湖南省名校联考联合体2024-2025学年高一下学期第二次联考（3月）数学试卷（原卷版+解析版）

名校联考联合体2025年春季高一年级第二次联考数学时量：120分钟满分：150分得分：__________一､选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的）1.复数，则的虚部为（）A.2 B. C. D.2.已知集合，则（）A. B.C. D.3.在平行四边形中，是边上靠近点的三等分点，则（）A. B.C. D.4.已知，则（）A.1 B. C.5 D.5.已知的面积为，则的最小值为（）A2 B. C.4 D.6.在中，角所对应的边分别是，下列结论正确的是（）A.B若，则C.若，则D.若，则为锐角三角形7.设均为单位向量，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件8.已知函数，且，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二､多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知，则下列结论正确的是（）A.若，则B.若，则C.若与的夹角为钝角，则且D若，则或10.关于函数，下列结论错误的是（）A.最小正周期为 B.最大值为3C.图象关于直线对称 D.在区间上单调递增11.函数满足对任意实数，有，且，则下列结论正确的是（）A. B.是偶函数C. D.存在实数使得三､填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12.已知复数满足：，则__________.13.在中，角所对的边分别为.若，则__________.14.已知函数，若存在两个零点，且，则实数__________.四､解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知向量.（1）若，求坐标；（2）若，求与夹角的余弦值；（3）求的最大值.16.在中，角的对边分别是，且.（1）求角的大小；（2）若为的中点，，求的面积.17.如图，在海岸线一侧有一休闲游乐场.游乐场的前一部分边界为曲线段，该曲线段是函数的图象，图象的最高点为；边界的中间部分为长1千米的直线段，且；游乐场的后一部分边界是以为圆心的一段圆弧.（1）曲线段上的入口距海岸线的距离为1千米，现准备从入口修一条笔直的景观路到，求景观路的长度；（2）如图，在扇形区域内建一个矩形休闲区，矩形的一边在海岸线上，一个顶点在半径上，另外一个顶点在圆弧上，求矩形休闲区面积的最大值和此时点的位置.18.已知函数是偶函数.（1）求的值；（2）直接指出函数单调性（不证明），并解不等式；（3）证明：方程在有唯一实根，且.19.对非空整数集合及，定义，对于非空整数集合，定义.注：是指满足且的最小自然数.（1）设，请直接写出集合；（2）设，求出非空整数集合的元素个数的最小值；（3）对三个非空整数集合，若且，求的所有可能取值.

名校联考联合体2025年春季高一年级第二次联考数学时量：120分钟满分：150分得分：__________一､选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的）1.复数，则虚部为（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的虚部求得正确答案.【详解】复数的实部为2，虚部为.故选：B2.已知集合，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】计算得到集合的等价集合，然后求交集即可.【详解】，，又，．故选：B3.在平行四边形中，是边上靠近点的三等分点，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】画出图形，由向量的加法和数乘，结合平面向量的基本定理计算即得.【详解】如图，故选：B.4.已知，则（）A.1 B. C.5 D.【答案】A【解析】【分析】先根据诱导公式求出，然后将所求式化弦为切代值计算即得.【详解】，则故选：A.5.已知的面积为，则的最小值为（）A.2 B. C.4 D.【答案】D【解析】分析】利用三角形面积公式可得，利用基本不等式可得结果.【详解】∵的面积为，∴，∴，∴，当且仅当时等号成立.故选：D.6.在中，角所对应的边分别是，下列结论正确的是（）A.B.若，则C.若，则D.若，则为锐角三角形【答案】B【解析】【分析】由三角形内角的性质有即可判断A，应用正弦边角关系判断B；若为钝角、为锐角判断C；根据已知只能确定为锐角，但不能确定为锐角三角形判断D.【详解】由，则，A错；由，则，结合正弦边角关系得，B对；由，若为钝角、为锐角，则，C错；由，则，故，所以为锐角，但不能确定为锐角三角形，D错.故选：B7.设均为单位向量，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据题意，由向量数量积的运算律代入计算，结合充分条件以及必要条件的定义，即可得到结果.【详解】若，则，即，即，所以，即，所以充分性成立，若，则，此时，，所以，即，所以必要性成立，所以“”是“”的充分必要条件.故选：C8.已知函数，且，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由分析得，其中，不等式等价转化为，通过分析的单调性和奇偶性可得结果.【详解】由题意得，函数，令，则，由得，∴，即.∵，在上为增函数，在上为减函数，∴在上为增函数，∵定义域为，且，∴是上的奇函数，故.∴由得，，解得或，∴实数的取值范围为.故选：A.二､多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知，则下列结论正确的是（）A.若，则B.若，则C.若与的夹角为钝角，则且D.若，则或【答案】ABD【解析】【分析】运用向量的数量积坐标运算，共线、垂直向量的坐标表示，结合夹角、模长公式，逐个计算验证即可.