2024-2025高中物理第一章静电场第2节库仑定律讲义+习题含解析新人教版选修3-1

PAGEPAGE14第2节库仑定律1．了解探究电荷间作用力与电荷量、电荷间距离的关系的试验过程。2．知道点电荷的概念。3．理解库仑定律的内容、公式及适用条件，会用库仑定律进行有关的计算。4．了解库仑扭秤试验。1.库仑力：电荷间的相互作用力，也叫eq\o(□,\s\up3(01))静电力。2．点电荷：带电体间的距离比自身的大小eq\o(□,\s\up3(02))大得多，以致带电体的eq\o(□,\s\up3(03))形态、eq\o(□,\s\up3(04))大小及电荷分布状况对它们之间的作用力的影响可忽视时，可将带电体看做eq\o(□,\s\up3(05))带电的点，即为点电荷。3．库仑定律(1)内容：真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成eq\o(□,\s\up3(06))正比，与它们的距离的二次方成eq\o(□,\s\up3(07))反比，作用力的方向在它们的连线上。(2)表达式：F＝eq\o(□,\s\up3(08))keq\f(q1q2,r2)，k叫做静电力常量。(3)适用条件：真空中的eq\o(□,\s\up3(09))静止点电荷。(4)库仑扭秤试验测得静电力常量k＝eq\o(□,\s\up3(10))9.0×109N·m2/C2。(1)只有体积很小或电荷量很小的带电体才可以看做点电荷吗？提示：不是。一个带电体能否看做点电荷，是相对于详细问题而言的，与体积大小和电荷量大小无关。(2)点电荷就是元电荷吗？提示：不是。点电荷是一种志向化的物理模型，元电荷是最小电荷量。(1)库仑力的大小与电性没有关系。()(2)相互作用的两个点电荷，不论它们的电荷量是否相等，它们之间的库仑力大小肯定相等。()(3)两个带电小球即使相距特别近，也能用库仑定律计算库仑力的大小。()提示：(1)√(2)√(3)×因为当r→0时两带电小球已不能看成点电荷，库仑定律已不再成立。课堂任务库仑定律细致视察下列图片，细致参加“师生互动”。M是一个带正电的物体，丝线上所系的小球带正电。活动1：图中在不同距离时小球偏转角度有何不同，说明白什么？提示：对丝线上的小球受力分析，如图所示，由共点力平衡得：F＝mgtanθ，θ变大，F变大；θ变小，F变小。距离越近，悬线偏角越大，距离越远，悬线偏角越小，说明白电荷之间的作用力与距离有关，随距离的增大而减小。活动2：用一个不带电的绝缘小球与位置P1的小球接触一下(或接触M)移开，视察到什么现象？说明白什么？提示：不管接触位置P1的小球还是接触M之后，都会发觉P1处的悬线偏角减小。因为接触带电使得接触后的带电物体电荷量削减，说明白电荷之间的作用力与电荷量有关，而且两个电荷的电荷量越大力越大，反之力越小。活动3：库仑通过扭秤试验进一步发觉F∝eq\f(1,r2)，F∝q1q2，试写出电荷之间作用力的数量关系。提示：由试验结果可知F∝eq\f(q1q2,r2)，设k为比例系数，则F＝keq\f(q1q2,r2)。活动4：探讨、沟通、展示，得出结论。(1)库仑定律①库仑定律内容真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成正比，与它们的距离的二次方成反比，作用力的方向在它们的连线上。用公式表达即为F＝keq\f(q1q2,r2)。②库仑定律适用条件a．真空中；b.静止；c.点电荷。以上三个条件是志向化的，在空气中、速度远小于光速、带电体可看做点电荷时库仑定律也近似成立。③静电力的确定方法静电力的大小计算和方向推断一般分开进行。a．大小计算：利用库仑定律计算大小时，不必将表示电性的正、负号代入公式，只代入q1、q2的肯定值即可。b．方向推断：利用同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引来推断。