《高考备考指南 数学 》课件-第3讲　函数的奇偶性与周期性

函数概念与基本初等函数第二章第3讲函数的奇偶性与周期性(本讲对应系统复习P29)课标要求考情概览1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、运用简单函数的周期性考向预测：本部分常常命制高考试题，一般结合分段函数、不等式等内容进行综合考查，难度中等.学科素养：主要考查数学抽象、逻辑推理、数学运算的能力栏目导航01基础整合

自测纠偏03素养微专直击高考02重难突破

能力提升04配套训练基础整合自测纠偏11.函数的奇偶性

偶函数奇函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且都有

，则称函数f(x)是偶函数

都有

，则称函数f(x)是奇函数

图象特征关于

轴对称

关于

对称

y轴f(－x)＝f(x)

f(－x)＝－f(x)

原点

【常用结论】函数奇偶性的几个重要结论：(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集.(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有

，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个

的正数，那么这个

就叫做f(x)的最小正周期.

f(x＋T)＝f(x)

最小最小正数

2.对称性的三个常用结论：(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称.

BC

B4.(2023年茂名期末)(多选)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x－3)＝f(x＋1)，当x∈［0，2］时，f(x)＝x2＋1，则下列各选项正确的有(

)A.当x∈［－2，0)时，f(x)＝x2＋1B.y＝f(x)的周期为4C.f(2023)＝3D.y＝f(x)的图象关于(2，0)对称AB【解析】设x∈［－2，0)，则－x∈(0，2］，所以f(x)＝f(－x)＝x2＋1，故A正确；由f(x－3)＝f(x＋1)得f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)的周期为4，故B正确；因为f(2023)＝f(3)＝f(－1)＝f(1)＝2，故C错误；因为f(3)≠－f(1)，故D错误.故选AB.5.(易错题)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x－3，则函数f(x)的解析式为f(x)＝

.

1.判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)，而不能说存在x0使f(－x0)＝－f(x0)或f(－x0)＝f(x0).2.判定分段函数的奇偶性时，不能利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数来否定函数在整个定义域上的奇偶性.

重难突破能力提升2函数奇偶性的判断

函数奇偶性的判断

解：

f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称.又因为f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0，所以f(x)既是奇函数又是偶函数.函数奇偶性的判断

函数奇偶性的判断

【解题技巧】判断函数奇偶性的三种方法：(1)定义法：(2)图象法：

(3)性质法：设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇.［提醒］对函数奇偶性的判断，不能用特殊值法，如存在x0使f(－x0)＝－f(x0)，不能判断函数f(x)是奇函数.

BC

ln2

函数的周期性

C

函数的周期性

例2

(2)(2023年金华调研)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x＜－1时，f(x)＝－(x＋2)2，当－1≤x＜3时，f(x)＝x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2024)＝

.

340【解析】

(2)因为f(x＋6)＝f(x)，所以f(x)的周期T＝6，于是f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－(－3＋2)2＝－1，f(4)＝f(－2)＝－(－2＋2)2＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝1，而2024＝6×337＋2，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2024)＝337×1＋1＋2＝340.【解题技巧】1.函数周期性的判断方法：只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题.2.利用函数周期性求值的方法技巧：根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期.

B

函数性质的应用

示通法函数性质的综合问题，可以利用函数的周期性、对称性确定函数图象，利用已知区间上函数的性质解决问题.

D

B

D

【解题技巧】1.函数性质应用问题的常见类型及解题策略：(1)单调性与奇偶性结合.注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性.(2)周期性与奇偶性结合.此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.(3)周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.2.函数性质综合应用的注意点：函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律.因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转化，再利用单调性解决相关问题.【变式精练】3.(1)(2023年孝感月考)已知f(x)是定义在［－2，2b］上的偶函数，且在［－2b，0］上单调递增，则f(x＋1)≤f(－1)的解集为(

)A.［－2，0］B.［－3，1］C.［－3，－2］∪［0，1］D.(－∞，－2］∪［0，＋∞)C

A

C

素养微专直击高考3

【思维建模】根据以上解答过程可知，上述结果是可以一般化的.事实上，由于g(x)的图象是关于点(0，0)成中心对称的，则f(x)＝g(x)＋b的图象关于点(0，b)成中心对称，则有f(x)＋f(－x)＝2b.也即若f(x)的图象关于点(0，b)成中心对称，则f(x)＋f(－x)＝2b.更一般地，若f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称，则f(x)＋f(2a－x)＝2b.上述结论其实反映了中心对称函数的一般性质.同时也告诉我们，将奇函数平移可以得到中心对称函数，若逆向探讨，则可以得到任何一个中心对称函数平移后都可以变成奇函数，这样便可以得到对称中心.

D