随机变量的数字特征与特征函数

第四章随机变量数字特征与特征函数前面讨论了随机变量及其分布.假如知道了随机变量X概率分布，那么X全部概率特征也就知道了.在实际问题中，概率分布是较难确定.在实际应用中，有时并不需要知道随机变量全部性质，只要知道它一些数字特征就够了.更主要是一些分布能够由它一些数字特征完全刻画.所以，在对随机变量研究中，确定随机变量一些数字特征是非常主要.最惯用数字特征是数学期望和方差。4.1数学期望→第1页4.1数学期望一、离散型随机变量数学期望平均值是日常生活中最惯用一个数学特征，它对评判事物、做出决议等含有主要作用。P138例1定义：设X为离散型随机变量，其分布律为或均值，记为E(X)或EX.即：例：产品价值评判连续型r.v.数学期望→X~B(n,p),E(X)=?X~π(λ),E(X)=?第2页二、连续型随机变量数学期望设X是连续型随机变量，其密度函数为f(x),在数轴上取很密点x0<x1<x2<…,则X落在小区间[xi,xi+1)概率是在小区间[xi,xi+1)上因为xi与xi+1很靠近,所以区间[xi,xi+1)中值可用xi来近似地替换.所以,X与以概率取值xi

离散型r.v.近似，该离散型r.v.数学期望为：受此启发，定义→这正是渐近和式.第3页定义设X是连续型随机变量，其密度函数为f(x),假如收敛，则称为随机变量X数学期望或均值，记为E(X)或EX,即函数数学期望→可见，X~N(μ,σ2),则其数学期望为μ。后面例题计算使用了这一结论。第4页定理4.1.1(1)设离散型随机变量X分布律为P141例8三、随机变量函数数学期望要确定Y=g(X)数学期望，因Y也是随机变量，可先确定Y分布再求Y均值，但Y分布确定比较复杂。可否直接用X分布来求Y=g(X)均值？(2)设连续型随机变量X概率密度为f(x),又Y=g(X),若P142例9P142例10性质3，4→第5页(3)设(X,Y)分布律为(4)设(X,Y)概率密度为f(x,y),又Z=g(X,Y)，若P143例11数学期望性质→第6页四、数学期望性质性质5，6为不等式→注：性质3和4可推广到任意有限个随机变量场所。P144例12利用性质求X~B(n,p),E(X)=?第7页柯西-许瓦兹不不等式方差和矩→第8页4.2方差与矩数学期望反应了随机变量取值水平，衡量随机变量相对于数学期望分散程度则需用另一个数字特征:方差一、方差概念和计算定义：设X为一随机变量，假如存在，则称其为X方差，记为D(X),即而称为均方差或标准差。计算公式：方差性质→第9页二、方差性质性质可推广到n个独立随机变量情况。矩→契比雪夫不等式性质4可由契比雪夫不等式推出,见p151第10页三、矩随机变量矩是常见数字特征。数学期望和方差是它特例。定义：设X为随机变量，对任意正整数k，分别称K阶原点矩K阶原点绝对矩K阶中心矩K阶中心绝对矩N维随机变量也能够定义其数学期望和方差。以二维为例,有协方差、相关系数。→第11页4.3协方差与相关系数N维随机变量也能够定义其数学期望和方差。以二维为例。定义设X和Y数学期望E(X)和E(Y)，D(X)和D(Y)存在，则(E(X),E(Y))二维随机变量(X,Y)数学期望(D(X),D(Y))二维随机变量(X,Y)方差问题1二维随机变量数学期望、方差分别反应了它各分量平均值和相对于各自数学期望分散程度。怎样反应各分量之间相互联络呢？问题2另外，在实际问题中，常考虑用一个随机变量X线性函数来近似表示另一个随机变量Y，那么，何时能而何时不能？假如能，怎样衡量与描述近似程度优劣？下面依据独立性来寻求反应X和Y相关程度量→第12页分析：对于相互独立随机变量X,Y，有E(XY)=E(X)E(Y),从而反之则说明，当E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}≠0时，X与Y一定不相互独立，这说明E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}在一定程度上反应了X和Y相关程度。经过例子说明E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}在一定程度上反应了X和Y相关程度→第13页讨论：设后者能用前者线性变换表示，其形式为其中t为常数用所产生均方差来衡量近似程度。所产生均方差为例：设X,Y数学期望、方差均存在，则以下两个随机变量为标准化(无量纲化)，问：后者能用前者线性函数表示吗？近似程度怎样？第14页显然，当时，均方差最小，其值为既决定了反应近似程度均方差最小值，又同时与X、Y相关，故其本身就能反应X、Y近似程度，于是作以下定义第15页一、协方差定义对二维随机变量(X,Y)，若E(X),E(Y),E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}都存在，则称E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}为X与Y协方差或相关矩，记作cov(X,Y)，即显然，协方差也能够表示为P155例1P155例2协方差大小与使用度量单位相关，怎样防止度量单位影响？