《高中数学“函数模型及其应用”教学设计7600字（论文）》

高中数学“函数模型及其应用”教学设计摘要教学设计是对实现我们的课程目标以及教学实施的基本要求和重大依据．课堂教学设计能否成功直接影响着教育活动的有效性和实施的可行性．因为新课程最终会在课堂教学中得以实施，适当的课堂教学设计也就决定了进行课堂教学的思路．教学的理念主要通过教学设计在课堂教学中得以实现．考虑到课堂教学设计的重要，为了能够让学生更好地理解掌握所有知识，我们需要对幂函数模型及其应用的教学设计进行深入地研讨．本文以幂函数模型为其切入点，以教学设计为中心和重点，共划分为三个组成部分．第一个部分是其研究的背景、目的、意义和方法；第二个部分简单地归纳了幂函数的基本概念、函数模型的基本概念以及函数模型的构建步骤；第三个部分对幂函数的模型及其应用的教学设计进行了深入地研究分析．关键词幂函数模型；应用；教学设计．目录TOC\o"1-3"\h\u28090引言 引言自十七世纪现代数学出现以来，函数一直是高中数学中的重点内容，也是解决数学问题的主要工具．幂函数是课改后高一数学教材引入的第一个初等函数，学习幂函数，不仅能巩固和强化初中已经学过的关于函数的内容和方法，而且也是学习其他函数的重要基础．函数涵盖了广泛的实际应用，教师应该依据现实问题，引导学生体会运用函数知识，构建函数模型的过程．通过构建函数模型来提高处理现实问题的能力，这是培养学生数学模型思想的重要途径．函数里面包括的思想以及方法对于问题的处理也非常关键．函数是形容客观世界中变化关系的重要数学模型，例如:圆柱体的体积和表面积是其底面半径的函数，气体膨胀的体积是温度的函数，运动物体的路程是时间的函数，正方体的体积是边长的函数等．运用函数思想解决问题的关键是找到相关变量之间的关系，依据物体运动而变化的性质和规律，选择最佳的函数模型．研究背景研究目的、意义函数是高中数学中的重点内容，也是高考的热点、重点以及难点．2017年版2020年修订我国大规模地进行新课改，尽管在构造和内容上都有非常大的改变，然而函数依旧维持着其中心位置．《普通高中数学课程标准（2017版）》REF_Ref17087\r\h[1]中明确地指出了:函数是一种重要的数学模型，用来描述客观事物的变化规律．将函数及其模型这两全然不同的概念联结到一块是对函数的一种新看法．研究的目的是探索幂函数的模型及其应用，分析教学设计与实践，有效地提高函数这节的教学质量，从理论和实践中找到新的方法与手段，更好地完成了高中函数的教学任务．幂函数教学设计的研究对其他函数教学设计具有十分重要的现实意义，并为后续教学设计的研讨提供参考价值．研究方法课题研究的基本方法主要有:文献分析法．主要利用CNKI、维普等渠道查阅和收集函数教学设计的论文，书籍、报纸刊物等相关作品，并认真阅读、做笔记，总结参考文献，了解高中函数教学情况完善论文写作过程中的理论依据．访谈法．对运城市万荣县某校一高中数学老师就幂函数模型及应用这节在教学过程中的问题进行了深入访谈，了解教师在教学过程中的亲身经历，增加本文现实意义和价值．在活动时间，随机询问了两位学生幂函数的学习情况，从而对这节教学设计进行相应的改正．概念界定幂函数的概念一般地，的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数REF_Ref17087\r\h[1]．函数模型的概念（1）概念模型是指为了某些具体的目标，对客观事物有关基本属性进行精简、概括、提炼出来的对原型的取代REF_Ref17270\r\h[2]．数学模型指依据某些具体的目标，观察和分析这个实际问题，依据其存在的内部逻辑关系，作出必需的假定，采用数学知识和数学语言进行抽象和精简，概括地描述出的一种数学结构REF_Ref17325\r\h[3]．函数模型是指用函数知识和数学语言对大量现实中存在的收入最大化、本钱最小化、效率最高化等现实问题进行简化和假设，构建相应的函数模型，解决现实问题REF_Ref17410\r\h[4]．函数模型的建立步骤（1）仔细审题:通过仔细阅读问题，可以具体地分析问题的变化过程，找到其中的常量、变量和相互关系，将问题简化为数学问题，用精确的语言做出合理的假设．（2）构建模型:依据作出的假定来阐述变量之间的关系，用恰当的数学语言、符号描述问题，构建恰当的函数模型．