(2)点电荷①点电荷是志向化的物理模型：点电荷是只有电荷量，没有大小、形态的志向化模型，类似于力学中的质点，实际中并不存在。②带电体看成点电荷的条件一个带电体能否看成点电荷，要看带电体的形态、大小及电荷分布状况对相互作用力的影响是否可以忽视不计，假如可以忽视不计，则带电体就可以看成点电荷。即使是比较大的带电体，只要它们之间的距离足够大，也可以视为点电荷。③易混淆的几个概念比较项点电荷元电荷小带电体概念忽视了大小、形态、电荷分布状况，只考虑电荷量的带电体电子或质子所带的电荷量体积较小的带电物体实质志向物理模型最小电荷量带电物体联系(1)点电荷、小带电体所带的电荷量肯定是元电荷的整数倍；(2)小带电体在肯定条件下可视为点电荷例1如图所示，两个质量均为m的完全相同的金属球壳a与b，壳层的厚度和质量分布匀称，将它们分别固定于绝缘支座上，两球心间的距离为l，为球半径的3倍。若使它们带上等量异种电荷，两球电荷量的肯定值均为Q，那么，a、b两球之间的万有引力F引、库仑力F库分别为()A．F引＝Geq\f(m2,l2)，F库＝keq\f(Q2,l2)B．F引≠Geq\f(m2,l2)，F库≠keq\f(Q2,l2)C．F引≠Geq\f(m2,l2)，F库＝keq\f(Q2,l2)D．F引＝Geq\f(m2,l2)，F库≠keq\f(Q2,l2)(1)a、b球壳可以看成点电荷吗？提示：不行以，因为两球心间的距离只有球半径的3倍，球壳本身的大小相对于两球之间的距离不能忽视。(2)万有引力定律在物体距离很近的时候也可以运用吗？库仑定律可以类推过来吗？提示：万有引力定律在物体距离很近的时候也可以运用，即使两物体紧挨一起也能运用，只是此时两物体间的距离并不为零而是两质心间的距离。库仑定律则不能类推，因为电荷的位置会变，两质心间的距离未必就是两物体电荷“中心”间的距离。[规范解答]由于a、b壳层的厚度和质量分布匀称，两球壳可看成质量集中于球心的质点，可以应用万有引力定律，F引＝Geq\f(m2,l2)。a、b间距l＝3r，距离不远，两球壳因电荷间的相互作用使电荷分布不匀称，由于电荷之间的相互吸引，使相互靠近的一侧电荷分布比较密集，此时的球壳不能看成是点电荷，电荷间的库仑力F库≠keq\f(Q2,l2)，故A、B、C错误，D正确。[完备答案]D库仑力中的极限问题(1)库仑定律适用于点电荷间的相互作用，当r→0时，带电体不能再看成点电荷，库仑定律不再适用，因此不能认为当r→0时，两带电体间的静电力趋向于无穷大。(2)两个带电球体相距比较远时，可以看做点电荷，球心间的距离可看做两电荷间的作用距离，但是当两个带电球体相距比较近时，不能被看做点电荷，此时两带电球体之间的作用距离不等于球心间距离，即电荷的分布会发生变更。若带同号电荷，如图a，由于排斥，作用距离r1大于两球心间距离，此时F<keq\f(q1q2,r2)；若带异号电荷，如图b，由于吸引，作用距离r2小于两球心间距离，此时F>keq\f(q1q2,r2)。eq\a\vs4\al([变式训练1])(多选)两个半径相同的金属小球(视为点电荷)，电荷量之比为1∶7，相距为r，两者相互接触后再放回原来的位置上，则相互作用力可能为原来的()A.eq\f(4,7)B.eq\f(3,7)C.eq\f(9,7)D.eq\f(16,7)答案CD解析设两小球的电荷量分别为q和7q，则原来相距r时的相互作用力F＝keq\f(q·7q,r2)＝keq\f(7q2,r2)。由于两球的电性未知，接触后相互作用力的计算可分为两种状况：(1)两球电性相同。相互接触时两球电荷量平均安排，每个球的电荷量为eq\f(7q＋q,2)＝4q。放回原处后的相互作用力F1＝keq\f(4q·4q,r2)＝keq\f(16q2,r2)，故eq\f(F1,F)＝eq\f(16,7)，D正确。