【详解】，则，故，A正确；若，则，故，B正确；若与的夹角为钝角，则且与为不共线向量，即且，如取，C错误；，解方程得或，D正确.故选：ABD.10.关于函数，下列结论错误的是（）A.最小正周期为 B.最大值为3C.图象关于直线对称 D.在区间上单调递增【答案】BCD【解析】【分析】根据正余弦函数的周期判断A，根据最大值成立的条件判断B，根据特殊值判断CD.【详解】的最小正周期为的最小正周期为，故的最小正周期为，A正确；易知的最大值不超过，当且时，需同时满足且，此时无解，故实际最大值小于，B错误；若的图象关于对称，则，而，与矛盾，故的图象不关于直线对称，C错误；由知，不满足在上单调递增的定义，D错误.故选：BCD11.函数满足对任意实数，有，且，则下列结论正确的是（）A. B.是偶函数C. D.存在实数使得【答案】CD【解析】【分析】利用赋值法，结合函数的奇偶性、三角函数等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】令，得，故为任意值，A错误；令，得，结合，得，不满足偶函数定义，B错误；通过构造可令，可得，，即，C正确；函数满足条件，即.当时，有，存在非零实数解，D正确.故选：CD三､填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12.已知复数满足：，则__________.【答案】2【解析】【分析】利用复数的除法运算法则可求得，进而可求的值.【详解】由已知，得，所以.故答案为：.13.在中，角所对的边分别为.若，则__________.【答案】【解析】【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出，再利用余弦定理求解.【详解】在中，由正弦定理，得，而，则，由余弦定理，得，再由余弦定理，得.故答案为：14.已知函数，若存在两个零点，且，则实数__________.【答案】【解析】【分析】先指数函数，对数函数图象画出函数图象，再结合，再应用指对数运算结合函数单调性即可求解.【详解】画出函数的图象，再画出直线，可以发现当直线过点时，直线与函数图象有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图象有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即.不妨设，则，从而即设，函数单调递增，且所以，又，解得，所以.故答案为：.四､解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知向量.（1）若，求的坐标；（2）若，求与夹角的余弦值；（3）求的最大值.【答案】（1）或.（2）（3）【解析】【分析】（1）根据平行关系，利用数乘列出的方程求解即可；（2）根据向量垂直关系，列出等量关系，再利用数量积求出夹角的余弦值；（3）利用向量的三角不等式即刻求解.【小问1详解】因为，设，则，所以，即或.【小问2详解】因为，所以得到8a→解得.【小问3详解】因为a→所以，当且仅当同向时等号成立.16.在中，角的对边分别是，且.（1）求角的大小；（2）若为的中点，，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理将角化边，再利用余弦定理计算，即可得解；（2）通过中线长性质得到，利用数量积性质得到，结合余弦定理和面积公式即可求．【小问1详解】由余弦定理知，，化简为，化简为，，，.【小问2详解】因为，所以，即，得，中，由余弦定理得，即，联立,可得，.17.如图，在海岸线一侧有一休闲游乐场.游乐场的前一部分边界为曲线段，该曲线段是函数的图象，图象的最高点为；边界的中间部分为长1千米的直线段，且；游乐场的后一部分边界是以为圆心的一段圆弧.（1）曲线段上的入口距海岸线的距离为1千米，现准备从入口修一条笔直的景观路到，求景观路的长度；（2）如图，在扇形区域内建一个矩形休闲区，矩形的一边在海岸线上，一个顶点在半径上，另外一个顶点在圆弧上，求矩形休闲区面积的最大值和此时点的位置.【答案】（1）千米.（2）面积最大为平方千米，点在弧的中点上.【解析】【分析】（1）根据图像求曲线段的解析式，再求出点坐标，即可求景观路长；（2）记，在中，运用三角函数得到.进而得到，结合，，求出.运用矩形面积公式，得到把矩形面积表示成关于的函数，再利用倍角公式和辅助角公式化简，由正弦函数的性质求取最大值.【小问1详解】由已知条件，得，又，又当时，有，且，曲线段的解析式为.由，根据图象得到，解得，又.景观路的长为千米.【小问2详解】易知，又，，记，在中，.即，，又，中，.所以.故，，当时，即时，矩形面积最大为平方千米，此时点在弧的中点上.18.已知函数是偶函数.（1）求的值；（2）直接指出函数的单调性（不证明），并解不等式；（3）证明：方程在有唯一实根，且.【答案】（1）（2）在上递减，在上递增；解集为；（3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用偶函数的定义列式计算得值.（2）利用单调性定义及偶函数的性质确定单调性，再解不等式.（3）构造函数，确定在上的单调性，利用零点存在性定理及单调性推理得证.【小问1详解】由函数为偶函数，得，即.即，要使恒成立，即需，所以【小问2详解】.由于当时，有，且显然递增，故递增.而是偶函数，所以在上单调递减.因此偶函数在上单调递减，在上单调递增.结合单调性，可知不等式等价于，即或解得或，所以原不等式的解集为.【小问3详解】设，则.从而在上单调递减，而，，所以在上有唯一实根.又因为，从而，即.19.对非空整数集合及，定义，对于非空整数集合，定义.注：是指满足且的最小自然数.（1）设，请直接写出集合；（2）设，求出非空整数集合的元素个数的最小值；（3）对三个非空整数集合，若且，求的所有可能取值.【答案】（1）；（2）27；（3）2或3或4.【解析】【分析】（1）设，结合题设定义直接写出集合；（2）设有个元素，由，则，证得，再假设得到矛盾，则有，即可得；（3）先证，如，结合结论得，进而有，注意