通常情况下，将自变量设为x，因变量设为y．（3）求解模型:运用恰当的办法以及相关的数学知识，通过运算、推理，对函数模型进行求解，要注意求解过程中实际问题对变量的限制，最后得到数学结论．（4）检验模型:将计算得到的结果重新运用到实际情境中，并用实际的现象结果与之比较，检验模型是否准确、合理、与实际相切合，若与实际不切合，则需要再一次构建模型．（5）应用模型:当模型检验结果准确、合理、符合实际，则可以应用到实际，并且在实际应用中不断地改进．上述过程可以概括为:图STYLEREF1\s2．SEQ图\*ARABIC\s11函数模型的建立过程幂函数模型及其应用的教学设计分析教学设计分析教学目标1．知识与技能:（1）了解幂函数的概念，能画出幂函数的图象．（2）理解它们的一系列性质，并能进行简单的应用．2．过程与方法:经历自主思考，小组合作的过程，可以培养和提高学生的观察、分析和总结归纳问题的能力．3．情感态度与价值观:（1）感受知识的形成、探究过程，并养成勤于思考、乐于合作、善于表达的好习惯，提升数学素养．（2）将所学的知识运用到现实生活中，激发了学生对数学知识的求知欲和探究数学知识的兴趣．教学重难点a．教学重难点．（1）重点:理解幂函数的图象和性质．（2）难点:会建立适宜的函数模型．b．教学重难点分析．（1）幂函数的图象和性质在数学考试中会经常出现，同时在我们的教学目标中也是重中之重，所以把它设为教学重点．（2）在以往的教学过程中，学生们经常不知道怎么选择合适的函数模型，所以在本节教学中会着重强调如何选择恰当的函数模型．教学过程（一）、导入a．导入新知．教师:通过多媒体创设以下个问题:（1）已知某蔬菜元/kg，则购买数量kg与她需要支付的价钱元之间有什么关系？（）（2）已知正方形的边长为，那么正方形的面积是多少？（）（3）已知小孩秒内走了米，那么他的平均速度是多少？（）教师强调要注意:，也可以表达为．教师引导学生进行小组活动探讨解析式的共同特征。b．导入新知分析．（1）在学习方面:学生通过观察上面（1）-（3）中函数的表达式，教师引导学生思考、然后以数学小组为单位，探讨它们的共同特征，发现这些函数的值都是自变量的次方，表达式都具有幂的形式．（2）在小组活动方面:可以让每个学生都参与到课堂中来，充分发表自己的想法和认识，激发学生学习函数的兴趣，调动学生的积极性，活跃课堂气氛．（二）、讲授1．初步感知a．初步感知幂函数的概念．定义:一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数REF_Ref17087\r\h[1]．教师板书．b．初步感知分析．在学习方面:让学生初步感知了解到幂函数的概念．（2）在师生互动方面:师生互动式的教学活动可以加强学生的探究能力，调动积极性．通过观察解析式的共同特征，概括出幂函数的定义，能够培养学生的观察能力，归纳总结能力，提升数学抽象素养．练习1:下列函数是不是幂函数．（1） （2）（3） （4）（5）（6）练习分析:通过这次的练习，学生可以加深对幂函数概念的印象，为后面探讨其图象、性质以及应用作了铺垫．合作探究a．合作探究幂函数的图象和性质．问题1:怎样能画出幂函数的图象？教师:在不知道函数图象的形状特征时，我们通常用什么办法来画函数的图象呢？学生:依据初中学习画简单函数图象的经验，想到可以用描点法画该函数的图象．画函数图象的三个过程为:首先列出与的对应关系表格，然后依据表格的数据在直角坐标系中进行描点，最后将所描的各点相连起来．教师利用多媒体展现画图过程:(1)列表:在这个函数中的取值范围是实数集，列出与的对应关系表格如下:表格STYLEREF1\s3．SEQ表格\*ARABIC\s11对应关系（2）描点:依据这些数据，可以在直角坐标系中描出相应的点、、、、、、等．（3）连线:用滑润的弧线将所描出来的各点按照顺序依次相连起来，就画出幂函数的图象了，如图所示:图STYLEREF1\s3．SEQ图\*ARABIC\s11幂函数图象教师:让学生仿照的画图过程，在同一直角坐标系中，分别画出其他幂函数、、、、的图象．学生:图STYLEREF1\s3．SEQ图\*ARABIC\s12幂函数图象教师:同学们以数学小组为单位讨论这五个函数的值域、奇偶性、单调性等问题．并请小组代表在黑板上将发现的结论填入表格中．