(2)两球电性不同。相互接触时电荷先中和再平分，每个球的电荷量为eq\f(7q－q,2)＝3q。放回原处后的相互作用力F2＝keq\f(3q·3q,r2)＝keq\f(9q2,r2)，故eq\f(F2,F)＝eq\f(9,7)，C正确。课堂任务库仑力的叠加细致视察下列图片，细致参加“师生互动”。A、B两点固定有带电小球Q1、Q2，A、B连线的垂直平分线上有一点C。活动1：假如在C点放置一个负电荷，Q1、Q2都对该负电荷有库仑力作用吗？提示：依据同号电荷相互排斥，异号电荷相互吸引，Q1、Q2都对该负电荷有库仑力作用。活动2：假如忽视除静电力以外其他的一切力，如何求解C点负电荷受到的合力？提示：依据力的合成法则求解。如图所示，可以依据平行四边形定则求解。活动3：探讨、沟通、展示，得出结论。(1)库仑力的特征①真空中两个静止点电荷间相互作用力的大小只跟两个点电荷的电荷量及间距有关，跟它们的四周是否存在其他电荷无关。②两个点电荷之间的库仑力同样遵守牛顿第三定律，即互为作用力与反作用力的两个库仑力总是等大反向。(2)库仑力的叠加两个或两个以上点电荷对某一个点电荷的作用力，等于各点电荷单独对这个电荷的作用力的矢量和。例2有两个带正电的小球A、B，所带电荷量分别为Q和9Q，在真空中相距0.4m。假如引入第三个小球C，恰好使得三个小球在它们相互的静电力作用下都处于平衡状态，则：(1)第三个小球应带何种电荷？(2)第三个小球应放在何处？电荷量是多少？(1)三个小球在它们相互的静电力作用下都处于平衡状态时，A、B、C小球分别受到哪几个力？合力分别是多少？提示：分别受到另外两个小球的库仑力作用，合力均为零。(2)作用力和反作用力间的关系对库仑力适用吗？提示：适用。库仑力是一种性质力，力的基本规律都对库仑力适用。[规范解答](1)A对B的作用力向右，B对A的作用力向左，A、B、C均处于平衡状态，故C对B的作用力向左，C对A的作用力向右，所以C肯定在A、B之间且带负电。(2)设第三个小球C所带电荷量为q(取肯定值)，离A球的距离为x。则对小球C由平衡条件可得：keq\f(Q·q,x2)＝keq\f(9Q·q,0.4m－x2)解得x＝0.1m，即在AB连线上距A球0.1m处。对于小球A，由平衡条件可得：keq\f(Q·q,x2)＝keq\f(Q·9Q,0.4m2)，可得q＝eq\f(9,16)Q。[完备答案](1)带负电(2)在两个小球连线之间，距A球0.1m处eq\f(9,16)Q三点电荷共线平衡问题如图，光滑绝缘水平面上有三个带电小球a、b、c，均可视为点电荷，三球沿一条直线摆放，仅在它们之间的静电力作用下处于静止状态，且rab<rbc，则Qa、Qc电性相同，并与Qb电性相异，且电荷量大小的关系为Qc>Qa>Qb。可以简记为两同夹一异，两大夹一小，近小远大。eq\a\vs4\al([变式训练2])两个大小相同的小球带有同种电荷，质量分别为m1和m2，电荷量分别是q1和q2，用绝缘线悬挂后，因静电力而使两悬线张开，分别与竖直方向成α1角和α2角，且两球处于同一水平线上，如图所示，若α1＝α2，则下述结论正确的是()A．q1肯定等于q2B．肯定满意eq\f(q1,m1)＝eq\f(q2,m2)C．m1肯定等于m2D．必需同时满意q1＝q2、m1＝m2答案C解析分别对两小球进行受力分析，如图所示，由平衡条件得F－Tsinα1＝0；Tcosα1－m1g＝0。所以tanα1＝eq\f(F,m1g)＝eq\f(kq1q2,m1gr2)。同理tanα2＝eq\f(F,m2g)＝eq\f(kq1q2,m2gr2)。因为α1＝α2，所以m1＝m2，C正确。A组：合格性水平训练1．(对点电荷的理解)(多选)下列说法中正确的是()A．点电荷是一种志向化模型，真正的点电荷是不存在的B．点电荷就是体积和电荷量都很小的带电体C．依据F＝keq\f(Q1Q2,r2)可知，当r→0时，F→∞D．