2025年上海市金山区中考数学一模试卷附答案

2025年上海市金山区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的。选择正确的选项并填涂在答题纸的相应位置上.】1．（4分）下列函数中，一定是二次函数的是（）A．y=34x+mB．y＝ax2+bx+c（其中a、b、c是常数） C．y＝（2x﹣1）x D．y＝（x+4）2﹣x22．（4分）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，那么下列各式中，正确的是（）A．sinB=35 B．cosB=35 C．3．（4分）在平面直角坐标系xOy中，对于抛物线y＝﹣（x﹣20）2+25，下列叙述正确的是（）A．抛物线有最低点，最低点的坐标是（20，25） B．抛物线有最高点，最高点的坐标是（﹣20，25） C．抛物线有最高点，最高点的坐标是（20，25） D．抛物线有最低点，最低点的坐标是（﹣20，25）4．（4分）下列说法中，正确的是（）A．两个等腰三角形一定相似 B．两个直角三角形一定相似 C．含45°角的两个等腰三角形一定相似 D．含105°角的两个等腰三角形一定相似5．（4分）在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点．下列结论中．错误的是（）A．△ADE∽△ABC B．S△ADEC．DE=12BC D．6．（4分）已知二次函数y＝f（x）的图象是开口向上的抛物线，抛物线的对称轴在y轴右侧．当抛物线与x轴两交点的距离为9时，若f（﹣5）、f（﹣1）、f（4）、f（7）这四个函数值中有且只有一个值不大于0，那么在这四个函数值中，值不大于0是（）A．f（﹣5） B．f（﹣1） C．f（4） D．f（7）二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）已知a、b是不等于0的实数，7a＝5b，那么a+bb=8．（4分）已知f（x）＝4x2﹣1，那么f(2)=9．（4分）将二次函数y＝x2﹣4x+3化成y＝a（x+m）2+k的形式为．10．（4分）第七届中国国际进口博览会（同称“进博会”）于2024年11月5日至10日在国家会展中心（上海）隆重举办．以“新时代、共享未来”为主题，是世界上首个以进口为主题的国家级博览会．小海在地图上（如图）测量他家与国家会展中心（上海）的距离为2.6厘米．那么请帮小海计算出他家与国家会展中心（上海）的实际距离为千米．11．（4分）在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，添加一个条件使△ADE∽△ACB（顶点A、D、E分别与顶点A、C、B对应）．这个条件可以是．（写出一种情况即可）12．（4分）（洞孔成像）如图，AB∥A′B′，物像A′B′所在正方体的面与平面A′B′AB垂直，根据图中尺寸，已知物像A′B′的长为4，那么物AB长为．13．（4分）已知两个相似三角形的一组对应边长分别是5厘米和2厘米，如果这组对应边上的高的长度相差2.4厘米，那么这两条高的长度和为厘米．14．（4分）在△ABC中，如果AB＝AC，这个三角形的重心为点G，设GB→=a→，GA→=b15．（4分）如图，一座大楼前的残疾人通道是斜坡，用AB表示，沿着通道走3.2米可进入楼厅，楼厅比楼外的地面高0.4米，那么残疾人通道的坡度为．（结果保留根号的形式）16．（4分）某校初三数学活动小组在利用尺规把线段AB分割成两条线段．（1）过点B作BC⊥AB，使BC=1（2）联结AC，在线段CA上被取CD＝CB．（3）在线段AB上截取AE＝AD．那么AEBE=17．（4分）在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝13，点E在边DC上，将矩形ABCD沿AE翻折，点D恰好落在边BC上的点F处，那么EC的长为．18．（4分）在平面直角坐标系xOy中，将抛物线l1：y＝ax2+bx+c（其中a、b、c是常数，且a≠0），以原点为中心，旋转180°得抛物线l2，则称l2是l1的“中心对称抛物线”．已知抛物线y1＝x2﹣3x﹣4，将抛物线y1向左平移n个单位长度，与x轴的交点从左到右依次为A、B．将抛物线y1的“中心对称抛物线”y2向右也平移n个单位长度，与x轴的交点从左到右依次为C、D．