最后检验计算结果可得答案．【详解】解：去分母，得，去括号，得，移项、合并同类项，得，解得，经检验，是分式方程的解，故答案为：．12.【答案】【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质是解答的关键．先证明，再根据相似三角形的对应边成比例求解即可．【详解】解：∵在中，，∴，，∴，∴，∵，∴，故答案为：．13.【答案】【分析】本题考查了圆内接四边形的性质、三角形的内角和定理、等腰三角形的判定、勾股定理，先根据圆内接四边形的性质求得，再利用三角形的内角和定理和等腰三角形的判定得到，再利用勾股定理求解即可．【详解】解：在圆内接四边形中，，∴，∵，，∴，∴，∴，故答案为：．14.【答案】940【分析】本题主要考查了根据样本所占百分比估计总体频数，用2000乘以样本中高度不低于的树苗的百分比，即可求出结果．【详解】解：该基地培育的2000棵“无絮杨”树苗中长势良好的有：（棵），故答案为：940．15.【答案】##【分析】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，过点G作于点H，证明，得出，求出，根据，即可求出结果．【详解】解：过点G作于点H，如图所示：∵四边形为正方形，∴，，，∵，∴四边形为矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴．故答案为：．16.【答案】①.鲁班锁②.1枚、2枚或3枚【分析】本题考查了推理能力，关键是注意分类讨论．（1）因为小云参与了所有活动，且小云只挑战成功一个，所以推断小云只能参与了鲁班锁，且挑战成功，赢得4枚“π币”，足够她参与其余四个活动；（2）小云共挑战成功两个，且参与的第四个活动成功，所以推断小云参与的第一个活动成功，且为华容道、魔方或鲁班锁，分别讨论参与的第一个活动为华容道、魔方或鲁班锁，最终剩下的“π币”数量的可能．【详解】解：（1）∵小云参与了所有活动，且小云只挑战成功一个，∴小云用活动前发放的一枚“π币”参与了鲁班锁，且挑战成功，赢得4枚“π币”，再次参与了其余四个活动，未挑战成功，故答案为：鲁班锁；（2）∵小云共挑战成功两个，且参与的第四个活动成功，∴小云参与的第一个活动成功，且为华容道、魔方或鲁班锁，若参与的第一个活动为华容道，则参与的第四个活动可能为24点、数独、魔方或鲁班锁，最终剩下的“π币”数量可能是1枚、2枚或3枚，若参与的第一个活动为魔方，则参与的第四个活动可能为24点、数独、华容道或鲁班锁，最终剩下的“π币”数量可能是1枚、2枚或3枚，若参与的第一个活动为鲁班锁，则参与的第四个活动可能为24点、数独、华容道或魔方，最终剩下的“π币”数量可能是2枚或3枚，故答案为：1枚、2枚或3枚．三、解答题（共12道小题，第17-19，21-23题，每题5分，第20，24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分，共68分）17.【答案】【分析】本题考查实数的运算，涉及零指数幂、负整数指数幂、算术平方根、特殊角的锐角三角函数、二次根式的加减，熟练掌握相关运算法则是解答的关键．先计算零指数幂、负整数指数幂、算术平方根、代入特殊角的三角函数值化简原式，然后加减运算即可．【详解】解：．18.【答案】【分析】本题考查解不等式组，正确求得每一不等式的解集是解答的关键．先求每一个不等式的解集，然后根据一元一次不等式组的解集口诀：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无处找求解即可．不等式组的解集．【详解】解：解不等式①，得，解不等式②，得，∴不等式组的解集为．19.【答案】2【分析】本题主要考查整式的化简求值，运用整式加减的运算，去括号合并同类项，最后代入求值．【详解】解：∵，∴，∴．20.【答案】（1）见解析（2）【分析】（1）利用平行四边形的性质求出，证明四边形是平行四边形，然后根据对角线相等的平行四边形是矩形得出结论；（2）证明是等腰直角三角形，可得，然后再解直角三角形求出即可．【小问1详解】证明：∵四边形是平行四边形，∴，，∵，∴，∴四边形是平行四边形，∵，∴平行四边形是矩形；【小问2详解】解：由（1）知四边形是矩形，∴，∵，，∴是等腰直角三角形，∴，又∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质以及解直角三角形，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．21.【答案】（1）见解析（2）2或【分析】本题考查一元二次方程根的判别式与根的关系、一元二次方程根与系数关系、解二元一次方程组，熟练掌握根的判别式和根与系数的关系是解答的关键．（1）判断出可得结论；（2）利用根与系数的关系得到，，结合已知得到方程组，然后解方程组即可求解．【小问1详解】证明：∵，∴方程总有两个实数根；【小问2详解】解：设此方程的两个根分别为，则，，∵，∴，解得或，∴满足条件的m值为2或．22.【答案】（1）（2）①；②【分析】本题考查了一次函数图象的平移，一次函数解析式，一次函数与不等式等知识．