一个带电体能否看成点电荷，不是看它的尺寸大小，而是看它的形态和大小对所探讨的问题的影响是否可以忽视不计答案AD解析点电荷是一种志向化模型，一个带电体能否看成点电荷不是看其大小和所带电荷量多少，而是应详细问题详细分析，看它的形态和尺寸对相互作用力的影响能否忽视不计。因此大的带电体肯定不能看成点电荷和小的带电体肯定能看成点电荷的说法都是错误的，所以A、D正确，B错误；r→0时带电体已经不能看成点电荷，C错误。2．(库仑扭秤试验)关于物理学探讨思想和方法，下列叙述中不正确的是()A．库仑扭秤的试验中运用了限制变量的思想方法B．悬挂法确定物体重心运用了等效替代的方法C．伽利略在做斜面试验的过程中采纳了微量放大的方法D．用点电荷来代替实际带电体采纳了志向模型的方法答案C解析库仑扭秤的试验中运用了微量放大的方法和限制变量的思想方法，A正确；悬挂法确定物体重心运用了等效替代的方法，B正确；伽利略在做斜面试验的过程中运用试验和逻辑推理相结合的方法，C错误；用点电荷来代替实际带电体采纳了志向模型的方法，D正确；所以C符合题意。3.(库仑定律的适用条件)如图所示，两个半径均为r的金属球放在绝缘支架上，两球面最近距离为r，带等量异种电荷，电荷量为Q，两球之间的静电力()A．等于keq\f(Q2,9r2)B．大于keq\f(Q2,9r2)C．小于keq\f(Q2,9r2)D．等于keq\f(Q2,r2)答案B解析由于两金属球带等量异种电荷，电荷间相互吸引，因此电荷在金属球上的分布向两球靠近的一面集中，电荷间的距离比3r小。依据库仑定律，静电力肯定大于keq\f(Q2,9r2)，B正确。4．(库仑定律理解)将两个分别带有电荷量－2Q和＋5Q的相同金属小球A、B分别固定在相距为r的两处(均可视为点电荷)，它们间库仑力的大小为F。现将第三个与A、B两小球完全相同的不带电小球C先后与A、B相互接触后拿走，A、B间距离保持不变，则两球间库仑力的大小为()A．FB.eq\f(1,5)FC.eq\f(9,10)FD.eq\f(1,4)F答案B解析与小球C接触前F＝keq\f(10Q2,r2)，与小球C接触后A、B的电荷量分别变为－Q和2Q，所以接触后的库仑力F′＝keq\f(2Q2,r2)，为原来的eq\f(1,5)，即eq\f(F,5)，故选B。5．(静电力综合问题)如图所示，两根细线挂着两个质量相同的小球A、B，上、下两根细线的拉力分别为FA、FB，现使A、B带上同种电性的电荷，此时上、下细线受力分别为FA′、FB′，则()A．FA＝FA′，FB>FB′B．FA＝FA′，FB<FB′C．FA<FA′，FB>FB′D．FA<FA′，FB<FB′答案B解析两球都不带电时，FB＝mBg，FA＝(mA＋mB)g，两球都带同种电荷时，有静电斥力作用，设为F，则FB′＝F＋mBg，把A、B看做一个系统，则两球之间的斥力为内力，故FA′＝(mA＋mB)g，所以FB<FB′，FA＝FA′，B正确。6．(库仑定律的综合应用)如图所示，光滑绝缘水平面上固定金属小球A，用原长为L0的绝缘弹簧将A与另一个金属小球B连接，让它们带上等量同种电荷，弹簧伸长量为x1，若两球电荷量各漏掉一半，弹簧伸长量变为x2，则有()A．x2＝eq\f(1,2)x1 B．x2＝eq\f(1,4)x1C．x2>eq\f(1,4)x1 D．x2<eq\f(1,4)x1答案C解析以B球为探讨对象：漏电前，有：k0x1＝keq\f(q2,L0＋x12)，漏电后，有：k0x2＝keq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)q))2,L0＋x22)，联立解得：eq\f(x1,x2)＝eq\f(4L0＋x22,L0＋x12)，由于L0＋x2<L0＋x1，则eq\f(x1,x2)<4，C正确。7．