湖北省随州市部分高中2024-2025学年高二下学期3月联考数学试题

湖北省随州市部分高中学年下学期三月联考高二数学试题本试卷共4页，题，全卷满分分，考试用时分钟.★祝考试顺利★考试范围：选择性必修一；选择性必修二第4章注意事项：、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置.、选择题的作答：每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.、考试结束后，请将答题卡上交.一、选择题：本题共8小题，每题5分，共分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.ABC­ABC1是面BBCC＝a，＝b，＝()A.a＋b＋cB.a－b＋cC.a＋b－cD.－a＋b＋c【答案】D【解析】【分析】由＝＋＝＋(＋)＝＋(－＋＋)即可得解.第1页/共16页【详解】＝＋＝＋(＋)＝＋(－＋＋)＝－＋(－)＋b＝－＋＋答案：D．【点睛】本题主要考查了向量的加法和减法运算，属于基础题.2.若过点，的直线的斜率等于1，则的值为（）A.1B.4C.1或3D.1或4【答案】A【解析】【分析】根据斜率公式即可得到方程，解出即可.【详解】由题意得，解得.故选：A.3.过点且与直线平行的直线方程是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用平行直线的特点先设出待求直线方程，代入所过点可得答案.【详解】由题意设所求方程为，因为直线经过点，所以，即，所以所求直线为.故选：A.4.已知条件直线与直线平行，条件，则是的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合两直线平行的条件分析判断第2页/共16页【详解】当直线与直线平行时，，解得，当时，直线与直线重合，所以是的既不充分也不必要条件，故选：D5.已知椭圆的两个焦点分别为，为椭圆上任意一点，若，的等差中项，则此椭圆的标准方程为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据等差中项化简后得出，然后求椭圆的标准方程【详解】由题意，故，又，则焦点在轴上，故椭圆的标准方程为故选：D6.若数列满足，，则数列中的项的值不可能为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用数列满足的递推关系及，依次取代入计算，能得到数列第3页/共16页是周期为4的周期数列，得项的所有可能值，判断选项即得结果.【详解】数列满足，，依次取代入计算得，，，，是周期为4的周期数列，所有可能取值为：.故选：D.7.已知数列满足，为正整数，则该数列的最大值是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】的前5，大值.【详解】解：由，得，，，，．又，，又因为在上单调递增，在上单调递减，所以的最大值为．故选：B．8.已知等差数列前n项和为，且，则等于（）A.B.C.D.【答案】D【解析】第4页/共16页【分析】由题设及等差数列前n项和公式可得，求的数量关系，进而求即可.【详解】设等差数列的公差为，由题设，，可得，∴.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每题6分，共分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列命题正确的有（）A.方向相反的两个非零向量一定共线B.单位向量都相等C.若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同D.“若是不共线的四点，且'“四边形是平行四边形”【答案】AD【解析】ABC向量及平行四边形的性质判断D.【详解】解：对于A，方向相同或相反的两个非零向量为共线向量，故A正确；对于B：单位向量的模为，但是方向不一定相同，故B错误；对于C：若两个向量相等，它们的起点不一定相同，终点也不一定相同，故C错误；对于D且是平行四边形，故充分性成立，若四边形是平行四边形，则，故必要性也成立，故D正确.故选：AD10.设是等差数列，是其前n项的和，且则下列结论正确的是（）A.B.C.D.与均为的最大第5页/共16页值【答案】ABD【解析】的公差为判定，即可求解.【详解】根据题意，设等差数列的公差为，因为，可得，对于A中，由，所以A正确；对于B中，由，所以B正确；对于C中，由，所以，所以C不正确；对于D中，由，可得数列为递减数列，且，所以，所以和均为的最大值，所以D正确.故选：ABD.设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是（）A.B.C.是数列中的最大值D.数列无最大值【答案】AB【解析】【分析】根据条件判断，分和两情况讨论得成立与否得出ABACD第6页/共16页即可判断.【详解】对于A，由可得，（*由可得.当时，因，则，则（*）不成立；所以，则，即A正确；对于B，因，故B正确；对于C,D，由上分析，且，则是数列中最大值，故C错误，D错误.故选：AB【点睛】易错点睛：边界条件的遗漏：在判断数列的公比时，容易忽略公比为正的条件，尤其是当涉及到前项和与前项积的比较时，应特别注意各个条件的限制.最大值的判断：在判断数列是否存在最大值时，容易因数列项的变化规律分析不准确而得出错误结论.对于无穷项的数列，要明确变化的趋向.三、填空题：本题共3小题，每题5分，共分12.