表格STYLEREF1\s3．SEQ表格\*ARABIC\s12幂函数的图象及性质教师:依据学生的填写情况，进行恰当的评价与强调．(如要注意:定义域、值域应该写成集合或区间形式，开区间和闭区间的书写区别，单调区间的写法，当单调区间不连续时，要用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接等)．教师:提问怎样知道函数是奇函数还是偶函数呢REF_Ref17906\r\h[5]？学生:知道函数的定义域关于是不对称的，从而得到函数既不是奇函数也不是偶函数．教师:既然奇偶性不用依靠图象就能直接得出，那么单调性能不能也不依靠图象直接得出呢？学生:深入分析，觉得可以用单调性的概念直接得出．教师:怎样用概念得出函数的单调性？学生:依据上一节所学的内容，知道判断函数单调性的方法为“首先任取，，然后作的差，将作差结果进行变形，判断结果是否大于，最后得出结论”．接着依据这个方法来判断函数的单调性．问题2:你能发现所画的这些函数图象有哪些特征REF_Ref17969\r\h[6]？学生:取值不同，函数的图象就不同．当为负整数时，图象为双曲线型；当时，图象为抛物线型；当时，图象为一条直线；当时，图象为抛物线型．问题3:通过图与表格，你能发现什么？教师:可以进行恰当的引导，让学生从函数的公共点、奇偶性、单调性、图象趋势的角度来得出结论．学生:（1）幂函数，，，，的图象都穿过这个坐标．（2），，的图象都关于对称，是奇函数，的图象关于轴对称，是偶函数．（3）在上，单调递减，其他四个幂函数都单调递增．（4）这五个幂函数都没有经过第四象限．（5）在第一象限内，函数的图象向轴正方向与轴无穷靠近但永不相交，向轴正方向与轴无穷靠近但永不相交．b．合作探究分析．（1）在学习方面:1）描点法:学生回想初中已经学过的函数画图方法，自己动手画出幂函数的图象，观察图象得出性质．在此过程中，一方面，可以让每个学生都能参与到课堂中，培养学生的实践操作能力；另一方面，可以锻炼学生的观察和总结能力．2）定义法:根据上节课的学习，学生已经掌握了函数的单调性和奇偶性的概念，教师直接引导学生通过概念来判断函数的性质．让学生对比得出定义法更为简单快捷，依据这个过程，学生可以直观掌握到间接经验，掌握知识点．（2）在教具方面:教师利用多媒体展现画图过程，学生可以直接感受到图象的形成过程，视听说的结合可以让学生加深对这节课的印象．让学生模仿这个过程在练习本上画出其他幂函数的图象，锻炼了其画图技能，增强了动手操作能力．（3）在师生互动方面:先让学生通过观察，表达呈现自己得出的结论，从而激起他们的兴趣．当学生发现一些结论是无误的，但无法清晰地表达出来时，他们就开始有意识地寻找正确的表达方式．而在这个时候，老师必须松手，让学生发现问题并加以处理．如果学生能通过自已的实践找到规则，就更容易理解知识，印象更加牢固．这不仅培养了学生动手实践、口头表达、大脑思考和合作的能力，而且还增强了学生的学习积极性．使学生能自主学习和处理问题，取得很好的效果．练习2:判断幂函数的定义域和奇偶性，并画出图象阐述其单调性REF_Ref18547\r\h[7]．解:因为，所以幂函数的定义域为．因为；所以函数是偶函数．用描点法画出函数在轴正方向上的图象，依据偶函数关于轴对称的性质画出在负方向上的图象．依据图象，能够得到幂函数在上单调递减，在上单调递增．练习分析:通过这道题的练习，检验学生是否掌握幂函数的性质及图象画法．3．深入了解a．深入了解幂函数的应用．一家鞋厂生产一种运动鞋和袜子．每双运动鞋定价元，每双袜子定价元，在优惠活动中，制造商给了顾客两种购买方案:①买一双运动鞋送一双袜子；②运动鞋和袜子按价格的来支付，某鞋店老板想要购买运动鞋双，袜子双，请帮助鞋店老板制定最便宜的采购方案REF_Ref18880\r\h[8]．解析:这是一个关于商品经济的现实生活问题．由题得:要让我们帮助鞋店老板制定出最经济的采购方案，本题已经给出了两种优惠方案．但是还要考虑到第③种方案的设计:同时用到①、②两种方案，也就是先根据方案①购买双运动鞋，可以获得双袜子，再根据方案②购买剩下的袜子．依据以上三种方案，很轻松能找到购买总价格与运动鞋和袜子之间的关系，然后用相应的数学符号表示数量关系，建立幂函数模型．