滨州学院常微分方程期末考试复习题库

2023年上学期常微分方程期末考试题库

一、单项选择题

1.

7■2x

是某个初值问题的唯一解，其中方程是

Z-25/+X2/=2X2

,则初始条件应该是().(1分)

^(0)=2,/(0)=0,/(0)=0

BX0)=2,y(0)=0

cX0)=2,y(0)=0>r(0)=0

D7(0)=2，Z(0)=0

答案：A

2.满足初始条件

%(0)=0

%(0)=0

和方程组

—=l+sin(x+y)

dt

也一cosj+x)

.dt

的解为().(1分)

‘a

A.⑼;

/八

B.W.

cL

ro

D.

答案：c

3.设

%(x)

第1/

的⑶

及

/(X)

是连续函数，

M(x)

和

为(x)

是二阶变系数齐次线性方程

21

—y+a1(x)^+a2(x),y=0

dxdx

的两个线性无关的解，则以常数变易公式

必)=5但更丛±23跑sds

I其⑥乃(s)-K(s)乃⑹

作为唯一解的初值问题是(1分)

驾+。1(乃孚+。式x)y=0,

axax

A.XD=0.

d2y,.dy,、u

—2+%(x)五=5几

B.刈=0.

dy

*+，0)■+。式工)^=0，

C.XI)=1.

+%(x)率十%(初=5元

dx2ax

D.IXD=1.

答案：B

4.常微分方程

乌+8y=0

dx

的基本解组是(1分)

八cos/x，sin>/3x

Be",。"cos0x/sin币x

第2/

r产,。7COS不兀。fSiny/3x

De"',/cos不兀/sin

答案：D

5.己知必x弓,乃（x）=历x和必（6=丁+3是某一三阶齐次线性方程的解，则

为（力，乃⑶和打⑶的朗斯基行列式用［必，必必］"）=（）.（］分）

A.3

B.6

C.9

D.12

答案：A

6.

y=5

是某个初值问题的唯一解，其中方程是

/+5xy+ry=5z

,则初始条件应该是（）.（i分）

AXi）=o,y（i）=5,/（i）=o

Bxi）=5,y（i）=o,^（i）=5

cMD=5,y（1）=0仙1）=0

DXi）=o,y（i）=o,/（i）=5

答案：c

7.初值问题

ax5

7（0）=0

的第二次近似解可以写为（）.（i分）

A.5

6

/

7

B.X

C-

7

第3/

D.X,+7

答案：D

8.设

①©

和

乎⑴

是方程组

dx.八

~=A（Z）x

dt

的两个基解矩阵，则（1分）

A旷气）=中（。叫，）；

B①“⑥=9⑥①⑥；

c.存在某个常数方阵c使得①«）=W«）C,其中detC=0.

D.存在某个常数方阵c使得①（'）=W«）C,其中#tC=0.

答案：c

9.设

%。）

I

的（X）

及

/（X）

是连续函数，

必（X）

和

乃（X）

是二阶变系数齐次线性方程

+孚+。2（了》=。

axax

的两个线性无关的解，则以常数变易公式

%）=3上⑶乃⑸-平）乃（%

［乃仁）乂（s）-乃（s）/（s）

作为唯一解的初值问题是（1分）

第4/

dy..dy,、八

—+，(x)彳+a式;r)y=0,

\axax

A丽。

d2y.dy,、_

I—y+/(乃v丁+%5)y=3,

iaxax

BJW。)=°-

d2y,、dy.

K+/(x).+%(xx)y=0A,

iaxax

CeX0)=3.

2+，(X)字+%(x)7=3,

jaxax

D,[X0)=3.

答案：B

10.已知

M(x)=1，乃("=L%(x)=?

XX

是某一三阶齐次线性方程的解，则

乃(力,乃(力

和

>3(X)

的朗斯基行列式

畋必，为，％](»=

(1分)

12

A.V;

12

B.V;

12

c-7；

12

-

D7

答案：A

11.设

第5/

%(x)

的⑶

及

/（X）

是连续函数，

%（x）

和

%。）

是二阶变系数齐次线性方程

勺^+。1。）孚+。式力=。

axax

的两个线性无关的解，则以常数变易公式

加）=6但竺1曳*必

IN（s）%（s）-K（s）乃（S）

作为唯一解的初值问题是（1分）

d2y+，(力孚+a式x)y=O,

dx2ax

A.XD=o.

d2y

+，⑸一+%(x)y=6,

dx2ax

B.XI)=0.

dv

也+/(工)子+%(彳»=0,

dx2ax

C.

