《高考备考指南 数学 》课件-第4讲　基本不等式及其应用

第4讲基本不等式及其应用集合与常用逻辑用语、不等式第一章

(本讲对应系统复习P13)课标要求考情概览1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最值问题.3.理解基本不等式在生活实际问题中的应用考向预测：主要考查利用基本不等式求最值、证明不等式、求参数的范围、求解实际问题等，常与函数结合命题.学科素养：主要考查逻辑推理、数学运算的素养栏目导航01基础整合

自测纠偏03素养微专直击高考02重难突破

能力提升04配套训练基础整合自测纠偏1

a＞0，b＞0

a＝b

2ab3.算术平均数与几何平均数设a＞0，b＞0，则a，b的算术平均数为

，几何平均数为

.基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

4.利用基本不等式求最值问题已知x＞0，y＞0，则有(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当

时，x＋y有最小值是_____

(简记：积定和最小)；

(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当

时，xy有最大值是_____

(简记：和定积最大).

x＝y

x＝y

【特别提醒】1.求最值时要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值；三是考虑等号成立的条件.2.运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，还要注意“添、拆项”技巧.

D

D3.(2023年泰安模拟)在实验课上，小明和小芳利用一个不等臂的天平称取药品.实验一：小明将5克的砝码放在左盘，取出一些药品放在右盘中使天平平衡；实验二：小芳将20克的砝码放在右盘，取出一些药品放在左盘中使天平平衡.在这两个实验中，小明和小芳共称得的药品(

)A.大于20克 B.小于20克C.大于或等于20克 D.小于或等于20克C

AC

3.巧用“拆”“拼”“凑”：在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件.4.注意基本不等式成立的条件是a＞0，b＞0，若a＜0，b＜0，应先转化为－a＞0，－b＞0，再运用基本不等式求解.重难突破能力提升2利用基本不等式求最值

示通法利用基本不等式求最值时，如果项是负数，可转化为正数后解决，当和(或积)不是定值时，需要对项进行添加、分拆或变系数，将和(或积)化为定值.

4

考向3消元法求最值

已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为

.

6

【解题技巧】1.利用拼凑法、基本不等式求最值的实质及关键点：拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法.拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键.2.常数代换法求解最值的基本步骤：(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和为定值或积为定值的形式；(4)利用基本不等式求解最值.3.利用消元法、基本不等式求最值的策略：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值.

A

AC

基本不等式的实际应用

要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是

元.

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【解题技巧】利用基本不等式解实际应用题的3个注意点：(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.要注意在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.(3)在运用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解.【变式精练】2.(1)［变条件］若本例中容器底面长不小于2.5m，则该容器的最低总造价是

元.

(2)［变条件］若本例中容器底面长不大于1.5m，则该容器的最低总造价是

元.(精确到十分位)

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163.3

基本不等式的综合应用

B

【解题技巧】利用基本不等式解题的策略：(1)利用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解.(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解.(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得出参数的值或范围.

{a|0＜a≤4}

素养微专直击高考3素养提升——逻辑推理：基本不等式的应用策略

利用基本不等式求最值或证明不等式是高中数学的一个重点，运用该公式时需要满足“一正、二定、三相等”.在运用基本不等式时，常常遇到不能直接套用公式的情况，这时需要对题中的关系式进行适当的