数学-百师联盟2025届高三3月冲刺卷（一）试题和解析

2025届高三冲刺卷(一)1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x∈N|x²-9x≤0},B={x|√x∈A},A.{1,4,9,16}B.{0,1,4,9}C.{1,4,9}2.已知命题p:3x>0,x³>x,则命题p的否定为A.3x>0,x³≤xB.3x≤0,x³>xC.Vx>0,x³≤x3.已知函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是A.[-0,-1]B.[-1,0]C.[0,1]D4.设x∈R,则“x=-1”是“复数z=A.充分必要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件5.已知双曲线C经过,则双曲线C的离心率为6.一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体，该定直线叫做旋转体的轴.某同学将一个直角三角形硬纸板ABC绕斜边BC所在的直线进行旋转，得到如图所示的旋转体.测量出AA为2,上、下旋转面的面积比是2:1,则BC的长度是AAB冲刺卷(一)数学试题第1页(共4页)7.已知直线y=ax+b(a>0,b>0)过函数图象的对称中心，的小A.6B.7C.88.已知函数f(x)=|2-1|,若g(x)=2[f(x)]³+3f(x),则关于x的方程g(x)=7Lf(x)]²A.{-1,log₂3-1,2}B.{0,-1,log₂3-1,2}二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。比应不小于15%;但教室的窗户面积小于地面面积，且这个比值越大，通风效果和采光效果A.若教室的窗户面积与地面面积之和为200m²,则窗户面积至少应该为30mB.若窗户面积和地面面积都增加原来的10%,则教室的通风效果不变AD.若窗户面积第一次增加了m%,第二次增加了n%,地面面积两次都增加%,则教室的通风效果变差11.数列{an}的前n项和为S。,已知S,=kn²-2n(k∈R),则下列结论正确的是A.{an}为等差数列B.{a}可能为常数列三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若函数f(x)的图象上不同两点处的切线重合，则称这条切线为自公切线，请写出一个有自公切线的函数f(x)=则向量b与c的夹角是14.函数,不等式h(kx²-2)+h(2kx)≤2对Vx∈R恒成冲刺卷(一)数学试题第2页(共4页)公众号：凹凸学长四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。直线BD折起，使A点到点C的位置，刚好线段CC₁平行且等于BB₁,连接AC,A₁C₁,B₁C₁,C₁D.设AB=1,AA₁=√2.(2)求直线C₁D与平面ABC所成角的正弦值.①sin(α+β)·sin(a-β)=sin²α—sin²β;②sin(α+β)·sin(a-β)=c分分别交于点P,Q.(2)求四边形PF₁F₂Q的面积的最大值.冲刺卷(一)数学试题第3页(共4页)两足球队常规时间比赛是平局，需要进行点球比赛决定胜负.甲、乙两队每位球员在对方没有守门员守球的情况下将足球踢进对方球门的概率均为,甲、乙两队守门员扑出对方球员点球的概率分别为现甲、乙两队进行点球大赛，每次由一方队员踢球，另一方守门员进行守球，轮流进行，两队各有一名球员踢球结束为1轮对抗.经过数轮对抗后，当一方球队1轮对抗中，甲队踢进足球为事件A,乙队踢进足球为事件B.(1)求P(A),P(B);(2)经过1轮对抗，甲队与乙队踢进足球数之差为X,求X的概率分布列及数学期望；(3)求恰好在第3轮对抗后比赛结束且甲队获胜的概率.①若函数f(x)的导数为f'(x),则f'(x)的导数叫做f(x)的二阶导数，记作f(x).类似②若n∈N:;定义n!=n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1.③若函数f(x)在包含x。的某个开区间(a,b)上具有n阶导数，那么对于Vx∈(a,b),有,我们将g(x)称为函数f(x)在点x=x。处的n阶泰勒展开式.例如，y=cosx在点x=0处的泰勒展开式为(1)求f(x)=ln(x+1)在点x=0处的3阶泰勒展开式；(2)设f₁(x)=cosx在点x=0处的3阶泰勒展开式为g₁(x),试比较f₁(x)与g₁(x)的冲刺卷(一)数学试题第4页(共4页)2025届高三冲刺卷(一)数学参考答案及评分意见1.B【解析】解不等式x²-9x≤0,得0≤x≤9,则A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},所以B={0,1,4,9,16,25,36,2.C【解析】命题p:3x>0,x³>x是存在量词命题，其否定是全称量词命题，所以p的否定为故3.D【解析】因为f(x)=x³+1在[-1,+一]上单调递增，所以只需解得-1≤a≤又由上、下旋转面的面积比是2:1,得AB=2AC,①②两式联立，整理得x⁴-3x²-4=0b=1.