+%(x)率+叼(力)=6,

dx2ax

D.IXl)=1.

答案：B

12.可将一阶方程

/-----=2----+3

\x-y）dxVyJ

化为变量分离方程的变换为（）.（1分）

第6/

〃=一

A.X；

cu=ax+by.

D〃=».，

答案：A

13.微分方程

dny+2-”咎+・・+T'字+伽+厂»=（力+2厂"

dxaxax

是（）。分）

A.n阶常系数非齐次线性常微分方程;

B.n阶常系数齐次线性常微分方程；

C.n阶变系数非齐次线性常微分方程;

D.n阶变系数齐次线性常微分方程.

答案：C

14.满足初始条件和方程组的解为（1分）

A.⑼

C.⑼;

DA

答案：B

15.可将四阶方程

化为一阶方程的变换是（）.（1分）

A.dx

7d、

Z=-7

B.dx

第7/

c*

d5y

Z=

D.dx

答案：B

16.设

的(X)

%(x)

及

/(X)

是连续函数，

4(x)

和

为(X)

足二阶变系数齐次线性方程

+a\(x)~+a2(^)y=°

axax

的两个线性无关的解，则以常数变易公式

欢=j对*®如硬邈sm4sds

i旦(s)必(s)-乂(s)乃(s)

作为唯一解的初值问题是(1分)

dy/dy,、八

]不+勺(工x)子+与&»=0，

[axax

A.加)=0.

+«I(X)孚+以式工»=sin4元

1axax

B.、xi)=0.

I—y+/(x)下+a式x)y=0,

iaxax

-XI)=1-

C.

第8/

d"ydy

J+冬OCT=sin4几

<axax

D.tXD=1.

答案：B

17.微分方程

=x3

的i个解是（）.（1分）

A7=0

B?=X+3

c?="3

D.〉=3-X

答案：D

18.一阶常微分方程

M（x，丁加+Mxj）力=0

是恰当方程的充分必要条件是（i分）

l!

MS

,=

力阳3）

alx

A.a2

Bc.M

,=Mu）

5lv名

s

M!

alx,=

D帘.

a赤

^

M2

,=

«:族从（3，）

D

19.微分方程

dyy2-

axx-y或

的一个解是（）.（1分）

Ay=2瓜

B7=?

第9/

2

y=一

D.X

答案：C

20.设

%。）

的(x)

及

/(X)

是连续函数，

M(x)

和

%(x)

是二阶变系数齐次线性方程

+a(x)+a(x)y=0

axxax2

的两个线性无关的解.，则以常数变易公式

%)=［空但2"回?去

o必(s)«Xi(s)一万(s)乃(s)

作为唯一解的初值问题是(1分)

+勺（工）率+叼（加=/,

dx2ax

X0）=0.

A.

d2ydy

+勺（工）—+a式x）y=0,

dx2ax

B.X0）=o.

也+%（无）孚+?（为少=。,

dx2ax

C.X0）=2.

+%（力孚+%（力＞=V

dx2ax

X0）=2.

D.

答案：A

第10/

21.初值问题

ax3

y（o）=o

的第二次近似解可以写为（）.（i分）

4.

A.卢+M

B.5

4

C.卢

D.3

答案：A

22彳散分方程

/答+（万寸/冬+3'=0

axaxax

是（）.（1分）

A.n阶常系数非齐次线性常微分方程；

B.n阶变系数齐次线性常微分方程；

C.n阶变系数非线性常微分方程；

D.n阶常系数非线性常微分方程.

答案：B

23.设有四个常微分方程：

（•）

,(ii)

(iii)

(?xl—+xy=/

dx

，(iv)

第1"

y（知+smy=0

（1分）

A.线性方程有一个;

B.线性方程有两个;

C.线性方程有三个;

D.线性方程有四个.

答案：C

24.微分方程

a史=4,+y-4x

dx

的一个解是（）.（1分）

A7=4

BP=X4

4

y=-

c.X

D，=4X

答案：D

25.初值问题

丝加+_/

dx2

y（o）=o

的第二次近似解可以写为（）口分）

A.6;

B.X;

?°

c."W；

3省

D.310.

答案：D

26.可将六阶方程

第12/

3

=COS

化为二阶方程的变换是（）.（1分）

屋y

A.dx

z.屋〉

BF

C/

fy

D.z=苏

答案：D

27.设有四个常微分方程：

⑴

喉卜图一

,(ii)

2

d^ydy4

--JT+COS^—=siny

axaxT

启）+siny=1

，(iv)

（1分）

A.四阶方程有一个;

B.四阶方程有两个;

C.四阶方程有三个;

D.四阶方程有四个.

