四川省巴中市2025届高三数学一诊数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页四川省巴中市2025届高三数学一诊数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z在复平面内满足|z|≤1，则复数z对应的点Z的集合所形成图形的面积为(

)A.π2 B.π C.32π2.已知集合A={x||x+1|>1}，B={x|1x>2}，则A∩B=A.(−∞,0)∪(0,12) B.(12,+∞)3.已知a∈R，b∈R，则“a>b”是“1a<1bA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件4.已知向量a=(1,2)，b=(−1,1)，若(λa+b)⊥A.−2 B.−1 C.1 D.25.若函数f(x)=a⋅2x+22A.0 B.1 C.2 D.无解6.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若S4=12，A.56 B.60 C.64 D.687.已知三棱锥P−ABC四个顶点都在球O面上，PA=PB=PC=2，∠APB=90°，M为AB的中点，C在面APB内的射影为PM的中点，则球O的表面积等于(

)A.1287π B.647π C.8.已知函数f(x)=x2+2x+2,x≤0,|lnx|,x>0,则方程f(f(x)−2)=2A.6 B.7 C.10 D.11二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列命题正确的有(

)A.回归直线y​=b​x+a​过样本点的中心(x−,y−)，且至少过一个样本点

10.已知函数f(x)=cos4x−sinA.x=π4是f(x)的对称轴 B.f(x)的最小正周期为π

C.f(x)在区间[−π2,0]上单调递减 D.11.过抛物线y=2x2的焦点F作直线与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA，OB的斜率分别为k1，k2A.以AF为直径的圆与x轴相切

B.1|AF|+1|BF|=8

C.k1k2=−2

D.分别过A，B两点作抛物线的切线l三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知cosα−sinαcosα+sinα=113.22025除以714.已知F1，F2分别是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点，点P四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

甲乙两人进行投篮比赛，要求各投篮2次.已知甲乙两人每次投中的概率分别为23，13，且每人每次投中与否互不影响．

(1)求“甲第一次未投中，乙两次都投中”的概率；

(2)求“乙获胜”的概率．16.(本小题12分)

已知数列{an}的通项公式为an=2n−12n．

(1)求证：17.(本小题12分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=AB，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点．

(1)若BC⊥AB，平面AEF与平面PBC是否互相垂直？如果垂直.请证明；如果不垂直，请说明理由．

(2)若底面ABCD为正方形，当平面AEF与平面PCD夹角为π6时，求BFBC18.(本小题12分)

已知函数f(x)=xlnx．

(1)求函数f(x)的极值；

(2)求证：当0<x≤1时，2f(x)≥x2−1；

(3)若ℎ(x)=x2−2t|1+f(x)19.(本小题12分)

已知双曲线C1：x2−y23=1与曲线C2：3(x−m)2+(y−n)2=6有4个交点A，B，C，D(按逆时针排列)．

(1)若方程x4+ax3+bx2+cx+d=0有4个实数根x1，参考答案1.B

2.C

3.D

4.A

5.D

6.B

7.B

8.D

9.CD

10.BD

11.ABD

12.4513.1

14.(15.解：根据题意，设A1=“甲第一次投中”，A2=“甲第二次投中”，B1=“乙第一次投中”，B2=“乙第二次投中”，

(1)设E=“甲第一次未投中，乙两次都投中”，

则P(E)=P(A1−B1B2)=P(16.证明：(1)数列{an}的通项公式为an=2n−12n=1−12n，由于函数f(x)=1−12n为单调递增函数，故f(x)min=f(1)=12，

所以17.解：(1)平面AEF⊥平面PBC，

理由如下：

证明：∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，

∴PA⊥BC，又∵BC⊥AB，而PA∩AB=A，

∴BC⊥平面PAB，∵AE⊂平面PAB，

∴BC⊥AE，

∵PA=PB，E为PB的中点，

∴AE⊥PB，而PB∩BC=B，

∴AE⊥平面PBC，∵AE⊂平面AEP，

∴平面AEF⊥平面PBC；

(2)由底面ABCD为正方形及PA⊥底面ABCD，∴AB，AD，AP两两垂直，

以AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

不妨设AB=AP=2，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，C(2,2,0)，E(1,0,1)，

设F(2,t,0)(0≤t≤2)，

设平面AEF的法向量为m=(x1,y1,z1)，AE=(1,0,1)，AF=(2,t,0)，

则：m⋅AE=x1+z1=0m⋅AF=2x1+ty1=0，

取y1=2，则x1=−t，z1=t，

得m=(−t,2,t)，

设平面18.解：(1)f′(x)=lnx+1(x>0)，令f′(x)=0，得x=e−1，

当0<x<e−1时，f′(x)<0，f(x)单调递减，

当x>e−1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，

所以f(x)极小值=f(e−1)=−e−1，无极大值．

(2)证明：原不等式等价于：0<x≤1，2xlnx≥x2−1，

即0<x≤1，2xlnx−x2+1≥0，

令g(x)=2xlnx−x2+1，(0<x≤1)，下证：g(x)≥0，

则g′(x)=2lnx+2−2x，g″(x)=2x−2=2(1−x)x≥0，等号当且仅当x=1时成立，

所以g′(x)在0<x≤1上单调递增，g′(x)≤g′(1)=0，等号当且仅当x=1时成立，

所以g(x)在0<x≤1上单调递减，g(x)≥g(1)=0，即原不等式成立．

(3)等价于ℎ(x)=x2−2t|1+lnx|(0<t<1)的零点个数问题：

①当0<x<e−1时，ℎ(x)=x2+2t(1+lnx)，显然ℎ(x)在(0,e−1)上单调递增，

又ℎ(0)→−∞，ℎ(e−1)=e2>0，所以ℎ(x)在(0,e−1)上总有唯一的零点；

②当x>e−1时，ℎ(x)=x2−2t(1+lnx)，

则ℎ′(x)=x2−2t(1+lnx)=2x−2tx=2(x+t)(x−t)x，

(Ⅰ)若0<t≤e−2，则ℎ′(x)>0在(e−1,+∞)上恒成立，ℎ(x)在(e−1,+∞)上单调递增，

ℎ(x)>ℎ(e−1)=e−2>0，ℎ(x)在(e−1,+∞)上无零点；

(Ⅱ19.解：(1)证明：x4+ax3+bx2+cx+d=(x−x