当线段BC是线段AB、BD的比例中项时，n的值为．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：sin60°tan60°20．（10分）在平面直角坐标系xOy中．已知：抛物线y＝ax2+bx经过点A（﹣4，3）和B（2，1）．（1）求抛物线的表达式；（2）若点C（6，m）在抛物线y＝ax2+bx上，求∠ACO的正弦值．21．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC，BD相交于点O，点E在边AD上，且∠AEO＝∠AOE．（1）求AE的长；（2）求tan∠AEO的值．22．（10分）如图，△ABC和△DEF都是直角三角形纸片，∠A＝∠D＝90°且△ABC与△DEF不相似．其中AB＝a，AC＝b，DE＝m，DF＝n（n＞b＞a＞m）．是否存在经过锐角顶点的一条直线，能把△ABC或△DEF分割成两个三角形，使分割得的两个三角形中有一个三角形（记这个三角形的面积为S）与没有分割的三角形相似．如果存在：（1）请写出你的分割方案（只要写出一个方案即可），并证明方案的正确性；（2）按照你写出的分割方案，求出S的值（可以用a或b或m或n的代数式表示）．23．（12分）已知：如图，点E是平行四边形ABCD的对角线BD上的一点，射线AE与DC交于点F，与BC的延长线交于点H．（1）求证：AE2＝EF•EH；（2）联结DH，若DH＝AB，AD2＝AE•AH，求证：四边形ABCD是菱形．24．（12分）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线f（x）＝x2+（b+1）x+b（b＜0），f（x）的图象与x轴的两个交点分别为点P、点Q（其中点P在点Q左侧）．（1）若将f（x）的图象向上平移2个单位，得到的新抛物线g（x）经过点（1，﹣3），求新抛物线g（x）的表达式；（2）若f（x）的图象在直线x＝1的右侧呈上升趋势，求b的取值范围；（3）在（1）中所求的g（x）的图象与y轴的交点记为点B，与x轴的正半轴交点记为点A，点M在g（x）的图象上．当直线MQ与直线PB垂直，且QP=35QA25．（14分）已知三角形ADE的顶点E在三角形ABC的内部，点D、点E在直线AC同侧．（1）如图1，联结BD、BE、CE，若△ABC和△ADE是等边三角形时，点C、点E、点D三点共线．CE：DE＝1：2，求S△ADE：S△ABC的比值；（2）如图2，联结BD、BE、CE，∠BAC＝∠DAE＝n°（0＜n＜90），若AB＝AC，AD＝AE，求∠BEC﹣∠DBE的值（用含n的代数式表示）；（3）在等腰三角形ABC中，AB＝BC＝5，AC＝8，BH⊥AC，点E在高BH上，点D在HB的延长线上，联结AE并延长交边BC于点F，联结DF，DA，若∠DAE＝∠ABH，△ABD与△BDF相似时，求EH的长．

一．选择题（共6小题）题号123456答案CACDBD一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的。选择正确的选项并填涂在答题纸的相应位置上.】1．【答案】C【解答】解：A、y=34x+m2（其中B、y＝ax2+bx+c（其中a、b、c是常数），当a≠0时是二次函数，故B不符合题意；C、y＝（2x﹣1）x＝2x2﹣x，是二次函数，故C符合题意；D、y＝（x+4）2﹣x2＝8x+16，是一次函数，故D不符合题意；故选：C．2．【答案】A【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，∴BC=5sinB=ACAB=cosB=BCAB=cotB=BCAC=tanB=ACBC=故选：A．3．【答案】C【解答】解：抛物线y＝﹣（x﹣20）2+25，开口向下，有最高点，最高点坐标（20，25），只有选项C符合条件．故选：C．4．【答案】D【解答】解：A、两个等腰三角形不一定相似，故选项A不符合题意；B、两个直角三角形不一定相似，故选项B不符合题意；C、含45°角的两个等腰三角形不一定相似，故选项C不符合题意；D、含105°角的两个等腰三角形一定相似，故选项D符合题意；故选：D．5．