2025年山东省济南市中考数学模拟试卷附答案

中考数学模拟试卷一．选择题（共10小题）1．−1A．2 B．12 C．12或−2．杆秤是中国最古老也是现今人们仍然使用的衡量工具，由秤杆、秤砣、秤盘三个部分组成．秤砣、秤杆分别叫做“权”和“衡”，指的是做任何事都要权衡轻重．如图是常见的一种秤砣，则它的主视图是（）A． B． C． D．3．《康熙字典》是中国古代汉字字数最多的字典，共收录汉字47000余个．将47000用科学记数法表示应为（）A．0.47×105 B．4.7×104 C．4.7×103 D．47×1034．如果一个正多边形的每个外角都等于40°，那么它是（）边形．A．七 B．八 C．九 D．十5．如图，已知△ABC≌△CDA，∠B＝120°，∠CAD＝35°，则∠BAC的度数为（）A．25° B．30° C．35° D．40°6．下列运算正确的是（）A．（ab）2＝a2b2 B．a3+a2＝a5 C．a3•a2＝a6 D．2（a﹣b）＝2a﹣b7．若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k＜1 B．k≤1 C．k＜1且k≠0 D．k≤1且k≠08．中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是（）A．18 B．16 C．139．已知在正方形ABCD中，AB长为6，分别以A，B为圆心，以大于AB长度的一半为半径作弧，两弧交于M、N两点，作直线MN，交CD于点E，再分别以A，E为圆心，以大于AE长的一半为半径作弧，两弧交于P、Q两点，作直线PQ，分别与AD，BC交于点F、G，那么四边形AFGB的面积为（）A．18 B．272 C．458 10．如图1，四边形ABCD是平行四边形，连接BD，动点P从点A出发沿折线AB→BD→DA匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段AP的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，下列结论中不正确的是（）A．BD＝10 B．AD＝12 C．平行四边形ABCD的周长为44 D．当x＝15时，△APD的面积为20二．填空题（共5小题）11．若分式x+2x−1的值为0，则x的值为12．如图，在边长为2的正方形内有一边长为1的小正方形，一只青蛙在该图案内任意跳动，则这只青蛙跳入阴影部分的概率是．13．如图，直线m∥n，一块∠B＝60°的直角三角板ABC按如图所示放置，若∠1＝70°，则∠2的度数为．14．中国人逢山开路，遇水架桥，靠自己勤劳的双手创造了世界奇迹．雅西高速是连接雅安和西昌的高速公路，被国内外专家学者公认为全世界自然环境最恶劣、工程难度最大、科技含量最高的山区高速公路之一，全长240km．一辆货车和一辆轿车先后从西昌出发驶向雅安，如图，线段OM表示货车离西昌距离y1（km）与时间x（h）之间的函数关系，线段AN表示轿车离西昌距离y2（km）与时间x（h）之间的函数关系，则货车出发小时后与轿车相遇．15．如图，在矩形ABCD中的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使得C恰好落在AD边上点F处，在AF上取一点G，使得AG＝DF，连接BG并延长交直线EF于点H，当△BHE为等腰三角形时，则GFAD的值为三．解答题（共10小题）16．计算：−117．解不等式组：3(x+1)≥x−1x+1518．如图，在菱形ABCD中，E是CD的中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F．（1）求证：BC＝CF；（2）连接AC，若AB＝2，AE⊥AB，求AC的长．19．实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，AB＝30cm，BE=13AB，试管倾斜角（1）求酒精灯与铁架台的水平距离CD的长度；（2）实验时，当导气管紧贴水槽MN，延长BM交CN的延长线于点F，且MN⊥CF（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：DE＝21.7cm，MN＝8cm，∠ABM＝145°，求线段DN的长度．