方案①需支付:双运动鞋的总价格剩余的袜子的价格，；方案②需支付:运动鞋和袜子的总价格，；方案③需支付:双运动鞋的总价格+剩余的袜子的总价格，；然后依据这三个特殊的幂函数，判断当自变量变化时，选择什么方案最便宜．首先对比方案②和③，可知不管取什么值，都恒成立．所以方案③比方案②更便宜．然后对比方案③和①．令，当时，可得:．即:当时，方案③更便宜．当时，可得:．即:当时，方案①更便宜．综上所述:当时，方案③更便宜；当时，方案①更便宜．b．深入了解分析．（1）在学习方面:这是幂函数中关于商品经济的问题．让学生能对这类题型有一定的感知．在解答这类型题时，首先要弄明白问题的含义，找到所需数量的等价关系，用数学符号语言来表示等价关系，建立幂函数模型，然后依据自变量的变化范围，利用不等式找到最便宜的采购方案．（2）在教师方面:教师引导学生明确解决问题的思路，全面考虑可以设计的方案，在教学过程中，要注意教师教和学生学的结合．以学生为主体，以教师为主导．（三）、巩固a．巩固练习．1．根据幂函数的性质，比较下列各组数的大小．（1），；（2），．解:（1）幂函数在上单调递增．因为，所以．（2）由于，．幂函数在上单调递增．因为，所以．2．已知幂函数的图象经过点，求这个函数的解析式．解:设幂函数．其图象经过点，所以，解得，所以幂函数的解析式为．3．一家花店每天稳定开销为元，每盆花的购买价格是元，促销价格和平均每天促销出去的产品数量的关系见下表REF_Ref18785\r\h[9]:表格STYLEREF1\s3．SEQ表格\*ARABIC\s13促销单价与日均销售量的关系请问这个花店将促销价格定为多少元才能挣得最多？解:从表中可以得出，每盆花的促销单价每提高元，平均每天促销出去的产品数量就会减少盆．设在购买价格的前提下提高元，平均每天的利润为元，则平均每天促销出去的产品数量为:．因为，且，即，所以，由此得出，当时，值最大．所以，当每盆花的促销价格定为元时，花店才能挣得最多．师生活动:教师利用多媒体出示练习题，让学生独立完成解答，同时请位学生到黑板上进行板演．在学生做题过程中，教师要进行巡视指导，及时纠正学生的错误，并给予解题技巧方法的指导．b．巩固练习分析．（1）在学习方面:本环节给了道练习题，它们是对幂函数的性质和应用的考查，设计这道题有利于学生及时巩固本课所学的知识，同时也可以检测学生生对幂函数这节的掌握情况，为后面学习其他函数奠定基础．（2）在师生活动方面:通过观察不同水平的位学生做题情况，了解他们对本节课知识的掌握情况，分析得出全体学生的学习效果．（四）、总结a．归纳总结．1．画函数图象的步骤是什么？2．这节课，你都学习到了什么？3．在探究知识的过程中，你积累了哪些学习经验和感悟？与同桌互相分享．4．你还有什么问题与困惑？师生互动:学生畅所欲言，总结学到的知识和收获．最后教师进行补充．b．归纳总结分析．在学生方面:学生本人概括所学习的内容，既能加深其对新知识的记忆与理解，也能培养其不断反思、不断总结的良好学习习惯和意识，调动学习热情，积累学习经验和方法，与同桌分享有利于学生之间互相学习、取长补短．在教师方面:教师可以通过学生的总结情况，了解到学生对本节课知识的掌握程度，有利于教师下节课教学的顺利进行．（五）、作业a．布置作业．完成教材95页习题3．4的1、2题．b．布置作业分析．学生可以回顾并巩固幂函数的图象、性质并且能够用本节课的知识解决数学问题．板书设计a．板书设计．幂函数模型及应用1．幂函数的定义．2．幂函数的图象及性质．3．幂函数的应用．b．板书设计分析．有利于帮助学生构建和理清本节的知识结构，清晰的把握学习的重点，降低其理解的难度．教学反思让学生思考画函数图象的三个环节，应强调:在列表时，自变量应该选择互为相反数的数值，容易计算，有利于描点．连线时，要按照描点的顺序连接，明确所取的点越多越接近实际图像．依据表达式画出函数的图象，可以加强学生数形结合的思维．用幂函数处理现实问题时，关键是要用数学语言、数学符号将现实问题简化为数学问题，构建相应的函数模型．本教学设计各环节逐层深入，紧密连接，充足地呈现了师生之间的交流互动．学生在教师的引导帮助情况下，通过实际画图，仔细观察，独立思考等方式，逐层递进，亲自体验知识的构成和发展进程．在任务和问题的驱动下，学生可以一步一步从外到内探索知识．因为学生