湖南省常德市中考数学模拟试题及答案解析

湖南省常德市中考数学模拟试题

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.今年“五一”节，小明外出爬山，他从山脚爬到山顶的过程中，中途休息了一段时间.设他从山脚出发后所用的时间

为t（分钟），所走的路程为s（米），5与1之间的函数关系如图所示，下列说法错误的是（）

A.小明中途休息用了20分钟

B.小明休息前爬山的平均速度为每分钟70米

C.小明在上述过程中所走的路程为6600米

D.小明休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平均速度

2.在/口4斫4的空格口中，任意填上或在所有得到的代数式中，能构成完全平方式的概率是（）

A.1B.WC.\D.=

3.抛物线），=（k2>+3的顶点坐标是（）

A.（2,3）B.（-2,3）C.（2,-3）D.（-2,-3）

4.已知：如图四边形OACB是菱形，OB在X轴的正半轴上，sinNAOB,j反比例函数y=.在第一象限图象经过点

7io

A,与BC交于点F.SAAOF,,，则k=（）

c.12D.5

5.如图，A、B、C是。。上的三点，ZB=75°,则NAOC的度数是（）

B.140°C.130。D.120°

6.如图，把长方形纸片ABCD折叠，使顶点A与顶点C重合在一起,EF为折痕.若AB=9,BC=3,试求以折痕EF

为边长的正方形面积（）

A.11B.10C.9D.16

7.如图，平行四边形ABCD的顶点A、B、D在。O上，顶点C在。O直径BE上，连结AE,若NE=36。，贝!JNADC

的度数是（）

A.44°B.53°C.72°D.54°

8.如图,在乙ABC中,AD是BC边的中线,NADC=3（T^AADC沿AD折叠，使C点落在C的位置，若BC=4,则BC的

A.273B.2C.4D.3

9.如图，数轴上有A,B,C,D四个点，其中绝对值最小的数对应的点是（）

-4-3-2-101234

A・点AB.点BC.点CD.点D

10.若分式一二有意义，则a的取值范围是（）

a—\

A.a#lB.a#）C.a,l且a#）D.一切实数

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11.小明统计了家里3月份的电话通话清单，按通话时间画出频数分布直方图（如图所示），则通话时间不足10分钟

的通话次数的频率是_____.

（注：每组内只含最小值，不含最大值）

12.在函数）,=正土中，自变量x的取值范围是_______.

x+2

13.在如图所示的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A、B、C、D都是格点，AB与CD相交于

M,则AM：BM=__.

14.如图，AB.CO相交于点O,AD=CBf请你补充一个条件，使得△你补充的条件是

15.a（a+b）-b（a+b）=.

16.如图，在扇形AOB中NAOB=90。，正方形CDEF的顶点C是弧AB的中点，点D在OB上，点E在OB的延长

线上，当扇形AOB的半径为2加时，阴影部分的面积为

17.己知一粒米的质量是1.111121千克，这个数字用科学记数法表示为.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18.（10分）已知：AB为。。上一点，如图，AB=\2,BC=4&，BH与。O相切于点B,过点C作BH的平行

线交AB于点E.

（2）延长CE到F,使EF=C，连结BF并延长BF交。O于点G,求BG的长;

（3）在（2）的条件下，连结GC并延长GC交BH于点D,求证：BD=BG

19.（5分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=V（x>0）的图像与边长是6的正方形。4BC的两边AB,BC

x

分别相交于M,N两点.若点M是A3边的中点，求反比例函数y=±的解析式和点N的坐标；若AM=2,求直线

x

MN的解析式及△QMV的面积

20.（8分）某天，甲、乙、丙三人一起乘坐公交车，他们上车时发现公交车上还有A,B,W三个空座位，且只有A,

B两个座位相邻，若三人随机选择座位，试解决以下问题：

（I）甲选择座位W的概率是多少；

（2）试用列表或画树状图的方法求甲、乙选择相邻座位A,B的概率.

