2024-2025学年广东省潮州市潮安区高二上册开学摸底考数学检测试卷合集2套（含解析）

2024-2025学年广东省潮州市潮安区高二上学期开学摸底考数学检测试卷（一）一、单选题（本大题共8小题）1．若集合，，则图中阴影部分表示的集合中的元素个数为（

）A．3 B．4 C．5 D．62．在复平面内，复数对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．现采用随机模拟的方式估计一运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数：137

960

197

925

271

815

952

683

829

436

，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（

）A． B． C． D．4．已知向量，若向量与向量平行，则的值为（

）A． B．0 C． D．5．已知向量，则在方向上的投影向量为（

）A． B． C． D．6．在中，角，，的对边分别为，，，若为非零实数），则下列结论错误的是（

）A．当时，是直角三角形 B．当时，是锐角三角形C．当时，是钝角三角形 D．当时，是钝角三角形7．已知是两条不同的直线，为平面，，下列说法中正确的是（

）A．若，且与不垂直，则与一定不垂直B．若与不平行，则与一定是异面直线C．若，且，则与可能平行D．若，则与可能垂直8．已知圆台的上､下底面面积分别为，其外接球球心满足，则圆台的外接球体积与圆台的体积之比为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（

）A． B．C． D．10．如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（

）A．图（1）的平均数中位数众数B．图（2）的平均数<众数<中位数C．图（2）的众数中位数<平均数D．图（3）的平均数中位数众数11．如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，是线段上的动点，则下列说法中正确的是（

）A．存在点，使四点共面B．存在点，使平面C．三棱锥的体积为D．经过四点的球的表面积为三、填空题（本大题共3小题）12．甲、乙两人下中国象棋，若甲获胜的概率是，下成和棋的概率是，则乙获胜的概率是．13．《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦，易经包含了深刻的哲理.如图所示是八卦模型图以及根据八卦图抽象得到的正八边形，其中为正八边形的中心，则.

14．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且，△ABC外接圆面积为则∠A=，△ABC周长的最大值为.四、解答题（本大题共5小题）15．已知复数是纯虚数．（1）求实数的值；（2）若复数满足，，求复数．16．如图，已知平面，，，点为的中点．(1)求证：平面；(2)求证：平面；(3)求直线与平面所成角的大小．17．在一次射击游戏中，规定每人最多射击3次；在A处击中目标得3分，在B，C处击中目标均得2分，没击中目标不得分；某同学在A处击中目标的概率为，在B，C处击中目标的概率均为，该同学依次在A，B，C处各射击一次，各次射击之间没有影响，求在一次游戏中：(1)该同学得4分的概率；(2)该同学得分不超过3分的概率.18．某地为了了解市场经营户年收入情况，随机抽取60家经营户，经统计，这60家经营户去年经营收入（单位：万元）均在区间内，按，，，，，分成6组，频率分布直方图如图所示，若上述居民可支配收入数据的第80百分位数为8.9.

(1)求，的值；(2)估计这60经营户年收入的平均值（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）；(3)用分层抽样的方法在收入区间为的营业户中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2个，求至多有1户在收入区间为内的概率.19．设是半径为1的圆O内接正2024边形，M是圆O上的动点．