熟练掌握一次函数图象的平移，一次函数解析式，一次函数与不等式是解题的关键．（1）由平移可知，，将代入，可求，进而可得；（2）①由，可知当时，，进而可得结果；②当时，，把点代入，可求m，作函数图象，结合图象作答即可．【小问1详解】解：由平移可知，，将代入得，，解得，，∴；【小问2详解】①解：∵，∴当时，，∴无论m取何值，直线都经过点，故答案为：；②解：当时，，把点代入得，，解得m，如图，∵时，对于x的每一个值，函数的值都大于一次函数的值，∴由图象可知，．23.【答案】（1），（2）甲组（3）、【分析】本题考查了中位数、众数、平均数、方差，熟练掌握中位数、众数、平均数、方差的求法是解此题的关键．（1）根据中位数和众数的定义求解即可得出答案；（2）分别计算出甲组、乙组学生身高的方差，进行比较即可得出答案；（3）先计算出已经选择的4名学生的身高的平均数，结合题意分析即可得出答案．【小问1详解】解：由题意得：中位数，众数；【小问2详解】解：甲组学生身高的平均值是，甲组学生身高的方差是，乙组学生身高的平均值是，乙组学生身高的方差是，∵，∴舞台呈现效果更好的是甲组；【小问3详解】解：∵，∴在乙组选择另外两名参赛学生时，要求所选的两名学生与已确定的四名学生所组成的参赛队身高的方差最小，则选择的乙组的学生的身高接近，故乙组选出的另外两名学生的身高分别为和．24.【答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）根据圆周角定理可得，结合已知可得，再根据等腰三角形的性质得出，求出即可得出结论；（2）连接，根据等腰三角形的性质求出，进而可得，的长，然后根据三角函数的定义和勾股定理求出，再在中，根据三角函数的定义和勾股定理求出，进而可得的长．【小问1详解】证明：，，，，即，为的直径，，，，，，，为的直径，与相切；【小问2详解】解：连接，如图，，，，．在中，，，∴，，，，为的直径，．∴在中，，∴，由勾股定理得．，，．，∴在中，，∴，∴，．【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，等腰三角形的性质，锐角三角函数的定义，勾股定理，切线的判定等知识，作出合适的辅助线，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．25.【答案】（1）见解析（2）见解析（3）①见解析；②或【分析】（1）根据等边三角形的性质，得出此时点Q在点C处，从而得出，即可得出答案；（2）根据解析（1）得出的数据，先描点，再连线即可；（3）①连接并延长交于点D，连接，根据等边三角形的性质求出，当是等腰三角形时，，根据，证明为等边三角形，解直角三角形求出，，在函数图象上描出该点即可；②根据函数图象，得出取最大值时x的值即可．【小问1详解】解：当时，点P为的中点，∵点O为边长为1的等边三角形的外心，∴此时点Q在点C处，如图所示：∵为等边三角形，点P为的中点，点Q在点C处，∴，∴；填报如下：x11【小问2详解】解：如图所示：【小问3详解】解：①连接并延长交于点D，连接，如图所示：∵为等边三角形，点O为外心，∴，，，，∴，，∴，当是等腰三角形时，，∵，∴为等边三角形，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，，∴此时在关于x的函数图象上标出点，如图所示：②根据函数图象可知，函数的最大值为，此时或．26.【答案】（1）直线（2）【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上的点的特征等，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，（1）把函数解析式化成顶点式，即可求解；（2）求出点关于对称轴对称点为，然后分，，，讨论，根据抛物线开口向上及求解即可．【小问1详解】解：∵，∴抛物线的对称轴为直线；【小问2详解】解∶∵抛物线对称轴为直线，∴点关于对称轴对称点为，当时，则，∵，∴∵抛物线开口向上，当时，y随x增大而增大，∴，这与相矛盾，故不符合题意，舍去；当时，，∵，∴，∵抛物线开口向上，当时，y随x增大而增大，∴，与相矛盾，故不符合题意，舍去；当时，则，∵抛物线开口向上，当时，y随x增大而增大，∴，∴，当时，∵抛物线开口向上，当时，y随x增大而增大，∴∴，∴，综上，27.【答案】（1）①见解析，②，证明见解析（2）【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识．（1）①由得出，由得出，从而；②作，交于H，交于R，可证得，从而得出，，可证得，从而得出四边形是平行四边形，进而推出，进而证得，从而，进一步得出结果；（2）可推出当点E在上时，不能是等腰三角形；当点E在的延长线上时，作于H，当时，可推出，从而得出．【小问1详解】解：①如图1，四边形是正方形，，，线段绕点E顺时针旋转得到线段，，，；②如图2，作，交于H，交于R，，，四边形是正方形，，，，，，，，线段绕点E顺时针旋转得到线段，，，，，，四边形是平行四边形，，，，，，，由①知，，，，；【小问2详解】解：如图2，当点E在上时，由（1）②得，≌，，，，，，，，，，不能是等腰三角形，如图3，当点E在的延长