21.（10分）如图，A8为半圆。的直径，AC是。。的一条弦，。为的中点，作。£-b4C，交AB的延长线于点尸,

连接"4.求证：EF为半圆。的切线；若DA=DF=6C，求阴影区域的面积.（结果保留根号和元）

22.（10分）如图，已知点。在反比例函数＞=幺的图象上，过点。作OBJ.y轴，垂足为伙0,3）,直线旷=依+〃经

x

过点A(5,O),与1y轴交于点C,且BD=OC,OC:OA=2:5.

求反比例函数k三和一次函数尸人〃的表达式；直接写出关于'的不等式

x

23.（12分）如图1,在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE,PE交CD

于F

(1)证明：PC=PE；

求/CPE的度数;

(3)如图2,把正方形ABCD改为菱形ABCD,其他条件不变，当NABC=120。时，连接CE,试探究线段AP与线

段CE的数量关系，并说明理由.

24.（14分）春节期间」，小丽一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游.

租车公司：按日收取固定租金80元，另外再按租车时间计费.

共享汽车：无固定租金，直接以租车时间（时）计费.

如图是两种租车方式所需费用十（元）、y2（元）与租车时间x（时）之间的函数图象，根据以上信息，回答下列问题:

（1）分别求出yi、yz与x的函数表达式；

（2）请你帮助小丽一家选择合算的租车方案.

165

10

;54

Z33

«

120

05

X1

90

75

60

45

30

15

10

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、C

【解析】

根据图像，结合行程问题的数量关系逐项分析可得出答案.

【详解】

从图象来看，小明在第40分钟时开始休息，第60分钟时结束休息，故休息用了20分钟，A正确；

2X0（）

小明休息前爬山的平均速度为：--=70（米/分），B正确；

40

小明在上述过程中所走的路程为3800米，C错误；

3ROO—

小明休息前爬山的平均速度为：70米/分，大于休息后爬山的平均速度：合胃=25米/分,D正确.

100—60

故选C.

考点：函数的图象、行程问题.

2、B

【解析】

试题解析；能够凑成完全平方公式，则4a前可是也可以是“十%但4前面的符号一定是；

此题总共有（・，・）、（+,+）、（+,・）、（・，+）四种情况，能构成完全平方公式的有2种，所以概率是

故选B.

考点：L概率公式；2.完全平方式.

3、A

【解析】

已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标.

【详解】

解：y=（x-2）2+3是抛物线的顶点式方程，

根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2,3）.

故选A.

【点睛】

此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式尸a（x-h）2+k,顶点坐标是（h,k）,对称轴是x=h.

4、A

【解析】

过点A作AM_Lx轴于点M,设OA=a,通过解直角三角形找出点A的坐标，再根据四边形OACB是菱形、点F在边

BC上，即可得出SAAOF=S菱形OBCA,结合菱形的面积公式即可得出a的值，进而依据点A的坐标得到k的值.

【详解】

过点A作AM_Lx轴于点M,如图所示.

在R30AM中，ZAMO=90°,OA=a,sinZAOB=,

/.AM=OA*sinz^AOB=a,OM=.a,

/•

・••点A的坐标为(,a,f.a).

71ii

丁四边形OACB是菱形，SAAOF="

7

:.OBxAM=，

J史

27

即xaxa=39,

s7i

解得a=±,而a>0,

/.a=..,即A(6),

■■■■■

•・,点A在反比例函数y=_的图象上，

II

n

:.k=x6=l.

.

.

故选A.

【解答】

解：

【点评】

本题考查了菱形的性质、解直角三角形以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用&AOF=S菱形OBCA.

■.

J

5、A

【解析】

直接根据圆周角定理即可得出结论.

【详解】

VA>B.C是。。上的三点，ZB=75°,

.\ZAOC=2ZB=150°.

故选A.