(1)求的取值范围；(2)试探究是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．

答案1．【正确答案】B【分析】由集合的运算可知阴影部分为，利用集合运算求解即可.【详解】由图可知，阴影部分的集合为，因为，，所以，其元素个数为4.故选：B2．【正确答案】C【分析】求出复数所对点的坐标即可判断作答.【详解】在复平面内，复数对应的点位于第三象限.故选C.3．【正确答案】A【分析】根据古典概型概率计算公式即可求解．【详解】依题意在组随机数中三次投篮恰有两次命中的有：，，共个，所以该运动员三次投篮恰有两次命中的概率，故选：A．4．【正确答案】A【分析】由题可得,由与向量平行,可得,进而求解即可.【详解】∵向量,∴,，又向量与向量平行,∴,，解得.故选：A.5．【正确答案】A【分析】根据题意可得，结合投影向量的定义分析求解.【详解】因为，则，所以在方向上的投影向量为.故选A.6．【正确答案】D【分析】由正弦定理化简已知可得，利用余弦定理，勾股定理，三角形两边之和大于第三边等知识逐一分析各个选项即可得解．【详解】对于选项，当时，，根据正弦定理不妨设，，，显然是直角三角形，故命题正确；对于选项，当时，，根据正弦定理不妨设，，，显然是等腰三角形，，说明为锐角，故是锐角三角形，故命题正确；对于选项，当时，，根据正弦定理不妨设，，，可得，说明为钝角，故是钝角三角形，故命题正确；对于选项，当时，，根据正弦定理不妨设，，，此时，不等构成三角形，故命题错误.故选：D.7．【正确答案】D【分析】结合点线面之间的关系逐项判断即可得.【详解】对A：在平面内，存在无数条直线和垂直，故A错误；对B：当时，与不是异面直线，故B错误；对C：若，且，与为异面直线，故C错误；对D：若，在内存在直线与垂直，故其可能与垂直，故D正确.故选D.8．【正确答案】B【分析】根据相切结合勾股定理可得，即可求解，由圆台和球的体积公式即可求解.【详解】设圆台的高为，外接球半径为，作出轴截面如图：的上､下底面面积分别为，则圆，的半径分别为2，6，则，解得，故所求体积之比为故选：B

9．【正确答案】AC【分析】根据共线向量定理逐项判定向量是否共线即可.【详解】对于A，，则，为共线向量，故不能作为平面向量的基底；对于B，若存在实数使，则，无解，可以作为平面向量的基底；对于C，，则，为共线向量，故不能作为平面向量的基底；对于D，若存在实数使，则，无解，可以作为平面向量的基底；故选：AC．10．【正确答案】ACD【详解】图（1）的分布直方图是对称的，所以平均数=中位数=众数，故A正确；图（2）众数最小，右拖尾平均数大于中位数，故B错误，C正确；图（3）左拖尾众数最大，平均数小于中位数，故D正确.故选：ACD.11．【正确答案】ABD【详解】对于A中，如图所示，在正方体中，连接，因为分别是的中点，所以,又因为，所以，所以四点共面，即当与点重合时，四点共面，所以A正确；对于B中，连接，当是的中点时，因为，所以，因为平面，平面，所以平面，所以B正确；对于C中，连接，因为，则，所以C错误；对于D中，分别取的中点，构造长方体，则经过四点的球即为长方体的外接球，设所求外接球的直径为，则长方体的体对角线即为所求的球的直径，即，所以经过四点的球的表面积为，所以D正确.故选ABD.12．【正确答案】【分析】根据概率性质可知所有可能的概率和为1.【详解】乙获胜的概率是，故13．【正确答案】/【分析】连接，则，根据给定条件及正八边形的特征，利用数量积的定义求解即可.【详解】在正八边形中，连接，则，