经过椭圆M：的左焦点和上顶点的直线记为l.若椭圆M的中心到直线l的距离等于2，且短轴长是焦距的2倍，则椭圆M的方程为________.【答案】【解析】【分析】根据直线的截距式方程，结合点到直线距离公式进行求解即可.【详解】因为经过椭圆M：的左焦点和上顶点的直线记为l，所以直线l的方程可设为，因为圆M的中心到直线l的距离等于2，第7页/共16页所以，因为短轴长是焦距的2倍，所以，因此有，所以椭圆M的方程为，故答案为：13.已知椭圆的左焦点为F，若A､B是椭圆上两动点，且垂直于x轴，则周长的最大值为___________.【答案】12【解析】【分析】根据椭圆的定义以及三角形中两边之和大于第三边的关系即可求解.【详解】如图.设与x轴相交于点C，椭圆右焦点为，连接，所以周长为故的周长的最大值为12，故答案为：12.第8页/共16页14.在数列中，，，则通项公式______.【答案】【解析】【分析】利用累加法求数列的通项公式，同时右边求和时需要利用裂项相消法求和.【详解】因为，即则，，所以，即，又因为，所以，故答案为：四、解答题：本题共5小题，共分15.如图，在长方体中，，为的中点.第9页/共16页（1）求证：.（2）在棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求的长；若不存在，说明理由.【答案】（12）存在，.【解析】1）以为原点建立空间直角坐标系，证明即可；（2的一个法向量即可求出得出.1为原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系（如图）.设，则，，，，，故，，，.因为，所以.第10页/共16页（2）假设棱上存在一点，使得平面，此时.又设平面的法向量，所以，得，取，得平面的一个法向量.要使平面，只要，有，解得.又平面，所以存在点，满足平面，此时.“四破”“建系关”破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.16.已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R（1）证明：直线l过定点；（2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；（3l交x轴负半轴于点Ay轴正半轴于点BOAOB的面积为SS的最小值及此时直线l的方程．【答案】（12）3）S的最小值为4，直线l的方程为x－2y＋4＝0．【解析】y＝k（x＋2）＋1，可以得出直线l总过定点；（2）考虑直线斜率及在y轴上的截距建立不等式求解；（3）利用直线在坐标轴上的截距表示出三角形的面积，利用均值不等式求最值，确定等号成立条件即可求出直线方程.1）证明：直线l的方程可化为y＝k（x＋2）＋1，故无论k取何值，直线l总过定点（－2，1（2）直线l方程为y＝kx＋2k＋1，则直线l在y轴上的截距为2k＋1，要使直线l不经过第四象限，则解得k≥0，故k的取值范围是．（3）依题意，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为1＋2k，第11页/共16页∴A，B（0，1＋2k又且1＋2k＞0，∴k＞0．故S＝|OA||OB|＝××（1＋2k）＝≥×（4＋）＝4，当且仅当4k＝，即k＝时，取等号．故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0．17.在数列中，，.（1）设，求证数列是等差数列；（2）求数列的通项公式.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】(1)根据给定的递推公式结合代入整理即可得解.(2)利用(1)的结论求出数列的通项公式即可计算作答.【小问1详解】在数列中，，，则当时，有，两式相减得：，而，即，则有，整理得，即，所以数列是等差数列.【小问2详解】由得：，而，则，，，因此，等差数列公差，即是以为首项，为公差的等差数列，第12页/共16页则，即，于是得：，所以数列通项公式.18.记数列的前n项和为，对任意，有．（1）证明：是等差数列；（2）若当且仅当时，取得最大值，求的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】1）利用数列，结合等差数列的定义，即可证明；（2）由条件转化为，再转化为关于首项的不等式，即可求解.【小问1详解】因为①，则②①－②可得，故为等差数列．【小问2详解】若当且仅当时，取得最大值，则有,得则，，故的取值范围为．19.在①，，②，，③点在直线上，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答.已知数列的前n项和为，___________.第13页/共16页（1）求的通项公式；（2）若，求的前项和.【答案】1）2）.【解析】1）若选①，根据已知条件考虑对应的等式，两式作差得到的关系，通过条件证明是等比数列，并求解出通项公式；若选②，根据已知条件考虑对应的等式，结合得到的关系，通过条件证明是等比数列，并求解出通项公式；若选③，将点代入直线方程，然后根据得到的关系，通过条件证明是等比数列，并求解出通项公式；（2）先求解出的通项公式，然后采用错位相减法进行求和.1）方案一：选条件①.∵，当时，，两式相减，整理得，∵，∴，，所以，数列是以为首项，为公比的等比数列，∴.方案二：选条件②.∵，当时，，两式相减，整理得，第14页/共16页∵，，∴，，所以，数列是以为首项，为公比的等比数列.∴方案三：选条件③.点在直线上，∴