6、B

【解析】

根据矩形和折叠性质可得△EHC^AFBC,从而可得BF=HE=DE,设BF=EH=DE=x,贝5]AF=CF=9-x,在RtABCF

中，由BF2+BC?二CF?可得BF=DE=AG=4,据此得出GF=L由EF?=EG?+GF2可得答案.

【详解】

如图，•・•四边形ABCD是矩形，

AAD=BC,ZD=ZB=90°,

根据折叠的性质，WHC=AD,ZH=ZD,HE=DE,

AHC=BC,ZH=ZB,

又NHCE+NECF=90。，ZBCF+ZECF=90°,

.*.ZHCE=ZBCF,

在AEHC?OAFBC中，

NH=NB

•：\HC=BC,

/HCE=/BCF

•••△EHC/△FBC,

/.BF=HE,

ABF=HE=DE,

设BF=EH=DE=x,

贝)AF=CF=9-x,

在RtABCF中，由BF2+BC2=CF2nT^x2+32=(9-x)2,

解得：x=4,即DE=EH=BF=4,

则AG=DE=EH=BF=4,

AGF=AB-AG-BF=9-4-4=1,

/.EF2=EG2+GF2=32+12=1O,

故选B.

【点睛】

本题考杳了折叠的性质、矩形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等，综合性较强，熟练掌握各相关的性质

定理与判定定理是解题的关键.

7、D

【解析】

根据直径所对的圆周角为直角可得NBAE=90。，再根据直角三角形的性质和平行四边形的性质可得解.

【详解】

根据直径所对的圆周角为直角可得NBAE=90。,

根据NE=36。可得NB=54。，

根据平行四边形的性质可得NADC=NB=54。.

故选D

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质、圆的基本性质.

8、A

【解析】

连接CC,

•・,将△ADC沿AD折叠，使C点落在（7的位置，ZADC=30°,

・・・NADC=NADC=30。，CD=CD,

/.NCDU=NADC+NADC，=60。，

・•・△口（2（：，是等边三角形，

AZDCrC=60°,

•・,在AABC中，AD是BC边的中线，

即BD=CD,

，CD=BD,

1

，NDBC'=NDC'B=-NCDC'=30。，

2

:.ZBCrC=ZDCrB+ZDCrC=90°,

VBC=4,

・•・BC=BC・cosNDBU=4x以=2忖

【点睛】本题考查了折叠的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及三角函数等

知识，准确添加辅助线，掌握折叠前后图形的对应关系是解题的关键.

9、B

【解析】

试题分析：在数轴上，离原点越近则说明这个点所表示的数的绝对值越小，根据数轴可知本题中点B所表示的数的绝

对值最小.故选B.

10、A

【解析】

分析：根据分母不为零，可得答案

详解：由题意，得

。一1。0,解得aw1.

故选A.

点睛：本题考查了分式有意义的条件，利用分母不为零得出不等式是解题关键.

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、0.7

【解析】

用通话时间不足10分钟的通话次数除以通话的总次数即可得.

【详解】

由图可知：小明家3月份通话总次数为20+15+10+5=50（次）；

其中通话不足10分钟的次数为20+15=35（次），

，通话时间不足10分钟的通话次数的频率是35内0=0.7.

故答案为0.7.

12、x£l且1

【解析】

试题分析：根据二次根式有意义，分式有意义得：且x+1邦，解得：xR且"-1.故答案为小1且存・1.

考点：函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件.

13、5：1

【解析】

根据题意作出合适的辅助线，然后根据三角形相似即可解答本题.

【详解】

解:

作AE〃BC交DC于点E,交DF于点F,

设每个小正方形的边长为a,

贝必DEF^ADCN,

•竺二妙」

,,CNDN3f

1

AEF=-a,

3

VAF=2a,

」5

..AE=—a,

3

VAAME^ABMC,

.AMAE-a5

■•-----------4------,

BMBC2―12

4。

故答案为：5：1.

【点睛】

本题考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解

答.