（参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18）20．如图，AB是⊙O的直径，点C，E在⊙O上，∠CAB＝2∠EAB，点F在线段AB的延长线上，且∠AFE＝∠ABC．（1）求证：EF与⊙O相切；（2）若BF=2，sin∠AFE=4521．学校为调查学生对疫情防控知识的了解情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行测试，将测试成绩整理后分成五组，并绘制成如图的频数分布直方图和扇形统计图，其中“80～90”这组的数据如下：81，83，84，85，85，86，86，87，88，88，88，89请根据图中信息解答下列问题：（1）补全频数分布直方图；（2）在扇形统计图中，“70～80”这组的圆心角为；（3）抽取的样本中学生成绩的中位数为分；（4）成绩在“80～100”的为优秀等次，估计全校1000名学生中，为优秀等次的约有多少人？22．为响应传统文化进校园的号召，某校决定从网店购买《论语》和《弟子规》两种图书以供学生课外阅读．已知两种图书的购买信息如表：《论语》数量/本《弟子规》数量/本总费用（元）4030125050201300（1）《论语》和《弟子规》每本的价格分别是多少元？（2）若学校计划购买《论语》和《弟子规》两种图书共100本，《弟子规》的数量不超过《论语》数量的2倍．请设计出最省钱的购买方案，并求出此方案的总费用．23．如图1，反比例函数y=mx(m≠0)与一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象交于点A（1，3），点B（n，1），一次函数y＝kx+b（k≠0）与y（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）连接OA，OB，求△OAB的面积；（3）如图2，点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接AE，把线段AE绕点A顺时针旋转90°，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标．24．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣1（a、b为常数，a＞0）．（1）若抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，求抛物线对应的函数表达式；（2）如图，当b＝1时，过点C（﹣1，a）、D(1，a+22)分别作y轴的平行线，交抛物线于点M、N，连接MN、MD．求证：MD平分∠（3）当a＝1，b≤﹣2时，过直线y＝x﹣1（1≤x≤3）上一点G作y轴的平行线，交抛物线于点H．若GH的最大值为4，求b的值．25．平行线是研究三角形相似的基本工具．【初步尝试】（1）如图①，在△ABC中，点D在BC边上，BDDC=12，在AB边上求作点【深入研究】（2）如图②，在△ABC和△A′B′C′中，D，D′分别边BC，B′C′上一点，∠BAD＝∠B'A'D'，∠CAD＝∠C′A′D′，BDCD=B′D′C′D′，求证△ABC∽△A′【应用拓展】（3）如图③，已知△ABC，直线l1∥l2∥l3．①在图③中，求作△A′B′C′，使点A′，B′，C′分别在l1，l2，l3上，且△A′B′C′∽△ABC．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要文字说明．）②设在①中所作的△A'B'C'的边A'C'与l2交于点D′，发现随着△ABC形状的变化，B′D′的长度也随之变化．若∠ABC＝120°，l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为4，则B′D′的最小值是．