答案：D

第13/

28.微分方程

eK—=+x3/

dx

的一个解是（）.（1分）

A.、=6.

B.

C.y=r；

D.y=x

答案：D

29.设

为必，…，八

是〃阶齐次线性方程

nx

/dy+/（力d7^*y・+%（力=0

axax

的解，其中

%（x）,…,4（彳）

是连续函数.则（1分）

A.V1，V2，…，Mf一定线性无关；

B.乃，乃「匕的朗斯基行列式恒为零,或恒不为零;

c.必JziJx的朗斯基行列式可正可负；

D?I，M，…，〃一定线性相关.

答案：B

30.设

①⑴

和

Tq）

是方程组

—=A（/）x

dt

的两个基解矩阵，则（1分）

A.存在某个常数方阵C使得6«）=▽（℃，其中detCN0；

B.存在某个常数方阵c使得。⑥=▼（℃，其中加9=0；

c.存在某个常数方阵c使得①（£）=■'），其中detC*°；

D.存在某个常数方阵c使得①（°=2（"，其中日"°二°・

第14/

答案：A

31.初值问题

y（o）=o

的第二次近似解可以写为（1分）

X4

A.4；

3

B.一；

3

C.34；

D.X工

答案：C

32.设

力，为，…，片

是〃阶齐次线性方程

d'ydiv

就+,（力声+.+%S»=°

axax

的线性无关的解，其中

%（X）,・・・，4（X）

是连续函数.则（1分）

A.yl，'］，…，Vx的朗斯基行列式一定是正的；

B.'l，＞2,…，y*的朗斯基行列式一定是负的；

（2.»卜丁2，・・，＞\的朗斯基行列式可有零点，但不恒为零；

，…，乂《的朗斯基行列式恒不为零.

答案：D

答案解析：因为由题设所给的解组是线性无关的，故其朗斯基行列式必恒不为零:

33.可将五阶方程

韶-整=小力

化为一阶方程的变换是（）.（1分）

第15/

d2y

z=

A.dx'

d3y

B.dx3

cF

D.dx

答案：c

34.常微分方程

=0

M(x9y)dx+N(x9y)dy

有形如

的积分因子的充分必要条件是a分)

、、

dd.T/

力力________

A.N(x,y)只是X的函数

力力________

B.一肠(")只是尸的函数

d...、3_r/、

一—____

c.凶(“)只是y的函数

d...、3_r/、

一—____

D.一g”)只是X的函数

答案：B

35.可将一阶方程

虫=2-

Xy)^y

化为变量分离方程的变换为().

(1分)

第16/

A〃》；

也以=才+y；

x+y

u=------

C.r；

D.X.

答案：D

36.设

①(E)

和

乎⑥

是方程组

dx4小

—=A(/)x

dt

的两个基解矩际，则(I分)

A.存在某个常数方阵c使得①(')=?(℃,其中detC。0；

B.存在某个常数方阵c使得①«)=W(')C,其中detC=0；

c①⑥声】⑥=平(〃

D*£)<X>"«)=6(0

答案：A

37.已知

M。)=5,必(x)=一,必(1)=&

XX

是某一三阶齐次线性方程的解，则

尔力也⑶

和

力(X)

的朗斯基行列式

肛八当，必］3)=

(1分)

10

A.V

10

B.

第17/

10

c'7

10

D-7

答案：B

38.微分方程

d虫+/£2^+..+*空+*♦】）,=

dxdxdx

是（）.（1分）

A.n阶常系数非齐次线性常微分方程；

B.n阶常系数齐次线性常微分方程；

C.n阶变系数非齐次线性常微分方程；

D.n阶变系数齐次线性常微分方程.

答案：C

39.设

①©

和

于«）

是方程组

dx4八

—=A（/）x

dt

的两个基解矩阵，则（1分）

A.6,）=+（行（T表示矩阵的转置）；

2）=6文）

B.dt；

c.存在非奇异常数矩阵C使得①«）=于（℃；

:力«）=旷十）

D.dt

答案：C

40.己知

M。）=4,%（力=L幺。）=丁

XX

是某一三阶齐次线性方程的解，则

力（力）2。）

和

第18/

力（x）

HJ朗斯基行列式

也XiM，川（X）=

（）.（1分）

8

A.V

8

B.V

8

eV

8

D-7

答案：C

41.可将四阶方程

"77"=cosCy+1）

I"x）

化为二阶方程的变换是（）.（1分）

Z

A.dx

Z

2

B.dx

d3y

Z

3

C.dx

心

Z

D.dx

答案：B

42.初值问题

以0）=0

的第二次近似解可以写为（）.（1分）

A.4

第19/

5

B.一

c.To

5x

D.三+6

答案：D

43.设

和

田⑴

是方程组

dx.,、

—=A(Z)x

dt

的两个基解矩阵，则(1分)

A.对任意的n阶常数方阵C,04'")也是基解矩阵；

B.对任意的n阶常数方阵C,①“)C也是基解矩阵；

C.对任意的n阶非奇异常数方阵C,①(°C也是基解矩阵;

D.对任意的n阶非奇异常数方阵C,①«)也是基解矩阵.