14、NA=NC或

【解析】

本题证明两三角形全等的三个条件中已经具备一边和一角，所以只要再添加一组对应角或边相等即可.

【详解】

添加条件可以是：NA=NC或NADC=NABC.

二•添加NA=NC根据AAS判定△AOD^ACOB,

添加NADC=NABC根据AAS判定△AOD^ACOB,

故填空答案：NA=NC或NADC=NABC.

【点睛】

本题考查了三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.添加时注意:

AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据己知结合图形及判定方法选择条件是正确解题的关键.

15、(a+b)(a-b).

【解析】

先确定公因式为(。+力)，然后提取公因式后整理即可.

【详解】

a(a+b)-b(a+b)=(a+b)(a-b).

【点睛】

本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解.因式分解常用的方法有：①提公因式

法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法,因式分解必须分解到母个因式都不能再分解为止.

16、7T-1

【解析】

根据勾股定理可求OC的长，根据题意可得出阴影部分的面积二扇形BOC的面积.三角形ODC的面积，依此列式计算

即可求解.

【详解】

连接OC

•・•在扇形AOB中NAO8=90。，正方形CDEF的顶点C是弧的中点，

・・・NCOO=45。，

：.OC=42CD=ly/2，

：.CD=OD=\t

・•・阴影部分的面积=扇形BOC的面积・三角形ODC的面积

=坦生空_lxp

=7T-1

故答案为n-

【点睛】

本题考查正方形的性质和扇形面积的计算，解题关键是得到扇形半径的长度.

17、2.1XIQT3

【解析】

绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为"11，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是

负指数累，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的1的个数所决定.

【详解】

解:1.111121=2.1xir2.

故答案为：2.1x11-2.

【点睛】

本题考直用科学记数法表示较小的数，一般形式为axn-n,其中10a|Vll,n由原数左边起第一个不为零的数字前面

的I的个数所决定.

三、解答题(共7小题，满分69分)

18、(1)CE=4V2;(2)BG=8夜；(3)证明见解析.

【解析】

AR

(1)只要证明△可得——=——,由此即可解决问题；

CEAC

BGBEI

(2)连接AG,只要证明AASGs△尸BE,可得-^二,，由3E=J(_4_百_)2_一_(4_&_)2=4,再求出3F,即可解决

AoDrv

问题；

(3)通过计算首先证明C尸=FG,推出NFCG=N/GC,由C尸〃54推出NGC/=NBOG,推出NBOG=NBGO

即可证明.

【详解】

解：(1)・・・BH与。O相切于点B,

AAB1BH,

VBH/7CE,

ACEXAB,

TAB是直径，

/.ZCEB=ZACB=90°,

VZCBE=ZABC,

AAABC^ACBE,

.BCAB

**CE-AC*

<AC=yjAB2-BC2=476，

・・・CE=4五.

(2)连接AG.

VZFEB=ZAGB=90°,ZEBF=ZABG,

/.△ABG^AFBE,

.BG_BE

••—9

ABBF

•BE=Q(46f-(4>/5)2=4,

•*-BF=yjBE2+EF2=3>/2，

.BG_4

•,12-3a'

，BG=8及.

(3)易知CF=4夜+&=5&,

，GF=BG・BF=5夜，

ACF=GF,

AZFCG=ZFGC,

VCF/7BD,

/.ZGCF=ZBDG,

/.ZBDG=ZBGD,

本题考查的是切线的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题

的关键.

18

19、(1)y=—,N(3,6)；(2)y=-x+2,SAOMN=3.

x

【解析】

(1)求出点M坐标，利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式，把N点的纵坐标代入解析式即可求得横坐标；

(2)根据M点的坐标与反比例函数的解析式，求得N点的坐标，利用待定系数法求得直线MN的解析式，根据AOMN

=S正方形OABC—SAOAM-SAOCN—SABM、即可得到答案.

【详解】

解：⑴•・,点M是AB边的中点，・・・M(6,3).

