《高考备考指南 数学 》课件-第2讲 第2课时　利用导数研究函数的极值、最大(小)值

一元函数的导数及其应用第三章第2课时利用导数研究函数的极值、最大(小)值(本课时对应系统复习P76)课标要求考情概览1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次).3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)考向预测：从近三年高考情况来看，本讲一直是高考的热点.预测本年度高考以考查用导数解决函数的极值、最值问题为主.试题难度较大，主要以解答题形式呈现.学科素养：主要考查直观想象、逻辑推理、数学运算的能力栏目导航01基础整合

自测纠偏03素养微专直击高考02重难突破

能力提升04配套训练基础整合自测纠偏11.极小值、极大值的概念

极小值极大值定义若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都

，f'(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧

，右侧

，就把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值

若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都

，f'(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧

，右侧

，就把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值

f'(x)＜0小

f'(x)＜0f'(x)＞0大

f'(x)＞0图象

2.利用导数研究函数的最值(1)在闭区间［a，b］上连续的函数f(x)在［a，b］上必有最大值与最小值.(2)若函数f(x)在［a，b］上单调递增，则

为函数的最小值，

为函数的最大值；若函数f(x)在［a，b］上单调递减，则

为函数的最大值，

为函数的最小值.

f(b)f(a)f(b)

f(a)【特别提醒】1.函数f(x)在x0处有极值的必要不充分条件是f'(x0)＝0，极值点是f'(x)＝0的根，但f'(x)＝0的根不都是极值点，例如f(x)＝x3，令f'(x)＝0，得x＝0，但x＝0不是极值点.2.极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质.极值点是函数在区间内部的点，不会是端点.【常用结论】1.若函数在开区间(a，b)内的极值点只有一个，则相应极值点为函数的最值点.2.若函数在闭区间［a，b］的最值点不是端点，则最值点亦为极值点.1.(2023年邯郸月考)函数图象连续的函数y＝f(x)在区间［a，b］上(

)A.一定存在极小值B.一定存在极大值C.一定存在最大值D.极小值一定比极大值小C

CC4.(2023年泉州模拟)(多选)设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的有(

)A.∀x∈R，f(x)≥f(x0)B.－x0是f(－x)的极大值点C.－x0是－f(x)的极小值点D.－x0是－f(－x)的极小值点BD

【解析】A选项，x0为极大值点，不能说明函数在x＝x0取最小值，故A错误；B选项，f(－x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称，故在x＝－x0取极大值，故B正确；C选项，－f(x)的图象与f(x)的图象关于x轴对称，故在x＝x0取极小值，故C错误；D选项，－f(－x)的图象与f(x)的图象关于原点对称，故在x＝－x0取得极小值，故D正确.故选BD.5.(易错题)若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2，在x＝1处取得极值10，则a＋b＝

，f(2)＝

.

－7181.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.2.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系.重难突破能力提升2利用导数研究函数的极值示通法求函数极值点的关键是利用方程f'(x)＝0的根，顺次将函数的定义域区间分成若干小开区间，并列成表格，后依表格内容得其结论.考向1判断函数极值、极值点(2023年重庆检测)(多选)函数y＝f(x)的导函数y＝f'(x)的图象如图所示，则(

)A.－3是函数y＝f(x)的极值点B.－1是函数y＝f(x)的极小值点C.y＝f(x)在区间(－3，1)上单调递增D.－2是函数y＝f(x)的极大值点AC

【解析】根据导函数的图象可知，当x∈(－∞，－3)时，f'(x)＜0，当x∈(－3，1)时，f'(x)≥0，所以函数y＝f(x)在(－∞，－3)上单调递减，在(－3，1)上单调递增，可知－3是函数y＝f(x)的极值点，A正确；因为函数y＝f(x)在(－3，1)上单调递增，可知－1不是函数y＝f(x)的极小值点，－2也不是函数y＝f(x)的极大值点，所以B，D错误，C正确.考向2求已知函数的极值

x(0，2)2(2，＋∞)f'(x)＋0－f(x)单调递增ln

2－1单调递减故f(x)在定义域上的极大值为f(x)极大值＝f(2)＝ln

2－1，无极小值.

考向3已知函数极值求参数

【解题技巧】利用导数研究函数极值问题的一般流程：

CD(3)(2023年金华模拟)已知函数f(x)＝x3－3x2，则(

)A.函数f(x)的极大值点为(0，0)B.函数f(x)的极小值为2C.过点(－1，0)作曲线y＝f(x)的切线有两条D.直线3x＋y－1＝0是曲线y＝f(x)的一条切线D

利用导数求函数的最值

(2)f(x)＝x3＋3x2－9x的定义域是R，且f'(x)＝3x2＋6x－9，令f'(x)＝0，解得x1＝－3，x2＝1，随着x的变化，f(x)与f'(x)在R上的变化情况如下：x(－∞，－3)－3(－3，1)1(1，＋∞)f'(x)＋0－0＋f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以f(x)极大值＝f(－3)＝27，f(x)极小值＝f(1)＝－5.(3)由f(－4)＝20及(2)中结论可知：当c≥1时，函数f(x)在区间［－4，c］上的最小值为f(1)＝－5，符合题意，当－4＜c＜1时，函数f(x)在区间［－4，c］上的最小值大于f(1)＝－5，不符合题意，所以c的取值范围是［1，＋∞).【解题技巧】1.利用导数求函数f(x)在［a，b］上的最值的一般步骤：(1)求函数在(a，b)内的极值；(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)；

(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.2.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.

解：(1)当a＝0时，f(x)＝ex－x，求导得f'(x)＝ex－1.令f'(x)＝ex－1＝0，得x＝0.所以f(x)的增区间为(0，＋∞)，减区间为(－∞，0).因此当x＝0时，f(x)取得最小值1.(2)f(x)的定义域为R，f'(x)＝ex＋ax2－asin

x－1.因为f(x)在定义域R上是增函数，则f'(x)≥0.令g(x)＝f'(x)＝ex＋ax2－asin

x－1，则g'(x)＝ex＋2ax－acos

x.令h(x)＝g'(x)＝ex＋2ax－acos

x，则h'(x)＝ex＋2a＋asin

x，注意到a＞0，g(0)＝0，h'(x)＞0恒成立，即g'(x)＝ex＋2ax－acos

x在x∈R上单调递增.

利用导数解决生活中的优化问题

(2)y'＝－6x2＋66x－108＝－6(x2－11x＋18)＝－6(x－2)(x－9).令y'＝0，得x＝2(舍去)或x＝9.显然，当x∈(6，9)时，y'＞0；当x∈(9，11)时，y'＜0.所以函数y＝－2x3＋33x2－108x－108在(6，9)上是递增的，在(9，11)上是递减的.所以当x＝9时，y取最大值，且ymax＝135，所以售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元.【解题技巧】利用导数解决生活中的实际应用问题的一般步骤：［提醒］在利用导数解决实际问题时，若在定义域内只有一个极值，则这个值即为最优解.

素养微专直击高考3

D【解析】由题意可得g(x)＝f'(x)＝3x2＋2ax＋b.因为f(x)在(0，1)上单调递减，所以g(x)≤0在(0，1)上恒成立，即g(0)≤0，g(1)≤0，所以g(0)·g(1)≥0.故选