则,即令m=f(x),则方程g(x)=7[f(x)]²可变换为2m³-7m²+3m=0,即m(2m-1)(m-3)=0,解得m=0或当时,解得x=-1或x=log₂3-1.解得x=2.解得x=2.综上所述，关于x的方程g(x)=7[f(x)]²的解集是{0,-1,log₂3-1,2}.故选B.9.ABD【解析】对于A,函数y=e*¹的图象向右平移1个单位长度可得到函数y=e²的图象，故A正确；对于B,函数y=eˣ-2的图象向上平移2个单位长度可得到函数y=e的图象，故B正确；对于C,函数y=e²的图象上点的横坐标伸长为原来的2倍可得到函数y=e的图象，故C错误；对于D,函数,其图象向左平移In2个单位长度可得到函数y=e²的图象，故D正确.故依题意解,所以窗户面积至少,故A错误.对于B,记窗户面积为a,地面面积为b,则窗户增加的面积为10%·a,地面增加的面积为10%·b.由题可知，增加面积前窗户面积与地面面积的比,增加面积后窗户面积与地面面积的比,所以教室的通风效果不变，故B正确.对于C,记窗户面积为a,地面面积为b,同时增加的面积为c.由题可知，0<a<b,c>0,增加面积前窗户面积与地面面积的比为,增加面积后窗户面积与地面面积的比,所,所以同时增加相同的窗户面积和地面面积，教室的通风效果变好了，故C正确；对于D,记窗户面积为a,地面面积为b,则增加面积后，窗户的面积为(1+m%)(1+n%)·a,地面的面积为.由题可知，增加面积前窗户面积与地面面积的比之,增加面积后窗户面积与地面面积的比.因为,又因为m>0,n>0,,所以%n%,所以,所以当n≥2时，因为an-an-1=2kn-(k+2)-[2k(n-1)-(k+2)]=2k,所以{an}是以2k为公差的等差数列.当k=0时，{an}为常数列；若{an}为递增数列，则公差2k>0,即k>0,故选项A,B,C正确.12.sinx(答案不唯一)【解析】设f(x)=sinB处的切线方程均为y=1,故直线y=1x,由正弦曲线可知，曲线y=f(x)是其一条自公切线.,由题意,所以令f(x)=h(x)-1,则f(x)+f(-x)=0,得f(x)为奇函数.又f'(a)=(z=+1)+(e-e⁻)'=e'+e⁻所以f'(x)>0,得f(x)在R上为增函数.因为h(kx²-2)+h(2kx)≤2⇔f(kx²-2)+f(2kx)≤0⇔f(kx²-2)≤f(-2kx),所以kx²+2kx-2≤0在R上恒成立.当k≠0,需满解得-2≤k<0.∵BDNco=0,BD,COC平面CBD,∴AB₁⊥平面CBD5(2)解：由(1)可知，OD,OB₁,OC两两垂直.以O为坐标原点，分别以OD,OB₁,OC所在直线为x,y,z轴，建立所.…………9分设平面ABC的一个法向量为n=(x,y,z),则令x=1,则y=√2,z=-√2,所以n=(1,√2,-√2)11分设直线C₁D与平面ABC所成角为α,则sin(α+β)·sin(α-β)=(sinacosβ+cos=sin²α(1-sin²β)-(1-sinsin(α+β)·sin(α-β)=(sinacosβ+cos所以2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA,即因为在△ABC中，sinB≠0又因为0<A<π,所以.………………………冲刺卷(一)数学答案第5页(共7页),得bc=4.……………………12分所以(b+c)²=3bc+12,即(b+c)²=24,所以b+c=2√614分所以△ABC的周长为a+b+c=2√617.解：(1)由题意…………2分所以椭圆C的方程,椭圆C的上顶点坐标为(0,√3),即P(0,√3将其代,整理得5x²-8x=0,解得x=0的方程为y=√3(x-1).或因点Q在x轴上方，所以.…………5分所以直线PQ的斜率………………………6分(2)由(1)及题意知，椭圆C:1,F₁(-1,0),F₂(1,0).于点P,R和Q,S,由对称性可知，四边形PRSQ是平行四边形，且四边形PF₁F₂Q的面积是平行四边形PRSQ面积的一半.………………7分显然这两条平行线的斜率不可能是0(否则不能构成四边形),可设直线PR的方程为x=my-1.代入C:,整理得(3m²+4)y²-6my-9=0,显然△>0,于是|.………10分又点F₂到直线x-my+1=0的距离令t=√1+m²,则t≥1,且m²=t²-1,所以.…………13分…………………15分;,…………8分……………9分……………9分X01P所以………………10分(3)若甲、乙两队进球数之比为2:0,则第3轮为1:0,前2轮为1:0,其概率;…………………13分若甲、乙两队进球数之比为3:1,则第3轮为1:0,前2轮为2:1,,……………………3分,∴f(x)在点x=0处的3阶泰勒展开式为……5分,则h'(x)=-sinx+x.∵h"(x)=1-cosx≥0,∴h'(x)在R上单调递增.……………8分冲刺卷(一)数学答案第7页(共7页)又∵h'(0)=0,∴在(-～,0)上，h'(x)<0,h(x)单调递减；在(0,+○)上，h'(x)>0,h(x)美调递增学长故