而，即，于是，在等腰梯形中，，所以.故14．【正确答案】9【分析】根据向量的数量积运算、正弦定理、三角恒等变换等知识化简已知条件，求得，利用三角形外接圆的面积求得，利用余弦定理、基本不等式等知识求得三角形周长的最大值.【详解】已知向量，则，则，所以，则，所以，又，故且，所以，又，则；由余弦定理有：，则，由正弦定理可得：的外接圆半径为，则，即，所以，则，当且仅当且，即时等号成立，故三角形周长的最大值为故；15．【正确答案】（1）；（2）或．【分析】（1）由复数为纯虚数，可得，从而可求出的值；（2）由（1）知，令，由，，列方程可求出的值，从而可求出复数【详解】解：（1）由复数为纯虚数，有，得．（2）由（1）知，令，有．又由，得，有．由上知或．16．【正确答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【分析】（1）作出辅助线，得到四边形为平行四边形，所以，从而平面，再由中位线得到，得到平面，证明出面面平行，得到线面平行；（2）由平面，得到平面平面，由三线合一得到，从而得到线面垂直；（3）由（1）得，所以直线与平面所成角和直线与平面所成角相等，由线面垂直得到即为直线与平面所成角，结合勾股定理求出各边长，得到，求出，得到答案.【详解】（1）取中点，连接，，，如图所示，又因为，所以，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，因为点为的中点，所以，又平面，平面，所以平面，又，平面，所以平面平面，又平面，所以平面．（2）因为平面，，所以平面，因为平面，所以平面平面，因为，点为的中点，所以，因为平面平面平面，所以平面，（3）由（1）得四边形为平行四边形，所以，所以直线与平面所成角和直线与平面所成角相等，因为平面，所以即为直线与平面所成角，因为点为的中点，，所以，所以，由，所以，所以直线与平面所成角为．17．【正确答案】(1)(2)【分析】（1）分析该同学得4分的情况，利用独立事件的概率公式即可得解；（2）利用独立事件的概率公式，依次求出该同学得0分，2分，3分的概率，从而得解.【详解】（1）设该同学在A处击中目标为事件A，在B处击中目标为事件B，在C处击中目标为事件C，事件A，B，C相互独立，依题意，则该同学得4分的概率为；（2）该同学得分不超过3分的情况为得0分，2分，3分，该同学得0分的概率为；得2分的概率为；得3分的概率为；则该同学得分不超过3分的概率为.18．【正确答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）根据频率和为1，以及80百分位数计算公式，列式求解；（2）根据频率分布直方图的平均数公式，列式求解；（3）首先计算出区间和的频数，再利用分层抽样，计算出抽取的户数，结合样本空间，和古典概型公式，即可求解.【详解】（1）依题意得，即，又第80百分位数在，，解得，.（2）.（3）在有9户，在有18户，所以在抽取2户，在上抽取4户，设在抽取的2户，设为,在上抽取4户，设为，任取2户的所有情况为，，共15种情况，其中至多有1户在内的样本点包含共9个，设至多有1户在内为事件，则.19．【正确答案】(1)(2)是，4048【分析】（1）根据向量加法的多边形法则，化简可得原式.然后根据已知，即可得出答案；（2）根据已知可得出，.根据向量的减法运算可得，代入原式，根据数量积的运算律展开化简，即可得出，进而得出答案.【详解】（1）由已知可得，.因为是半径的圆O内接正2024边形，M是圆O上的动点，所以，所以，．（2）是定值，定值为4048.因为是半径为1的圆O内接正2024边形，所以，，所以，，所以.2024-2025学年广东省潮州市潮安区高二上学期开学摸底考数学检测试卷（二）一、单选题（本大题共8小题）1．已知空间向量，且，则（

）A．10 B．6 C．4 D．2．若，则（

）A． B．C． D．3．若向量，且，则（

）A.-8 B．8 C．-2 D．24．某校为了了解学生的体能情况，于6月中旬在全校进行体能测试，统计得到所有学生的体能测试成绩均在内.现将所有学生的体能测试成绩按分成三组，绘制成如图所示的频率分布直方图.若根据体能测试成绩采用按比例分层随机抽样的方法抽取20名学生作为某项活动的志愿者，则体能测试成绩在内的被抽取的学生人数为（

）A．4 B．6 C．8 D．105．已知是两个不同的平面，，是内两条不同的直线，则“，且”是“”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件6．已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为5，侧面积为，则该圆台的体积（

）A． B． C． D．7．如图，在九面体中，平面平面，平面平面，底面为正六边形，下列结论错误的是（

）

A．平面B．平面C．平面平面D．平面平面8．如图，在棱长为12的正方体中，分别是棱的中点，平面与直线交于点，则（

）

A．10 B．15 C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知甲组数据为，乙组数据为，将甲､乙两组数据混合后得到丙组数据，则（

）A．丙组数据的中位数为5B．甲组数据的分位数是2C．甲组数据的方差等于乙组数据的方差D．甲组数据的平均数小于乙组数据的平均数10．记的内角的对边分别为，且，的面积为，则的周长可能为（

）A．8 B． C．9 D．11．已知边长为的正三角形的三个顶点都在球的表面上，为球表面上一动点，且不在平面上，当三棱锥的体积最大时，直线与平面所成角的正切值为2，则下列结论正确的是（

）A．球的表面积为B．的最大值为10C．三棱锥体积的最大值为D．当三棱锥的体积最大时，若点与点关于点对称，则三棱锥的体积为三、填空题（本大题共3小题）12．已知空间向量，若共面，则.13．已知数据的极差为6，且分位数为，则.14．如图，平行六面体的所有棱长均为两两所成夹角均为，点分别在棱上，且，则；直线与所成角的余弦值为.四、解答题（本大题共5小题）15．7月23日，第8届中国一南亚博览会暨第28届中国昆明进出口商品交易会在昆明滇池国际会展中心隆重开幕.本届南博会以“团结协作､共谋发展”为主题，会期从23日至28日，共设15个展馆，展览面积15万平方米，吸引82个国家､地区和国际组织参会，2000多家企业进馆参展.某机构邀请了进馆参展的100家企业对此次展览进行评分，分值均在内，并将部分数据整理如下表：分数频数10102020(1)估计这100家企业评分的中位数（保留小数点后一位）；(2)估计这100家企业评分的平均数与方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.16．记的内角的对边分别为.已知.(1)求；(2)若，在边上存在一点，使得，求的长.17．如图，在三棱锥中，为的中点，平面平面是等腰直角三角形，.(1)证明：；(2)求二面角的正弦值.18．如图，甲船在点处通过雷达发现在其南偏东方向相距20海里的处有一艘货船发出供油补给需求，该货船正以15海里/时的速度从处向南偏西的方向行驶．甲船立即通知在其正西方向且相距海里的处的补给船，补给船立刻以25海里/时的速度与货船在处会合．(1)求的长；(2)试问补给船至少应行驶几小时，才能与货船会合？19．将菱形绕直线旋转到的位置，使得二面角的大小为，连接，得到几何体.已知分别为上的动点且.(1)证明：平面；(2)求的长；(3)当的长度最小时，求直线到平面的距离.

答案1．【正确答案】C【分析】运用空间向量平行的坐标结论计算.【详解】因为，所以,即，则.故选C.2．【正确答案】A【分析】运用复数乘除，结合乘方计算即可.【详解】由题意得.故选A.3．【正确答案】B【分析】运用向量的坐标运算，结合垂直的坐标结论计算即可.【详解】由题意得.因为，所以，即.故选B.4．【正确答案】A【分析】根据题意，结合给定的频率分布直方图中的数据，即可求解.【详解】根据题意得，体能测试成绩在内的被抽取的学生人数为.故选A.5．【正确答案】C【分析】由面面平行的判定与性质即可判断．【详解】若，，则不一定平行（缺少条件相交）；若，，则，且，故“，且”是“”的必要不充分条件，故选C．6．【正确答案】B【分析】设出母线，根据侧面积列出方程，求出母线，进而得到圆台的高，得到圆台的体积.【详解】设该圆台的母线长为，根据题意可得，解得，由题意得，，所以该圆台的高为，则．故选B.7．【正确答案】D【分析】运用面面垂直，结合面面平行得到面面垂直，判定C；证明平面.同理可得平面，则，运用线面平行判定判断A；证明平面，结合，得到平面，判断B；利用反证法，得到平面，不成立，判断D.【详解】取的中点的中点，连接.因为平面平面，平面平面，所以平面平面，C正确.因为，所以，面，平面平面，又平面平面，所以平面.同理可得平面，则，因为所以四边形为平行四边形，所以.因为平面平面，所以平面正确.连接，易得，则平面，面，则.因为且都在面内，所以平面.因为，所以平面，B正确.连接，则，若平面平面成立，根据面面垂直的性质易得平面，再由线面垂直的性质有.因为，，根据线面垂直的判定得平面，这显然不成立，所以平面平面不成立，D错误.故选D.