→第16页二、相关系数用协方差描述随机变量之间相关程度有一个显著不足，就是协方差大小与使用度量单位相关，比如kX和kY之间统计关系与X和Y之间统计关系应该是一样，但其协方差却扩大了k2倍，即Cov(kX,kY)=k2cov(X,Y).为了防止随机变量本身因本身度量单位不一样而影响它们相互关系度量，可将每个随机变量进行标准化，即无量纲化随机变量标准化（无量纲化）：令衡量X*,Y*之间相互关系协方差为：显见，cov(X*,Y*)与cov(X,Y)组成线性关系，也能反应X和Y间相互关系，且因其无量纲，从而不会因单位不一样而影响对相互关系度量。定义相关系数→第17页定义：设(X,Y)为二维随机变量，D(X)>0,D(Y)>0，称为随机变量X和Y相关系数，有时也记为ρ相关系数性质：二维r.v.是协方差，那，n维r.v.呢？→第18页三、协差阵n维随机变量主要数字特征是协差阵。定义：设(X1,X2,…，Xn)为n维随机变量，且则称矩阵为n维随机变量(X1,X2,…，Xn)协差阵。第19页4.5特征函数一、特征函数定义1.复随机变量假如随机变量X和Y都是实值随机变量，则称E=X+iY为复(值)随机变量，其中i为虚单位。2.特征函数定义设X是(实值)随机变量，则对任意实数t，称为随机变量X特征函数，其中i为虚单位。离散型r.v.和连续型r.v.特征函数→第20页3.离散型随机变量特征函数设离散型随机变量X分布律为则X特征函数为4.连续型随机变量特征函数设连续型随机变量X概率密度f(x)，则X特征函数为X~B(n,p)，特征函数=?X服从泊松分布，特征函数=?X服从均匀分布，特征函数=?特征函数性质→第21页二、特征函数性质性质5:特征函数与矩关系→第22页或用特征函数计算矩………求导数………比较简便。用定义计算矩………求级数或积分………比较繁琐。P171例6特征函数与分布函数关系→第23页四、特征函数与分布函数关系则对f(x)连续点x1,x2，有有定理可见，随机变量分布函数与特征函数是以一对应，所以特征函数一样能够完整地描述一个随机变量。Z在概率论中，概率分布于特征函数一一对应性，是特征函数应用理论基础。定理4.5.2：设随机变量X分布函数为，特征函数为定理4.5.2：随机变量X分布函数被它特征函数唯一地确定。第24页例1:一盒晶体管100支,其直流放大倍数β值与对应个数以下：β平均值μ：普通，若随机变量X分布律为则X平均值为第25页例某种产品每件表面上疵点数服从参数泊松分布,若要求疵点数不超出1个为一等品,值10元;疵点数大于1个不多于4个为二等品,价值8元;疵点数超出4个为废品,求:(1)产品废品率;(2)产品价值平均值.解设代表每件产品上疵点数,由题意知价价因为所以产品废品率为第26页设代表产品价值,那么概率分布为:所以产品价值平均值为第27页例4(p139):设X~B(n,p)，求E(X).解：假如求和中没有k，则求和结果为1（概率归一性）。希望把k取掉。先详细化组合数求和结果为1(概率归一性)也可用另一法求得此结果，见p150例6第28页例2(p138):设X~π(λ),试求E(X).解：X分布律后面还可利用特征函数性质来求得此EX，见p171例6.第29页例8随机变量X分布律以下，解：第30页解：用分部积分法第31页例10假设市场上每年对我国某种出口商品需求量是随机变量X(单位为吨)，它在[,4000]内服从均匀分布，又设每售出这种商品1吨可为国家挣得外汇3万元，但若销售部出去而囤积于仓库，则每吨需浪费保养费1万元。问应组织多少货源才能使国家平均收益最大？解：以μ代表某年准备出口此种产品数量，Y为国家收益，则X概率密度为：在准备货源为X吨时，国家平均收益为：第32页教材有误()可见，当组织货源μ=3500吨时，国家平均收益E(Y)最大。教材有误(300)第33页解：因为X,Y独立同分布服从N(0,1)，所以X,Y联合概率密度为第34页例12将不一样地址N封信随机地装入写有对应N个不一样地址信封中去，求碰对地址信件数数学期望。解：令X为碰对地址信件数。又令第i封信碰对信封概率为可见，平均来说，N封信里只有1封信能碰对地址。第35页例:设X~B(n,p)，求E(X).解：题中X是n此试验中A(出现概率为p)出现次数。令显然，独立同分布于参数为p二点分布，即Xi分布律为第36页契比雪夫不等式此不等式称为契比雪夫不等式。契比雪夫不等式是概率论很多不等式中基本和主要一个，从它能够看出，方差越小，随机变量取值就以越大概率集中在数学期望附近，方差大小确实刻画了随机变量取值相对于数学期望分散程度。第37页契比雪夫不等式证实第38页例1(p155)：X和Y联合分布律及边缘分布律以下表，求cov(X,Y).解：依据协方差公式答案第39页例2(p155):设(X,Y)在三角形区域内服从均匀分布，试求cov(X,Y).解：由题作出D如图。显然，D面积为1/2,