;反比例函数y=s经过点M,，3=g.・・・k=l.

x6

1Q

・••反比例函数的解析式为y=一.

x

当y=6时，x=3,AN(3,6).

(2)由题意,知M(6,2),N(2,6).

设直线MN的解析式为y=ax+b,则

6a+b=2

2a+b=6'

,直线MN的解析式为y=-x+2.

•'•SAOMN=S正方形OABC—SAOAM—SAOCN-SABMN=36-6-6-2=3.

【点睛】

本题考查了反比例函数的系数k的几何意义，待定系数法求一次函数的解析式和反比例函数的解析式，正方形的性质,

求得M、N点的坐标是解题的关键.

20、(1)(2)-

33

【解析】

(1)根据概率公式计算可得；

(2)画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合要求的结果数，利用概率公式计算可得.

【详解】

解：(1)由于共有A、B、W三个座位，

，甲选择座位W的概率为g,

故答案为：

(2)画树状图如下：

由图可知，共有6种等可能结果，其中甲、乙选择相邻的座位有两种，

21

所以p(甲乙相邻)=4=-.

63

【点睛】

此题考查了树状图法求概率.注意树状图法适合两步或两步以上完成的事件，树状图法可以不重不漏的表示出所有等

可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

21、(1)证明见解析(2)生叵・6江

2

【解析】

(1)直接利用切线的判定方法结合圆心角定理分析得出O/XLE凡即可得出答案;

(2)直接利用得出co。，再利用5例影=S△八・S.形coo,求出答案.

【详解】

(1)证明：连接。。，

为弧BC的中点，

:.NCAD=/BAD,

••・04=00,

：.ZBAD=ZADOi

•：DE±ACf

/.Z£=90°,

；・NCAD+NEDA=90。,即NAOO+NEZM=90°,

：.ODLEF,

・・・£户为半圆。的切线；

(2)解：连接0C与C。，

•:DA=DF,

:・NBAD=NF,

:.NBAD=ZF=ZCADf

又;ZR4D+ZCADfZF=90°,

尸=30°,ZfiAC=60°,

•：OC=OAt

•••△AOC为等边三角形，

.\ZAOC=60°,ZCOB=120°,

•：OD，EF,N尸=30。

/.ZD(7F=60°,

在中，D*=6jj，

・・・O/)=D尸・tan300=6,

在RtAAE。中，DA=66,NCA&=30。,

・・・OE=OA・sin300=3G，EA=DA*cos30°=9,

VZCOD=1800-Z.AOC-NOO*=60°,

由CO=DOt

•••△COD是等边三角形，

，NOCZ)=60。，

・・・NOCO=NAOC=60。，

：.CD//ABf

故SAAC〃=SAco/),

此题主要考查了切线的判定，圆周角定理,等边三角形的判定与性质，解直角三角形及扇形面积求法等知识,得出S&ACD

=SACOD是解题关键.

62

22、(1)y=—.v=—x-1.(1)xV2.

x5

【解析】

分析：(1)根据待定系数法即可求出反比例函数和一次函数的表达式.

详解；(1)YRD=OC,OC:OA=2:5,点A(5,2),息B(2,3),

・・・O4=5,OC=BD=2,03=3,

又♦・,点C在)，轴负半轴，点。在第二象限，

，点C的坐标为(2,・1),点。的坐标为(-1,3).

・・・点D(-2,3)在反比例函数产3的图象上，

：•a=-2x3=-6,

将4(5,2)、B(2,-1)代入户kx+b,

2

5k+h=0k=

Q-2'解得：5

b=-2

，一次函数的表达式为y=|x-2.

()将代入整理得:

1y=2x-2y=-°,-X2-2X+6=0,

5x5

,22X

V=(-2)--4X-X6=——<0,

AV755

・•・一次函数图象与反比例函数图象无交点.

观察图形，可知：当xV2时，反比例函数图象在一次函数图象上方，

，不等式3>Ax+b的解集为x<2.

x

点睛：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立

成方