【答案】B【解答】解：如图，∵点D，E分别是边AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=12BC，DE∥BC，△ADE∽△ABC，故A、C、∵AD＝BD，∴ADAB∴S△ADE∴S△ADE=14S△ABC，故故选：B．6．【答案】D【解答】解：∵抛物线的开口向上，对称轴在y轴右侧，且抛物线与x轴两交点的距离为9，∴在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，抛物线与x轴两交点到对称轴的距离为4.5，若f（﹣5）≤0，则f（﹣1）＜0，不符合题意，故f（﹣5）＞0；若f（﹣1）≤0，则抛物线与x轴的一个交点范围为﹣4.5＜x≤﹣1，∴抛物线与x轴的另一个交点范围为4.5＜x≤8，∴f（4）＜0，不符合题意，故f（﹣1）＞0；当f（4）≤0时，抛物线与x轴的一个交点范围为﹣1＜x≤4，∴抛物线与x轴的另一个交点范围为8＜x≤13，∴f（7）＜0，不符合题意，故f（4）＞0；故只能是f（7）≤0，故选：D．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．【答案】127【解答】解：∵7a＝5b，∴ab∴a+bb故答案为：1278．【答案】7．【解答】解：f（2）＝4×（2）2﹣1＝8﹣1＝7．故答案为：7．9．【答案】y＝（x﹣2）2﹣1．【解答】解：y＝x2﹣4x+3＝x2﹣4x+4﹣1＝（x﹣2）2﹣1，故答案为：y＝（x﹣2）2﹣1．10．【答案】52．【解答】解：设小海家与国家会展中心（上海）的实际距离为x千米，∴2.6：x＝1：20，∴x＝52，答：小海家与国家会展中心（上海）的实际距离为52千米．故答案为：52．11．【答案】∠ADE＝∠ACB（答案不唯一）．【解答】解：添加∠ADE＝∠ACB，又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，故答案为：∠ADE＝∠ACB（答案不唯一）．12．【答案】12．【解答】解：过点O作OC⊥AB于点C，延长CO交A′B′于点C′，如图，依题意得：OC＝15，OC′＝5，∵AB∥A′B′，OC⊥AB，∴OC⊥A′B′，∵AB∥A′B′，∴△OAB∽△OA′B′，∴A′B′AB=OC′解得：AB＝12，故答案为：12．13．【答案】5.6．【解答】解：设较短高为x厘米，则较长的高为（x+2.4）厘米，根据题意得：x：（x+2.4）＝2：5，解得：x＝1.6，所以x+2.4＝4厘米，所以两条高的长度的和为1.6+4＝5.6（厘米），故答案为：5.6．14．【答案】−b→−【解答】解：延长AG交BC于D，∵G是△ABC的重心，∴BD＝CD，DG=12∴GD→∴BD→∴BD→∴BC→=2BD→故答案为：−b→−15．【答案】1：37．【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝3.2米，BC＝0.4米，由勾股定理得：AC=A则残疾人通道的坡度为：0.4：675=故答案为：1：37．16．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）1+5【解答】解：（1）如图所示；点C即为所求；（2）如图所示，点D即为所求；（3）如图所示，点E即为所求．∵BC＝CD=12AB，AC∴AD＝AE＝AC﹣CD=52AB−∴BE＝AB﹣AE＝AB﹣（52AB−12AB）∴AEBE故答案为：1+517．【答案】125【解答】解：∵△AFE是△ADE沿AE翻折得到的，∴△AFE≌△ADE，∴AD＝AF，DE＝FE，∵四边形ABCD是矩形，∴DC＝AB＝5，AD＝BC＝13，在Rt△ABF中，BF=A∴FC＝BC﹣BF＝13﹣12＝1，设DE＝x，则EC＝5﹣x，EF＝x，在Rt△EFC中，EF2＝EC2+FC2，即x2＝（5﹣x）2+12，解得：x=13∴DE=135，EC故答案为：12518．