8．【正确答案】A【分析】分别在棱上取点，使得，易证，，则平面截该正方体所得的截面图形是五边形.再计算即可．【详解】分别在棱上取点，使得，连接，根据正方体特征及平行公理，易证，，则平面截该正方体所得的截面图形是五边形.由题中数据，，，可得.故选A.

9．【正确答案】ACD【分析】根据已知条件，结合中位数，百分位数，方差，平均数的公式求解即可.【详解】将丙组数据从小到大排列为，可得丙组数据的中位数为，A正确，将甲组数据从小到大排列为，因为，所以甲组数据的分位数是B错误，易得甲组数据的方差为，乙组数据的方差为，C正确，甲组数据的平均数为，乙组数据的平均数为，D正确．故选ACD.10．【正确答案】AB【分析】由正弦定理得，由三角形面积公式得，进而得出，再根据余弦定理求得或，即可求解．【详解】由正弦定理得，得，则，由，得，所以，由余弦定理，得或17，所以或，所以的周长为8或，故选AB．11．【正确答案】BCD【分析】画出草图，设正三角形的外心为，当三棱锥的体积最大时，三点共线.找出直线与平面所成的角，求出.进而分别运用球的表面积公式计算表面积，的最大值为，运用棱锥体积公式计算三棱锥，的体积即可.【详解】如图，设正三角形的外心为，当三棱锥的体积最大时，三点共线.设球的半径为，易得.直线与平面所成的角为，得.由，得球的表面积为，A错误，的最大值为，B正确.三棱锥体积的最大值为，C正确.三棱锥的体积为，D正确.故选BCD.

12．【正确答案】0【分析】由已知可得，代入坐标计算可求的值.【详解】因为共面，所以，即，则.故0.13．【正确答案】5【分析】运用数据极差和百分位数概念和计算方法分类讨论即可.【详解】因为，所以.当时，数据的分位数为4，由，得，不符合题意，舍去.当时，数据的分位数为，由，得（负根舍去），符合题意，故.故5.14．【正确答案】；【分析】表达出，平方后求出，求出；求出，利用向量夹角余弦公式求出异面直线距离的余弦值.【详解】连接，，故；，故，故，则，故直线与所成角的余弦值为.故；.15．【正确答案】(1)；(2)96，5.8.【分析】（1）由中位数的估计值的定义求解即可；（2）由平均数的估计值与方差的计算公式计算即可.【详解】（1）由题意得这100家企业评分在内的频数为设这100家企业评分的中位数的估计值为，因为评分在内的频数之和为，评分在内的频数之和为，所以，由，得.（2）这100家企业评分的平均数的估计值为这100家企业评分的方差的估计值为：.16．【正确答案】(1)；(2).【分析】（1）运用正弦定理进行边角互化，再用余弦定理可解;（2）运用正弦定理，结合勾股定理可解.【详解】（1）由余弦定理得，因为，所以.因为，所以，解得，因为，所以.（2）因为，所以.设，在中，由正弦定理得，则，，由解得或（舍去），故的长为.17．【正确答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得，结合面面垂直的性质可得平面，然后根据等腰三角形的性质结合条件可得.（2）作，垂足为，连接，由面面垂直的性质可得平面，再由三角形全等，得出，从而建立空间坐标系利用空间向量解决问题.【详解】（1）证明：因为是等腰直角三角形，为的中点，所以，平面，又因为平面