一．选择题（共10小题）题号12345678910答案B．ABCAADBBD一．选择题（共10小题）1．【答案】B．【解答】解：−12的相反数是故选：B．2．【答案】A【解答】解：从正面看，可得它的主视图是．故选：A．3．【答案】B【解答】解：47000＝4.7×104．故选：B．4．【答案】C【解答】解：设这个正多边形的边数为n，由题意得：40n＝360，解得：n＝9，故选：C．5．【答案】A【解答】解：∵△ABC≌△CDA，∠CAD＝35°∴∠ACB＝∠CAD＝35°∵∠B＝120°∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝25°．故选：A．6．【答案】A【解答】解：∵（ab）2＝a2b2，选项A符合题意；∵a3+a2≠a5，选项B不符合题意；∵a3•a2＝a5≠a6，选项C不符合题意；∵2（a﹣b）＝2a﹣2b≠2a﹣b，选项D不符合题意；故选：A．7．【答案】D【解答】解：∵一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有实数根，∴（﹣6）2﹣4×9k≥0，且k≠0，解得k≤1且k≠0，故选：D．8．【答案】B【解答】解：记《论语》《孟子》《大学》《中庸》分别为A，B，C，D，画树状图如下：一共有12种等可能的结果，其中抽取的两本恰好是《论语》（即A）和《大学》（即C）的可能结果有2种可能，∴P（抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的可能结果）=2故选：B．9．【答案】B【解答】解：如图，过点F作FH⊥BC于点H．则四边形CDFH是矩形，设AE交BF于点J．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝CD＝BC＝6，∠ADE＝90°，由作图可知MN垂直平分AB，FG垂直平分线段AE，∴MN是正方形ABCD的对称轴，∴DE＝EC＝3，在Rt△ADE中，AE=DE2∴AJ＝JE=3∵cos∠DAE=AJ∴35∴AF=15∵∠DAE+∠AFJ＝90°，∠HFG+∠AFJ＝90°，∴∠DAE＝∠HFG，∵∠ADE＝∠FHG＝90°，FH＝CD＝AD，∴△ADE≌△FHG（ASA），∴DE＝GH＝3，∵AF＝BH=15∴BG＝BH＝GH=154−∴四边形AFGB的面积=12×（15故选：B．10．【答案】D【解答】解：当点P运动到点B处时，x＝10，即AB＝10，故A正确，不符合题意；当点P运动到点D处时，y＝12，即AD＝12，故B正确，不符合题意；∴平行四边形ABCD的周长为2（10+12）＝44，故C正确，不符合题意；当x＝15时，点P在BD中点处，如图，此时y＝S△ADP＝S△ABD，作BH⊥AD，∵AB＝BD＝10，∴AH＝DH＝6，∴BH=A∴S△ABD=1∴y=12×故选：D．二．填空题（共5小题）11．【答案】﹣2．【解答】解：由条件可知x+2=0x−1≠0解得x=−2x≠1∴x的值为﹣2，故答案为：﹣2．12．【答案】14【解答】解：这只青蛙跳入阴影部分的概率=1故答案为：1413．【答案】40°．【解答】解：如图：∵m∥n，∴∠3＝∠1＝70°，∴∠4＝180°﹣∠3＝110°，∴∠5＝180°﹣∠A﹣∠4＝180°﹣30°﹣110°＝40°，∴∠2＝∠5＝40°．14．【答案】1.8．【解答】解：设线段OM的函数关系式为y1＝k1x（k1为常数，且k1≠0）．将坐标M（4，240）代入y1＝k1x，得4k1＝240，解得k1＝60，∴y1＝60x（0≤x≤4）；设线段AN的函数关系式为y2＝k2x+b（k2、b为常数，且k2、b≠0）．将坐标B（1.5，75）和N（3，240）代入y2＝k2x+b，得1.5k解得k2∴y2＝110x﹣90，当y2＝0时，得110x﹣90＝0，解得x=9∴线段AN的函数关系式为y2＝110x﹣90（911≤当两车相遇时，y1＝y2，得60x＝110x﹣90，解得x＝1.8，∴货车出发1.8小时后与轿车相遇．故答案为：1.8．15．