答案：C

44.已知

1[

必(x)=2,%(x)=一,乃(x)=x

X

是某一三阶齐次线性方程的解，则

尔力」2(力

和

力(力

的朗斯基行列式

见X1以，必】(力=

（1分）

B.

第20/

10

C.V

12

答案：D

45.设有四个常微分方程：（0

1n■+修）X

.（ii）

啥啥产

(iii)

y+$m»=0

,(iv)

e—+xy=x

dx

（i分）

A.非线性方程有一个；

B.非线性方程有两个；

C.非线性方程有三个；

D.非线性方程有四个.

答案：B

46.微分方程

〃空=+、-5x

dx

的一个解是（）.（1分）

5

y=-

A.X

BP=5X

第21/

c.，="5

D)=5-X

答案：B

47.

y=6x

是某个初值问题的唯一解，其中方程是

Z+(l+x2)/+xy=6x2

，则初始条件应该是(1分)

AXl)=6,y(l)=6,/(l)=0.

B?(l)=6j9)=o,yv)=6；

cMD=6,y(l)=6，V(l)=6.

力(1)=0，/(1)=6"1)=01

答案：A

48.可将一阶方程

玄/+仁_0

y\y

化为变量分离方程的变换为(1分)

A^=(x+y)：

B〃=(x-W.

u・,

〃J

c.X;

D"D；

答案：c

49.下列四个微分方程中，三阶常微分方程有几个?

⑴

图力修卜

,(ii)

与周嗔

dx

(iii)

第22/

第M+如

,(iv)

郎回+和p

(1分)

A.一个

B.两个

C.三个

D.四个

答案：C

二、多项选择题

50.对于方程

多2”…)

axax

，以下证明步骤中哪些是正确的：(1分)

A.这个方程的任何两个解的差是对应齐次方程+2y'+4>=°的解，

B.对应齐次方程V+2y'+”=0的特征根是-1土石，

c.对应齐次方程+2J+4y=0的基本解组是cos/:,2Tsmjx

limnlimr

Dntpecos，3x=o%TPesinv=0

「,+工口.「由人神曰(Geos22>x+Csin2bx)^ax

E.原方程的任何两个解的差是1125f且当X趋向于正无穷大

时趋向于零.

答案：ABCDE

51.如下求解三阶常系数线性方程

与6%9也

dxdxdx

9x-3

的过程中，下划线所指出的部分哪些计算有错误或叙述有错误:

解答：

⑴先求对应齐方程

axaxax

的通解

第23/

对应齐方程的特征方程及特征根分别为

才・4万+44=0小4=04=3&=3

故对应齐方程的通解为

yo(x)=C1e'+C//

(B).

(ii)因为有特征根非零(C),故应设原方程的特解有形如

y*(x)=x(ax+b)=ax+bx

,这里。力是待定常数.

代入原方程可得

y林(1)-6丁神(力+9)，力=0-62+9(2瑟+位=

9x-3

利用对应系数相等便得到代数方程组：

'侬=9

'-12。+96=-3

*

曰此可解得

a=1/2)=2

1

丁*。)=一/0十4

(D),故2^

(市)原方程的通解可以表示为

MX)=K(X)+»*(X)=

。1+日3・+5加3、

(E).

(1分)

A.A

B.B

C.C

D.D

E.E

答案：ABCDE

52.设有方程:

第24/

Xdy6+?/

ydx6-/y，

，以下步骤中正确的是：(i分)

A.利用变量变换以=»,

dyu1du

-=—Z-H--------

B.由X,有dxxxdx,

x2(u1duy6+r?

-------2+-----=3

C.代入原方程得到以IXxdx)6-u

duu(6+u3，

D.整理后可得"x式6-")

6f3dx

------du=一

E.分离变量得到1%X.