【答案】21±55【解答】解：当y1＝0时，x2﹣3x﹣4＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4，∴抛物线y1＝x2﹣3x﹣4与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（4，0），∵抛物线y1＝x2﹣3x﹣4向左平移n个单位长度，与x轴的交点从左到右依次为A、B，∴A（﹣1﹣n，0），B（4﹣n，0），∵y1＝x2﹣3x﹣4＝（x−32）2∴抛物线y1的顶点坐标为（32，−点（32，−254）关于原点的对称点为（−∴物线y1的“中心对称抛物线”y2的解析式为y2＝﹣（x+32）2当y2＝0时，﹣（x+32）2解得x1＝1，x2＝﹣4，∴抛物线y2与x轴的交点坐标为（﹣4，0），（1，0），∵抛物线y2向右平移n个单位长度，与x轴的交点从左到右依次为C、D，∴C（﹣4+n，0），D（1+n，0），∴AB＝4﹣n+1+n＝5，BC＝4﹣n+4﹣n＝|8﹣2n|，BD＝4﹣n﹣1﹣n＝|3﹣2n|，∵线段BC是线段AB、BD的比例中项，∴BC2＝AB•BD，∴（8﹣2n）2＝5|3﹣2n|，解得：n=21±5故答案为：n=三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．【答案】3−42【解答】解：原式=323−（=12−=3−420．【答案】（1）y=524x2+（2）55【解答】解：（1）把A（﹣4，3）、B（2，1）分别代入y＝ax2+bx得16a−4b=34a+2b=1解得a=5∴抛物线解析式为y=524x2+（2）把C（6，m）代入y=524x2+112x得m∴C（6，8），∵A（﹣4，3），∴OA=42+3∵AC=(6+4)2∴OA2+OC2＝AC2，∴△AOC为直角三角形，∠AOC＝90°，∴sin∠ACO=OA即∠ACO的正弦值为5521．【答案】（1）AE=5（2）5+【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AO=12∵AB＝2，BC＝4，∴AC=AB2∴AO=5∵AE＝AO，∴AE=5（2）过O作OH⊥AD于H，∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OD，∴AH＝DH=12AD∴EH＝AE﹣AH=5∵OH=O∴tan∠AEO=OH22．【答案】（1）详见解析；（2）bm【解答】解：存在，分割方案：（答案不唯一），如图：过点E的直线交边DF于点G，使得∠DEG＝∠B，证明：∠A＝∠D＝90°AB＝a，AC＝b，DE＝m，DF＝n，∴tanB=ba，tanC=ab，tan∠DEF∵n＞b＞a＞m，∴nm即tan∠DEF＞tanB＞tanC＞tanF，∴∠E＞∠B＞∠C＞∠F，∵∠A＝∠D＝90°，∠DEG＝∠B，∴△ABC∽△DEG；（2）∵△ABC∽△DEG，∴ABDE∵AB＝a，AC＝b，DE＝m，∴DG=bm∴S=123．【答案】（1）证明见解答；（2）证明见解答．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，CB∥AD，∵AB∥FD，∴△ABE∽△FDE，∴AEEF∵HB∥AD，∴△HBE∽△ADE，∴BEDE∴AEEF∴AE2＝EF•EH．（2）联结BD，∵AD2＝AE•AH，∴ADAH∵∠EAD＝∠DAH，∴△EAD∽△DAH，∴∠ADE＝∠AHD，∵∠ADE＝∠HBD，∴∠AHD＝∠HBD，∵∠HDE＝∠BDH，∴△HDE∽△BDH，∴∠AEB＝∠HED＝∠BHD，∵DH＝AB＝CD，∴∠BHD＝∠DCH＝∠ABH，∴∠AEB＝∠ABH，∵∠EAB＝∠BAH，∴△AEB∽△ABH，∴ABAH∴AB2＝AE•AH，∴AB2＝AD2，∴AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形．24．【答案】（1）抛物线g（x）的表达式为g（x）=x（2）﹣3≤b＜0．（3）点M的坐标为（−13，−5【解答】解：（1）由题知，g（x）＝x2+（b+1）x+b+2（b＜0），又过点（1，﹣3），∴﹣3＝1+b+1+b+2，b=−7故抛物线g（x）的表达式为g（x）=x（2）抛物线f（x）＝x2+（b+1）x+b（b＜0）的对称轴为直线x=−b+1当x＞−b+12时，y随x的增大而增大，又f（x）的图象在直线∴−b+12≤（3）由（1）得g（x）=x2−52x−则B（0，−32），而f（x）＝x2+（b+1）x+b＝（x+b）（x+1）（b＜0），故P（﹣1，0），Q（﹣b，0），则QP＝﹣b+1，QA=，且QP=3即﹣b+1＝3，解得b=−12∴Q（12当直线MQ与直线PB垂直时，垂足为H，交y轴于点G，如图1所示，∵∠GHB＝∠GO