【答案】见试题解答内容【解答】解：分三种情况讨论：①若△BHE为等腰三角形，且BE＝BH时，如图1，∵△BEF是由△BEC折叠得到，∴∠BFE＝∠BCD＝90°，∠CBE＝∠FBE，∵BE＝BH，∴∠HBF＝∠FBE，∴∠CBE＝∠FBE＝∠HBE，连接CF，则，CF⊥BE，∴∠DCF+∠BCF＝∠CBE+∠BCF＝90°，∴∠DCF＝∠CBE，又∵AG＝DF，AB＝CD，∠A＝∠D，∴△ABG≌△CDF（SAS），∴∠CBE＝∠FBE＝∠HBF＝∠ABH=1∴∠GFM＝∠FBC＝2×22.5°＝45°，过点G作GM⊥BF于点M，∵∠EBH＝∠ABH，∠A＝90°，∴GM＝AG，又∵AG＝DF，设AG＝DF＝GM＝a，GF＝b，在RT△GMF中，∠GFM＝45°，∴GF=2GM即b=2a∴AD＝AG+GF+FD＝a+b+a＝2a+2a＝（2+2）∴GFAD②若△BHE为等腰三角形，且HB＝HE时，如图2，∵HB＝HE，∴∠HBE＝∠HEB，∵△BEF是由△BEC折叠得到，∴∠HEB＝∠CEB，∴∠HBE＝∠CEB，∴BG∥CD，与题意不符，∴此种情况不可能；③若△BHE为等腰三角形，且EB＝EH时，如图3，∵EB＝EH，∴∠H＝∠HBE，∵△BEF是由△BEC折叠得到，∴∠BFE＝∠BCD＝90°，BC＝BF，∴∠H+∠HBF＝90°，又∵∠ABC＝90°，∴∠HBE+∠ABG+∠CBE＝90°，∴∠HBF＝∠ABG+∠CBE，连接FC，由①知∠FCD＝∠CBE＝∠ABG＝∠FBE，设∠FCD＝∠CBE＝∠ABG＝∠FBE＝α，∴∠HBF＝∠ABG+∠CBE＝2α，∴∠ABG+∠HBF+∠FBE+∠CBE＝α+2α+α+α＝5α＝90°，∴α＝18°，∴∠HBF＝2α＝36°，∵AD∥BC，∴∠GFB＝∠FBC＝2α＝36°，∴∠HBF＝∠GFB＝36°，∴△GBF是黄金三角形，∴GFBF∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝BF，∴GFAD故答案为：2−1或5三．解答题（共10小题）16．【答案】11．【解答】解：原式=−1+1+9+2×=−1+1+9+2＝11．17．【答案】﹣2≤x＜3，正整数解有：1、2．【解答】解：3(x+1)≥x−1①x+15由①得，x≥﹣2，由②得，x＜3，∴不等式组的解集为﹣2≤x＜3，所有正整数解有：1、2．18．【答案】（1）证明见解答；（2）AC的长为2．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝DA，BC∥DA，∴∠F＝∠DAE，∵E是CD的中点，∴CE＝DE，在△FCE和△ADE中，∠F=∠DAE∠FEC=∠AED∴△FCE≌△ADE（AAS），∴CF＝DA，∴BC＝CF．（2）解：∵AE⊥AB，∴∠BAF＝90°，∵BC＝CF＝AB＝2，∴AC＝BC=12∴AC的长为2．19．【答案】（1）酒精灯与铁架台的水平距离CD的长度为19.6cm；（2）线段DN的长度为21.8cm．【解答】解：（1）过点E作EG⊥AC于点G，∵AB＝30cm，BE=13∴BE＝10cm，AE＝20cm，∵∠AEG＝α＝10°，∴GE＝AE•cosα＝20×cos10°≈19.6（cm），∴CD＝GE＝19.6cm，答：酒精灯与铁架台的水平距离CD的长度为19.6cm；（2）过点B作BH⊥CF于点H，BP⊥DE于点P，过点M作MQ⊥BH于点Q，则BP＝BE•cosα＝10×cos10°≈9.8（cm），EP＝BE•sinα＝10×sin10°≈1.7（cm），∵DE＝21.7cm，∴PD＝DE﹣EP＝21.7﹣1.7＝20（cm），∴BH＝20cm，∵MN＝8cm，∴QH＝8cm，∴BQ＝BH﹣QH＝20﹣8＝12（cm），∵∠ABM＝145°，∴∠QBM＝∠ABM﹣α﹣90°＝145°﹣10﹣90°＝45°，∴QM＝BQ＝12cm，∴DN＝DH+HN＝BP+QM＝9.8+12＝21.8（cm），答：线段DN的长度为21.8cm．20．【答案】（1）证明见解答；（2）245【解答】（1）证明：如图，连接OE，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA，∴∠FOE＝∠OAE+∠OEA＝2∠OAE，∵∠CAB＝2∠EAB，∴∠CAB＝∠FOE，又∵∠AFE＝∠ABC，∴∠CAB+∠ABC＝∠FOE+∠AFE，∴∠OEF＝∠ACB＝90°，即OE⊥EF，∵OE是半径，∴EF是⊙O的切线；（2）解：设半径为r，即OE＝OB＝r，则OF＝r+2在Rt△EOF中，∵sin∠AFE=4∴r＝42，∴AB＝2r＝82，在Rt△ABC中，sin∠ABC=ACAB=sin∠AFE=45∴AC=45×∴BC=A21．