《高考备考指南 数学 》课件-第5讲　椭　圆

平面解析几何第八章第5讲椭圆(本讲对应系统复习P217)课标要求考情概览1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质.3.通过椭圆与方程的学习，进一步体会数形结合的思想.4.了解椭圆的简单应用考向预测：从近三年高考情况来看，本讲为高考的必考内容.预测本年度将会考查：①椭圆标准方程的求解；②求解与椭圆性质相关的问题；③直线与椭圆位置关系的应用.试题在选择、填空、解答题均有呈现，灵活多变、技巧性强，具有一定的区分度，试题中等偏难.学科素养：主要考查直观想象、逻辑推理、数学运算的素养栏目导航01基础整合

自测纠偏03素养微专直击高考02重难突破

能力提升04配套训练基础整合自测纠偏11.椭圆的定义

条件结论1结论2平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2M点的轨迹为椭圆

为椭圆的焦点；

为椭圆的焦距

|MF1|＋|MF2|＝2a2a＞|F1F2|F1，F2

|F1F2|【特别提醒】

若2a＝|F1F2|，则动点的轨迹是线段F1F2；若2a<|F1F2|，则动点的轨迹不存在.2.椭圆的标准方程和几何性质

标准方程图

形

性

质范

围

≤x≤

，

≤y≤

≤x≤

，

≤y≤

对称性对称轴：坐标轴，对称中心：(0，0)顶

点A1

，A2

，

B1

，B2

A1

，A2

，

B1

，B2

轴长轴A1A2的长为

，短轴B1B2的长为

焦

距|F1F2|＝

离心率a，b，c的关系c2＝

－a

a

－b

b

－b

b

－a

a(－a，0)

(a，0)

(0，－b)

(0，b)(0，－a)

(0，a)

(－b，0)

(b，0)2a

2b

2c

(0，1)

a2－b2【特别提醒】1.判断椭圆的两种标准方程的方法为比较标准方程形式中x2和y2的分母大小.2.关于离心率的取值范围问题，一定不要忘记椭圆离心率的取值范围为(0，1).【常用结论】

椭圆的焦点三角形

椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形.如图所示，设∠F1PF2＝θ.

D

A

D

ABC

(－2，－1)

位置关系解的个数Δ的取值相交两解Δ＞0相切一解Δ＝0相离无解Δ<0

重难突破能力提升2椭圆的定义及应用

BCD

8

(2)根据椭圆的对称性及|PQ|＝|F1F2|可以得到四边形PF1QF2为对角线相等的平行四边形，所以四边形PF1QF2为矩形.设|PF1|＝m，则|PF2|＝2a－|PF1|＝8－m，则|PF1|2＋|PF2|2＝m2＋(8－m)2＝2m2＋64－16m＝|F1F2|2＝4c2＝4(a2－b2)＝48，得m(8－m)＝8，所以四边形PF1QF2的面积为|PF1|×|PF2|＝m(8－m)＝8.【解题技巧】椭圆定义的应用技巧：(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等.(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题.【变式精练】1.(1)一动圆P与圆A：(x＋1)2＋y2＝1外切，而与圆B：(x－1)2＋y2＝64内切，那么动圆的圆心P的轨迹是

(

)A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.双曲线的一支(2)已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1，1)是一定点，则|PA|＋|PF|的最大值为

，最小值为

.

A

椭圆的标准方程

A

【解题技巧】求椭圆标准方程的两种方法：(1)定义法：根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程.(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知道焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可.

BCD

椭圆的几何性质

示通法与椭圆的几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形.考向1椭圆的长轴、短轴、焦距

(多选)嫦娥四号在绕月飞行时是以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100千米，远月点与月球表面距离为400千米，已知月球的直径约为3476千米，则下列选项中错误的有(

)

考向2求椭圆的离心率或范围

BCD

B

考向3与椭圆性质有关的最值或范围问题

C

【解题技巧】1.利用椭圆几何性质的注意点及技巧：(1)注意椭圆几何性质中的不等关系.在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到椭圆标准方程中x，y的范围、离心率的范围等不等关系.(2)利用椭圆几何性质的技巧.当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系.2.求椭圆的离心率问题的一般思路：求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a，b，c的等式或不等式，利用a2＝b2＋c2消去b，即可求得离心率或离心率的范围.

B

A

直线与椭圆的位置关系

已知椭圆C的两个焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，短轴的两个端点分别为B1，B2.

【解题技巧】求解直线与椭圆位置关系的思路及关注点：(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，应用根与系数的关系，解决相关问题.涉及中点弦的问题时用“点差法解决”，往往会更简单.(2)设直线方程时，应注意讨论斜率不存在的情况.利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式.

素养微专直击高考3思想方法——圆锥曲线的弦中点问题

对于弦中点问题，常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交