(静电力的叠加)如图所示，有三个点电荷A、B、C位于一个等边三角形的三个顶点上，已知：三角形边长为1cm，B、C电荷量为qB＝qC＝1×10－6C，A电荷量为qA＝－2×10－6C，A所受B、C两个电荷的静电力的合力F的大小和方向为()A．180N，沿AB方向B．180eq\r(3)N，沿AC方向C．180N，沿∠BAC的角平分线D．180eq\r(3)N，沿∠BAC的角平分线答案D解析B、C电荷对A电荷的库仑力大小相等，故：F＝F1＝F2＝eq\f(kqAqB,r2)＝eq\f(9×109×2×10－6×1×10－6,0.012)N＝180N，两个静电力夹角为60°，故合力为：F′＝2Fcos30°＝2×180×eq\f(\r(3),2)N＝180eq\r(3)N，方向沿∠BAC的角平分线，D正确。8．(库仑定律的应用)两个点电荷带有相等的电荷量，要求它们之间相距1m时的相互作用力等于1N，则每个电荷的电荷量是多少？等于电子电荷量的多少倍？答案1×10－5C6.25×1013解析设每个电荷的电荷量为q，已知两点电荷间距r＝1m，相互作用力F＝1N。由库仑定律F＝keq\f(q1q2,r2)＝keq\f(q2,r2)，得q＝eq\r(\f(Fr2,k))＝eq\r(\f(1×12,9×109))C≈1×10－5C。这个电荷量与电子电荷量之比为n＝eq\f(q,e)＝eq\f(1×10－5,1.6×10－19)＝6.25×1013，即点电荷的电荷量是电子电荷量的6.25×1013倍。9．(库仑定律的应用)如图所示，把质量为3g的带电小球B用绝缘细绳悬挂，若将电荷量为Q＝－4.0×10－6C的带电小球A靠近B，当两个带电小球在同一高度相距r＝20cm时，绳与竖直方向成α＝30°角，A、B两球均静止。求B球带的电荷量q。(取g＝10m/s2)答案－eq\f(\r(3),9)×10－7C解析对B球受力分析，如图。依据共点力平衡条件，结合几何关系得到：Tsin30°＝F，Tcos30°＝mg，解得：F＝mgtan30°，依据库仑定律，有：F＝keq\f(Qq,r2)，解得：q＝eq\f(\r(3),9)×10－7C，即B球带的电荷量为q＝eq\f(\r(3),9)×10－7C，由于A、B间为排斥作用，故B球带负电。B组：等级性水平训练10．(库仑定律的理解)两个分别带有电荷量－Q和＋3Q的相同金属小球(均可视为点电荷)，固定在相距为r的两处，它们间库仑力的大小为F。两小球相互接触后将其固定距离变为eq\f(r,2)，则两球间库仑力的大小为()A.eq\f(1,12)FB.eq\f(3,4)FC.eq\f(4,3)FD．12F答案C解析接触前两个点电荷之间的库仑力大小为F＝keq\f(Q·3Q,r2)，接触后再分开，其所带电量先中和后均分，所以两球分开后各自电荷量均为＋Q，距离又变为原来的eq\f(1,2)，库仑力为F′＝keq\f(Q·Q,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r,2)))2)，所以两球间库仑力的大小为eq\f(4F,3)，C正确。11．(静电力综合问题)如图所示，把一带正电的小球a放在光滑绝缘面上，欲使球a能静止在斜面上，需在MN间放一带电小球b，则b应()A．带负电，放在A点B．带正电，放在B点C．带负电，放在C点D．带正电，放在C点答案C解析若b球带正电，则只有当b在a的正下方，且库仑斥力等于a的重力时，a不受支持力，这时才能保持静止，B、D错误；若b球带负电，则a受到的库仑引力向下，a必受支持力和重力，画受力分析图知，只有b在虚线右侧时，a球才可能静止，故C正确。12．(库仑力的叠加)如图所示，在一条直线上的三点分别放置QA＝＋3×10－9C、QB＝－4×10－9C、QC＝＋3×10－9C的A、B、C点电荷，则作用在点电荷A上的作用力的大小为()A．9.9×10－4NB．9.9