【答案】（1）详见解答；（2）64.8°；（3）85.5；（4）600人．【解答】解：（1）8÷16%＝50（人），50﹣3﹣8﹣9﹣12＝18（人），补全频数分布直方图如图所示：（2）“70～80”这组的圆心角为：950故答案为：64.8°；（3）将50个数据从小到大排列后，处在第25、26位的两个数的平均数为：85+862因此中位数是85.5分．故答案为：85.5；（4）1000×12+18答：估计全校1000名学生中，为优秀等次的约有600人．22．【答案】（1）每本《论语》的价格为20元，每本《弟子规》的价格为15元；（2）当购买《论语》34本，《弟子规》66本时，总费用最少，最少总费用为1670元．【解答】解：（1）设每本《论语》的价格为x元，每本《弟子规》的价格为y元，依题意得：40x+30y=125050x+20y=1300解得：x=20y=15答：每本《论语》的价格为20元，每本《弟子规》的价格为15元．（2）设购买《论语》m本，则购买《弟子规》（100﹣m）本，依题意得：100﹣m≤2m，解得：m≥100设学校购买《论语》和《弟子规》的总费用为w元，则w＝20m+15（100﹣m）＝5m+1500．∵5＞0，∴w随m的增大而增大，又∵m≥1003且∴当m＝34时，w取得最小值，最小值＝5×34+1500＝1670，此时100﹣m＝100﹣34＝66．答：当购买《论语》34本，《弟子规》66本时，总费用最少，最少总费用为1670元．23．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵点A（1，3），点B（n，1）在反比例函数y=m∴m＝1×3＝n×1，∴m＝3，n＝3，∴反比例函数为y=3x，点把A、B的坐标代入y＝kx+b得k+b=33k+b=1解得k=−1b=4∴一次函数为：y＝﹣x+4；（2）令x＝0，则y＝﹣x+4＝4，∴C（0，4），∴S△AOB＝S△BOC﹣S△AOC=1（3）如图2，过A点作x轴的平行线CD，作FC⊥CD于C，ED⊥CD于D，设E（a，3a）（a∵A（1，3），∴AD＝a﹣1，DE＝3−3∵把线段AE绕点A顺时针旋转90°，点E的对应点为F，恰好也落在这个反比例函数的图象上，∴∠EAF＝90°，AE＝AF，∴∠EAD+∠CAF＝90°，∵∠EAD+∠AED＝90°，∴∠CAF＝∠AED，在△ACF和△EDA中，∠CAF=∠AED∠ACF=∠EDA=90°∴△ACF≌△EDA（AAS），∴CF＝AD＝a﹣1，AC＝DE＝3−3∴F（3a−2，4﹣∵F恰好也落在这个反比例函数的图象上，∴（3a−2）（4﹣解得a＝6或a＝1（舍去），∴E（6，1224．【答案】（1）y=1（2）见解答；（3）﹣3．【解答】（1）解：∵抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，∴分别将A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣1中，得a−b−1=016a+4b−1=0解得a=1∴抛物线对应的函数表达式为y=1（2）证明：连接CN，如图，∵b＝1，∴y＝ax2+x﹣1，当x＝﹣1时，y＝a﹣2，∴M（﹣1，a﹣2），当x＝1时，y＝a，∴N（1，a），∵C（﹣1，a），N（1，a），∴CN＝2，CM＝a﹣（a﹣2）＝2，CM⊥CN，在Rt△CMN中，CM＝2，CN＝2，∴MN=C∵DN=a+22∴DN＝MN，∴∠NDM＝∠NMD，∵DN∥CM，∴∠NDM＝∠CMD，∴∠NMD＝∠CMD，∴MD平分∠CMN．（3）解：设G（m，m﹣1），则H（m，m2+bm﹣1），1≤m≤3，当a＝1时，y＝x2+bx﹣1，∵过直线y＝x﹣1（1≤x≤3）上一点G作y轴的平行线，令x2+bx﹣1＝x﹣1，解得x1＝0，x2＝1﹣b．∵b≤﹣2，∴x2＝1﹣b≥3，点G在H的上方，如图