空间向量的坐标表示（课件）-高二数学教学课件（2020选择性）

3.3空间向量的坐标表示第3章空间向量及其应用沪教版2020选修第一册平面向量有坐标表示，这使得向量的运算可以转化为向量坐标的代数运算，带来了很大的方便．空间向量也可以类似处理．但为此要先建立空间直角坐标系．如图３-３-１，在正方体中总可以找到从一个顶点出发的三条两两互相垂直的棱，例如AB、AD与AA１．受此启示，从空间一点O出发，可以作三条两两互相垂直的坐标轴，建立空间直角坐标系O-xyz（图３-３-２）点O叫坐标原点，三条坐标轴分别是横轴（即x轴）、纵轴（即y轴）与竖轴（即z轴）．我们约定坐标系采用右手制，即右手翘起拇指、其他四指握拳做“点赞”状，当四指所指的方向是x轴正方向到y轴正方向的旋转方向时，拇指所指为z轴正方向（图３-３-３）．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xoy平面，yoz平面与zox平面．三个坐标平面把空间划分成八个部分，每个部分称为一个卦限．（图３-３-４）．给定空间一点P，如图３-３-５，过点P分别作yoz,zox,xoy与坐标平面与平行的平面，与坐标平面一起围出一个长方体，该长方体与x轴、y轴z轴的交点A、B、C在轴上的坐标给出了点P的坐标（x，y，z），其中x、y与z分别称为点P的横坐标、纵坐标与竖坐标．有了空间直角坐标系，空间中的点与实数的有序三元组就建立了一一对应．例1设点P的坐标为（x，y，z），求下列点的坐标：（１）点P关于xoy平面的对称点；（２）点P关于yoz平面的对称点；（３）点P关于xoz平面的对称点；（４）点P关于x轴的对称点；（５）点P关于y轴的对称点；（６）点P关于z轴的对称点；（７）点P关于坐标原点O的对称点．解关于一个坐标平面的对称应保持该平面上的点不动，把该平面一侧的点变到另一侧，使点到平面的距离不变所以，点P（x，y，z）关于xoy平面、yoz平面与xoz平面的对称点分别是（x，y，－z）、（－x，y，z）与（x，－y，z）．关于某一坐标轴的对称可以通过先后做关于该坐标轴所在的两个坐标平面的对称而得到．所以，点P（x，y，z）关x轴、y轴与z轴的对称点分别是（x，－y，－z）、（－x，y，－z）与（－x，－y，z）．关于坐标原点的对称把所有坐标变成它们的相反数，所以点P（x，y，z）关于坐标原点的对称点是（－x，－y，－z）．这说明：把向量用坐标表示后，两个向量相加（减），把它们的对应坐标相加（减）；一个向量乘以一个实数，把它的坐标乘以这个实数．如果向量不是由位置向量给出，也可以不通过位置向量得到此向量的坐标表示：设有空间任意两点P（x１，y１，z１）与Q（x２，y２，z２），则即，一个向量的坐标等于这个向量的终点坐标减去它的起点坐标．有了上面两个公式，空间任意两点P（x１，y１，z１）与Q（x２，y２，z２）的距离就很容易求出了，因为这两点的距离｜PQ｜就是向量最后，我们看两个空间向量的数量积如何用坐标表示．从夹角余弦公式和向量平行充要条件可分别得到两个非零向量垂直与平行的充要条件：例2.如图３-３-６，在正方体ABCD-A１B１C１D１中．（１）求对角线CA１与CA所成角的余弦；（２）求证：CA１⊥BD

．课本练习随堂检测1、设点P(1，1，1)关于xOy平面的对称点为P1，则点P1关于z轴的对称点P2的坐标是

【答案】(－1，－1，－1)【解析】由条件知，P1(1,1，－1)，P1关于z轴的对称点为(－1，－1，－1)2、如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，|AB|＝4，|AD|＝3，|AA1|＝5，N为棱CC1的中点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系；（1）求点A，B，C，D，A1，B1，C1，D1的坐标；（2）求点N的坐标【解析】（1）显然D(0，0，0)，因为点A在x轴的正半轴上，且|AD|＝3，所以A(3，0，0)．同理，可得C(0，4，0)，D1(0，0，5)．因为点B在坐标平面xOy内，BC⊥CD，BA⊥AD，所以B(3，4，0)；同理，可得A1(3，0，5)，C1(0，4，5)，与B的坐标相比，