答案：ABCDE

53.以下利用参数法求解一阶隘方程

的过程中，

下划线所指出的部分哪些有错误:

解答：

引入参数

"玄

(A),则原方程可以写为

y=ln(l+p2)-p6

将此方程两边对〃求导(B).可得：

以p/%_6ps也

dx1^1+p)dx

,或

1=-------T-bp—

J+p)dx

(C).

这是一个关于p和x的方程，且是未知函数P的导数

第25/

dp

dx

可以解出的一阶常微分方程，进而还是变量分离型方程.因此我们将这个方程分离变量:

(2}

4

dx=-----T-6Pdp

-------------------------------.(D)

两边积分并求出积分可以得到(C是任意常数)：

23.级+C

因此,将此式和参数的表达式联立，即得原方程的参数形式解，其中C是参数:(E)

-65c

x=2arctanp--p+C

y=ln(l+p2)-K

(1分)

A.A

B.B

C.C

D.D

E.E

答案：BE

54.利用降阶法求解二阶方程

的过程中，下划线所指出的那些步骤中，哪些是正确的：

解答：

这是不显含自变量的二阶方程，因此可以用第二种降阶法。令

z-0

dx

(A),则

d2yd(力)dzdzdydz

dx2dx\dx)dxdydxdy

代入到原方程中可将原方程化为如下的•阶方程：

(B).

第26/

这是一个变量分离型的方程.如果z=0,可得

y=c

是原方程的解，

故不妨假设Z*0（C）,因此可以约掉一个Z,分离变量后有:

dz

丁

两边积分可得：

12、

__=刀尸］+C\

z3

又由

z-0

dx

，弋入上述方程,再次分离变量（D）

（21）

-dx=_y2+gdy

）

在等式两边积分可得原方程的通解（E）:

4；cK

（1分）

A.A

B.B

C.C

D.D

E.E

答案：ABCDE

55.设

①（。

为方程

x'=Ax

（A为

n^n

营数矩阵）的一个基解矩阵，试指出如下的断言中哪些是错误的:

（1分）

A.①“一D是原方程组的解矩阵，

第27/

(),()还是原方程组的基解矩阵,

B.因为

c.存在奇异的常数矩阵c,使得小(C)=/T)C,

D.取2=L可得到,=%°)①(】),

EM)①⑴=V-1)①(0)

答案：CDE

56.以下是一阶微分方程

(x+4/si")dx+x6cos»力=0

的求解过程，

请说明下划线所指出那些步骤中，哪些是有错误的：

解答：

记

56

M=x+4xsiny9N=xcosy

，则

dMdNR

---=4Ax5cosy,—=cosy

@3x

(A),

注意到

跑一变=_23OS"0

@dx

(B),

因此方程是恰当方程(C).可以计算

dMdN

92

-方--一-----=——

Nx

因而方程有只与Y有关的(D)积分因子

〃=〃⑶

,并且该积分因子可以求出为：

〃=〃⑶

-*h71

=gX=0'=丁

将该积分因子乘在原方程的两端：

g((x+4/siny)dx+x6cos＞力)=0

X

分项组合为

第28/

-dx+Q/smWx+x，cosy力)=0

或可整理为

d(In|x|)+“x，cosy)=0

(E),

最后得到原方程的通解：

In|x|+x4cosy=C

(1分)

A.A

B.B

C.C

D.D

E.E

答案：CD

57.请查出求解一阶线性微分方程

dy^lnx

---20-----=-----

dxxxlnx

的过程中有错误的步骤（1分）

◎一2世这=0史=lnx包

A.先求解对应齐方程：dxX,分离变量可得yX

B.两边积分求出积分可以得到（C是任意常数）：+,

c.再将常数c变易为函数：y=c（x）+c+m”）

D.代入到原方程中可以得到:C（x）=ln|lnx|

E.原方程的通解（c是任意常数）：y=ln|10x|+C+*^

答案：ABCDE

58.试求齐次方程组

x'=Ax

的基解矩阵，并求满足初始条件

蚁o）=n

的解

其中

第29/

6、

6)

.判断哪些步骤所得到的结果是正确的:

(1分)

A.齐次线性方程组X'=Ax的特征方程是42-44・5=0,

B.矩阵A的特征根为4=5,%二-1,对应的特征向量可分别取为

2

Po=

(%心匹/)=2尸、

c.原方程组基解矩阵可取为：①I。一。)

D.标准基解矩阵为0

1

3

「3G”、

<p(t)=2

E.原方程组满足所给初始条件的解为

答案：ABCDE

59.求解方程

(p2+/)dx+［力=0

Iy)

时.以卜•的解题步骤中哪些是正确的：(i分)

d(d(.1)

—(Ay2+&J=2xy=—^y-\

A.因为引&Iy),

B.所以原方程是恰当方程；

(p2dx+x2ydy)+(etdx+10)=0

c.将方程中的重新分项组合y

第30/

：d（xbd+d（/）+d（ln|>|）=0

D.凑出全微分：2,

-x2y2+ex+ln\y\=c

E.得到通解：2,其中c是任意常数.

答案：ABCDE

三、判断题

v9=sillv

60.，・是一阶线性微分方程。

（1分）

答案：错误

・，2*~51

二］

61.微分方程"・V>—•\）"V—•X的通解中应含的独立常数的个数为4。（I分）

答案：错误

62.微分方程柳”+苗，）3一）与

°的阶数是4。

（1分）

答案：错误

出

•*=1+X+y2+盯2

63.dx是可分离变量的微分方程。

（1分）

答案：正确

1

一V，Iv2=0

工所满足的微分方程是・>J

64.

（1分）

答案：正确

65.当用比较系数法求方程

第31/

+—=（6+x2）Sinx+（x3-x2）COSX

dxdx

的一个特解时，可将这个待定系数的特解设为

y*（x）=x[（4+8]/）cosx+（4/+&x3）sinx]

.（1分）

答案：错误

斗―4=（X+=c（x+}}2

66.★X+1，其对应的齐次方程的通解为J‘-5"十”。（1

分）

答案：正确

67.利用变换

5

Z

可将伯努利方程

—=yarctanx+

dx

化为线性方程

—=zarctanx+yfx

dx

（1分）

答案：错误

i/\7

W-lnx=0y=-（\nxY+C（C

68.2.微分方程・2的通解是2为任意常

数）。

（1分）

答案：正确

1

*-2x—C'+C{X+C2

69”的通解是4,（1分）

答案：正确

第32/

1

7。.獗微分方程C的通解为尸+G工-+。2芯+。3

120。（1分）

答案：正确

力.微分方程的通解中包含了它所有的解。（1分）

答案：错误

〃J，"+silL"，'一工二COS.X的通解中应含3人独立常数…分）

答案：正确

73.对于初值问题

孚=m+x'+y',＞（%）=%

ax

可判定其解在

的某邻域内存在且唯一，理由是

/（7）=Jo+x、/

在整个平面上连续并且关于），满足李普希茨条件.（1分）

答案：正确

w'—（1+K'-0v-Ctc?

%.方程”"的通解为js”

（i分）

答案：正确

dxdv八

一+一=0丫2+2=c

75.yx的通解为・••o（I分）

答案：正确

76.欧拉方程

x2—^+x--y=0

dxdx

的一个基本解组为

元短

.（1分）

答案：正确

第33/

—丫？.,”，一

77.2.函数）"V一.,匕是微分方程・I'‘2"・V'4'-」v—0的解。

（1分）

答案：错误

78.任意微分方程都有通解。（1分）

答案：正确

私2.函数V=3sin工一4cos工是微分方程y，+y=0的解。

（1分）

答案：正确

80.平面上过点

（2010,1210）

的曲线为

7=/W

，该曲线上任一点处的切线与切点和原点的连线的夹角为

e

,则这个曲线应满足的常微分方程是

t_y+xtanG

x-ytan0

，初始条件为

X2010）=1210

.（1分）

答案：正确

8i.v=xy+个’不是一阶线性微分方程。（1分）

答案：正确

2

/-2y'+5y=0r一2r+5=0

82.•,的特征方程为‘々十,U

（1分）

答案：正确

第34/

x的通解为丁=0~

83.

a分）

答案：正确

2•c--SHI2x+COSX+CyX+C1

v=sin2x-cosx_3口A12

84.•的电解是q

（1分）

答案：正确

四、填空题

85.利用变换（）可将伯努利方程

玄=ycos5x+近Inx

dx

化为线性方程（）.（1分）

答案：<imgalt=nz=yA{4\over5},{5\over4){dz\overdx)=z\cos5x+Mnx”type="2”

style=,,vertical-align:middle"

src=n/formula?latex=z%3Dy%5E%7B4%5Cover5%7D%2C%20%7B5%5Cover4%7D%7Bdz%

5Cover%20dx%7D%3Dz%5Ccos5x%20%2B%5Cln%20x'7>

86.对于初值问题

丝

dx

ln(4+sinx+^2)

>(%)=%

,可判定其解在的

X。

某邻域内存在且唯一，理由是().(1分)

答案：<imgalt="f(x,y)=\ln(4+\sinx+yA2)"type=,,2"style="vertical-align:middle"

src=,7formula?latex=f%28x%2Cy%29%3D%5Cln%284%2B%5Csin%20x%2By%5E2%29'7>

连续且关于y满足局部利普希茨条件

87.平面上过点

(5㈤

的曲线为

第35/

y=/W

,曲线上任意一点的切线与该点的向径之间夹角为

Y

,则这个曲线应满足的常微分方程及初始条件分别为（，）.

(1分)

答案：<imgalt="{dy\overdx}={y+x\tan\gamma\overx-y\tan\gamma),y(5)=\pi"type="2"

style="vertical-align:middle"

src=,7fonnula?latex=%7Bdy%5Cover%20dx%7D%3D%7By%2Bx%5Ctan%5Cgamma%5Cove

r%20x-y%5Ctan%5Cgamma%7D%2C%20y%285%29%3D%5Cpi,7>

88.对于初值问题

圾=

dx

ln(6+cosx+^2)

,可判定其解在的

%

某邻域内存在且唯一，理由是().(1分)

答案:<imgalt="f(x,y)=\ln(6+\cosx+yA2)"type="2"style="vertical-align:middle"

src=,7formula?latex=f%28x%2Cy%29%3D%5Cln%286%2B%5Ccos%20x%2By%5E2%29'7>

在整个平面上连续并且关于y满足局部里普希茨条件<P><br/></p>

89.利用变换()nJ将伯努利方程

—=.ysinx+^ln(4+x2)

dx

化为线性方程().(1分)

答案：<imgalt="z=yA{3\over4},{4\over3}{dz\overdx}=z\sinx+\ln(4+xA2)"type="2H

style="vertical-align:middle"

src=,7formula?latex=z%3Dy%5E%7B3%5Covcr4%7D%2C%20%7B4%5Covcr3%7D%7Bdz%

5Covcr%20dx%7D%3Dz%5Csin%20x%20%2B%5Cln%284%2Bx%5E2%29V>

90.当求方程

/y工。一

■丁+—=cosx

dxdx

的一个待定系数特解时，可将这个特解设为().(1分)

答案:<imgalt="yA*=(Ax+B)\sinx+(Cx+D)\cosxntype="2"style=,,vertical-align:middle*'

src='7formula?latex=y%5E*%3D%28Ax%2BB%29%5Csin%20x%2B%28Cx%2BD%29%5Cc

os%20x"/>

第36/

91.利用变换（）可将伯努利方程

—=3ytanx+l[yex

dx

化为线性方程（）.（1分）

答案：<imgalt=Mz=yA{2\over3）,{3\over2）{dz\overdx}=3z\tanx+eAx"type="2"

slyle=,,vertical-align:middle"

src=,7formula?latcx=z%3Dy%5E%7B2%5Covcr3%7D%2C%20%7B3%5Covcr2%7D%7Bdz%

5Cover%20dx%7D%3D3z%5Ctan%20x%20%2Be%5Ex'7>

92.平面上过点

（。，3）

的曲线为

y=/W

,曲线上任意一点的切线与该点的向径之间夹角为

n

3

，则这个曲线应满足的常微分方程及初始条件分别为（，）。分）

答案：<imgalt="（dy\overdx}={y+\sqrt3x\ovcrx-\sqrt3y）,y（e）=3"type="2"

style="vertical-align:middle"

src=,7fonnula?latex=%7Bdy%5Cover%20dx%7D%3D%7By%2B%5Csqrt3x%5Cover%20x-%

5Csqrt3y%7D%2C%20y%28e%29%3D3f7>

93.平面上过点

（2,e）

的曲线为

y=

,曲线上任意一点的切线与该点的向径之间夹角为

°

,则这个曲线应满足的常微分方程及初始条件分别为（，）.（i分）

答案：<imgalt="{dy\overdx}={y+x\tan\beta\overx-y\tan\beta）,y（2）=e"type=n2"

slyle^^vertical-align:middle"

src=,7formula?latex=%7Bdy%5Cover%20dx%7D%3D%7By%2Bx%5Ctan%5Cbela%5Cover%

20x-y%5Ctan%5Cbeta%7D%2C%20y%282%29%3De'7>

94.欧拉方程

/学+x电一多=0

dxdx

的一个基本解组为（）.（1分）

答案：<imgalt="xA2,xA{-2）'typc="2Mstylc="vcrtical-align:middle',

src=,7fonnula?latex=x%5E2%2Cx%5E%7B-2%7D'7>

95.平面上过点

第37/

(6,£)

的曲线为

y=/W

,曲线上任意一点的切线与该点的向径之间夹角为

n

6

，则这个曲线应满足的常微分方程及初始条件分别为().

(1分)

答案：<imgalt="{dy\overdx}={3y+\sqrt3x\over3x-\sqrt3y),y(6)={\pi\over6)"type="2n

style="vertical-align:middle"

src=Vformula?latex=%7Bdy%5Cover%20dx%7D%3D%7B3y%2B%5Csqrt3x%5Cover3%20x-

%5Csqrt3y%7D%2C%20y%286%29%3D%7B%5Cpi%5Cover6%7D'7>

96.利用变换()可将伯努利方程

—=2ycosx+Jyln(l+x2)

dx

化为线性方程().(1分)

答案：<imgalt="z=yA{l\over2},2{dz\overdx)=2z\cosx+\ln(l+xA2)Mtype=,'2n

style="vertical-align:middle"

src=Vformula?latex=z%3Dy%5E%7Bl%5Cover2%7D%2C2%7Bdz%5Cover%20dx%7D%3D

2z%5Ccos%20x%2B%5Cln%281%2Bx%5E2%29'7>

97.当求方程

d3ydy,

—；-+——=cosx+(x+4)sinx

dxdx

的一个待定系数特解时，可将这个特解设为().(1分)

答案：<imgalt="yA*=(Ax+B)\sinx+(Cx+D)\cosx"type=,"2"style="vcrtical-align:middle'1

src='7formula?latex=y%5E*%3D%28Ax%2BB%29%5Csin%20x%2B%28Cx%2BD%29%5Cc

os%20x'V>

98.当求方程

+-=2sinx+(x+2)cosx

dxdx

的一个待定系数特解时，可将这个特解设为().(1分)

答案：<imgalt="yA*=(Ax+B)\sinx+(Cx+D)\cosx"type="2"style="vertical-align:middle"

src=Vformula?latex=y%5E*%3D%28Ax%2BB%29%5Csin%20x%2B%28Cx%2BD%29%5Cc

os%20x'7>

五、证明题

99.证明方程

第38/

乌+2字+”=加）

axax

的任何两个解之差当X趋向于正无穷大时趋向于零.（1分）

答案：证明：根据线性方程解的叠加原理这个方程的任何两个解的差是如下对应齐次方程

的解：

y"+2y'+4y=0

对应齐次方程的特征根为

-2±j4-4x4

2

,因此通解可以表示为：

y（x）=（Gcosy/3x+C2sin帘x上力

其中两个C是任意常数，令x趋向于正无穷大，即容易证明所需的结论.

100.证明方程

乡+2孚+5*小）

axax

的任何两个解之差当X趋向于正无穷大时趋向于零.（1分）

答案：证明：根据线性方程解的叠加原理这个方程的任何两个解的差是如下对应齐次方程

的解：

/+2/+5^=0

对应齐次方程的特征根为

「2土尸石

七-2-

,因此基本解组可以表示为：

尸cos2x,0rsin2x

通解为：

y（x）=（Gcos2工+Gsin2x）e~x

其中两个C是任意常数，令x趋向于正无穷人，即容易证明所需的结论.

101.证明方程

乌+2字+6Z8

axax

的任何两个解之差当X趋向于正无穷大时趋向于零.（1分）

答案：证明：根据线性方程解的叠加原理这个方程的任何两个解的差是如下对应齐次方程

的解：

y"+2ty'+6y=0

第39/

对应齐次方程的特征根为

,因此通解可以表示为：

y（x）=（GCOS>/5X+C2sin君旭一，

其中两个C是任意常数，令x趋向于正无穷大，即容易证明所需的结论.

102.证明方程

尝+2孕+2尸=/«）

axax

的任何两个解之差当X趋向于正无穷大时趋向于零.（1分）

答案：证明：根据线性方程解的叠加原理这个方程的任何两个解的差是如下对应齐次方程

的解：

yn+2yf^2y=0

对应齐次方程的特征根为

-2±j4-4x2

廿2

,因此通解可以表示为：

y(x)=(Gcosx+C2Sinx”r

其中两个C是任意常数，令x趋向于正无穷大，即容易证明所需的结论.

103.证明方程

学+3亭+3”）。）

axax

的任何两个解之差当X趋向于正无穷大时趋向于零.（1分）

答案：证明：根据线性方程解的叠加原理这个方程的任何两个解的差是如下对应齐次方程

的解：

yn+3yf+3y=0

对应齐次方程的特征根为

-3±j9-4x33茁

222

,因此通解可以表示为：

(耳4)与

2

y(x)=Cxcos—x+Cjsin—xe

第40/

其中两个C是任意常数.令X趋向于