《高考备考指南 数学 》课件-第6讲　立体几何中的向量方法(一)-证明平行与垂直

立体几何与空间向量第七章

第6讲立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直课标要求考情概览1.理解直线的方向向量及平面的法向量.2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系.3.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理考向预测：从近三年高考情况来看，本讲主要考查空间直角坐标系的建立及空间向量坐标的运算能力及应用能力，有时也以探索论证的形式出现.试题以解答题的形式呈现，难度中等.学科素养：主要考查直观想象和逻辑推理的素养栏目导航01基础整合

自测纠偏02重难突破

能力提升03配套训练基础整合自测纠偏11.直线的方向向量与平面的法向量

直线的方向向量如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l______________，则称此向量a为直线l的方向向量

平面的法向量直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量

平行或共线

2.空间位置关系的向量表示

位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝kn2(k∈R)l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为ml∥αn⊥m⇔n·m＝0l⊥αn∥m⇔n＝km(k∈R)平面α，β的法向量分别为n，mα∥βn∥m⇔n＝km(k∈R)α⊥βn⊥m⇔n·m＝0【特别提醒】

方向向量和法向量均不为零且不唯一.1.(2023年海安一模)设向量a＝(3，5，2)，b＝(－2，1，3)，当数m与n满足下列哪种关系时，向量ma＋nb与x轴垂直(

)A.3m＝2n B.3m＝nC.m＝2n D.m＝nA2.(2023年徐州铜山区期中)已知直线l的方向向量为a＝(1，1，2)，平面α的法向量为n＝(2，2，4)，则(

)A.l∥α

B.l⊥αC.l⊂α

D.l与α相交3.(2023年宁德期中)已知平面α的一个法向量为(2，－1，7)，平面β的一个法向量为(1，9，1)，则平面α和平面β的位置关系是(

)A.平行

B.垂直C.相交但不垂直 D.重合BB

ABC5.设μ，v分别是两个不同平面α，β的法向量，μ＝(－2，2，5)，当v＝(3，－2，2)时，α与β的位置关系为

；当v＝(4，－4，－10)时，α与β的位置关系为

.

α⊥βα∥β

重难突破能力提升2利用空间向量证明平行问题

例1如图，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点.求证：(1)PB∥平面EFG；(2)平面EFG∥平面PBC.

【解题技巧】用向量证明平行的方法：(1)线线平行：证明两直线的方向向量共线.(2)线面平行：①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量共线.(3)面面平行：①证明两平面的法向量为共线向量；②转化为线面平行、线线平行问题.【变式精练】1.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，P，Q，R，S分别是AA1，D1C1，AB，CC1的中点.求证：PQ∥RS.

利用空间向量证明垂直问题

示通法用空间向量证明垂直问题时，在建立恰当的空间直角坐标系的基础上，利用空间坐标、空间向量表示点、线，把立体几何的垂直问题转化为向量的数量积问题.考向1证线面垂直例2-1如图，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点.求证：AB1⊥平面A1BD.

考向2证面面垂直例2-1如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上.已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.(1)求证：AP⊥BC；(2)若M是线段AP上一点，且AM＝3，试证明平面AMC⊥平面BMC.

【解题技巧】用向量证明垂直问题的方法：(1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建立空间直角坐标系是解题的关键.(2)证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可，当然，也可证直线的方向向量与平面法向量平行；证明面面垂直：①证明两平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可.【变式精练】2.如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC