2025版高考数学二轮复习专题限时集训7空间几何体的表面积体积及有关量的计算理

PAGE1-专题限时集训(七)空间几何体的表面积、体积及有关量的计算[专题通关练](建议用时：30分钟)1．在一个密闭透亮的圆柱筒内装肯定体积的水，将该圆柱筒分别竖直、水平、倾斜放置时，指出圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形态不行能是()A．圆面 B．矩形面C．梯形面 D．椭圆面或部分椭圆面C[将圆柱桶竖放，水面为圆面；将圆柱桶斜放，水面为椭圆面或部分椭圆面；将圆柱桶水平放置，水面为矩形面，所以圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形态不行能是梯形面，故选C.]2．[易错题]一个正方体的内切球O1、外接球O2、与各棱都相切的球O3的半径之比为()A．1∶3∶2 B．1∶1∶1C．1∶eq\r(3)∶eq\r(2) D．1∶2∶3C[设正方体的棱长为1，则其内切球O1的半径为eq\f(1,2)，外接球O2的半径为eq\f(\r(3),2)(正方体体对角线的一半)，与各棱都相切的球O3的半径为eq\f(\r(2),2)(正方风光 对角线的一半)，所以它们的半径之比是1∶eq\r(3)∶eq\r(2)，故选C.]3．已知三棱锥P­ABC中，PB⊥平面ABC，∠ABC＝90°，PA＝eq\r(5)，AB＝BC＝1，则三棱锥P­ABC的外接球的表面积为()A．12π B．6πC．24π D.eq\f(4\r(6)π,3)B[如图，∵PB⊥平面ABC，∴PB⊥AB，∵AB＝1，PA＝eq\r(5)，∴PB＝2，又AB⊥BC，把三棱锥P­ABC补形为长方体，则长方体对角线长为eq\r(22＋12＋12)＝eq\r(6)，则三棱锥P­ABC外接球的半径为eq\f(\r(6),2)，∴三棱锥P­ABC的外接球的表面积为4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))eq\s\up12(2)＝6π.故选B.]4．[重视题]两个相同的正四棱锥底面重合组成一个八面体，可放于棱长为1的正方体中，重合的底面与正方体的某一个面平行，各顶点均在正方体的表面上(如图)，该八面体的体积可能值有()A．1个 B．2个C．3个 D．多数个D[设ABCD与正方体的截面四边形为A′B′C′D′，设AA′＝x(0≤x≤1)，则AB′＝1－x，|AD|2＝x2＋(1－x)2＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,2)，故S四边形ABCD＝|AD|2∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，V＝eq\f(1,3)S四边形ABCD·h·2＝eq\f(1,3)S四边形ABCD∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,6)，\f(1,3))).∴该八面体的体积可能值有多数个，故选D.]5．已知正三棱柱ABC­A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为eq\r(3)，D为BC的中点，则三棱锥A­B1DC1的体积为()A．3 B.eq\f(3,2)C．1 D.eq\f(\r(3),2)C[∵D是等边三角形ABC的边BC的中点，∴AD⊥BC.又ABC­A1B1C1为正三棱柱，∴AD⊥平面BB1C1C.∵四边形Beq\s\do6(B1C1C)为矩形，∴Seq\s\do10(△DB1C1)＝eq\f(1,2)Seq\s\do6(四边形BB1C1C)＝eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝eq\r(3).又AD＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，∴Veq\s\do6(A­B1DC1)＝eq\f(1,3)Seq\s\do10(△DB1C1)·AD＝eq\f(1,3)×eq\r(3)×eq\r(3)＝1.故选C.]6.如图所示，图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的体积为________．eq\f(140π,3)[由题知，旋转一周后形成的几何体是一圆台去掉一个半球，其中圆台的体积为V＝eq\f(1,3)×(π×22＋eq\r(π×22×π×52)＋π×52)×4＝52π，半球的体积V＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)×π×23＝eq\f(16π,3)，则所求体积为52π－eq\f(16π,3)＝eq\f(140π,3).]7．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源与古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合，非常奇妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称．从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来，如图，若正四棱柱体的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为________．(容器壁的厚度忽视不计)41π[由题意，该球形容器的半径的最小值为：eq\f(1,2)eq\r(22＋12＋62)＝eq\f(\r(41),2)，∴该球形容器的表面积的最小值为4π·eq\f(41,4)＝41π.]8．三棱锥P­ABC的四个顶点均在同一个球面上，其中PA⊥平面ABC，△ABC是正三角形，PA＝2BC＝4，则该球的表面积为________．eq\f(64π,3)[球心应位于过正三角形ABC的中心且垂直于平面ABC的直线上，又PA⊥平面ABC，PA＝4，所以球心O到平面ABC的距离为2，所以球的半径r＝eq\r(22＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)))eq\s\up12(2))＝eq\f(4\r(3),3)，所以球的表面积为S＝4πr2＝eq\f(64π,3).][实力提升练](建议用时：15分钟)9．(2024·成都七中模拟)《九章算术》中将底面是直角三角形、侧棱垂直于底面的三棱柱称之为“堑堵”，现有一“堑堵”型石材，其底面三边长分别为3,4,5，若此石材恰好可以加工成一个最大的球体，则其高为()A．4 B．3C．2 D．1C[如图，是过球心且与底面平行的轴截面，设球的半径为r，由AC＝3，BC＝4，可得AB＝5，由等面积法可得：eq\f(1,2)×3×4＝eq\f(1,2)(3＋4＋5)r，解得r＝1.∴此石材d的高为2r＝2.故选C.]10．(2024·唐山二模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A．16π B．14πC．10π D．8πC[依据三视图知，该几何体是半球体截去一个圆锥体剩余部分，画出图形如图所示；结合图中数据，计算该几何体的表面积为S＝S半球表面积＋S半球底面圆＋S圆锥侧面积－S圆锥底面圆＝2π·(eq\r(3))2＋π·(eq\r(3))2＋π·1·eq\r(\r(3)2＋12)－π·12＝10π.故选C.]11．一块边长为6cm的正方形铁皮按如图1所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，将该容器按如图2放置，若其正视图为等腰直角三角形，则该容器的体积为()图1图2A．12eq\r(6)cm3 B．4eq\r(6)cm3C．27eq\r(2)cm3 D．9eq\r(2)cm3D[如图2，△PMN为该四棱锥的正视图，由图1可知，PM＋PN＝6，且PM＝PN，由△PMN为等腰直角三角形，可知MN＝3eq\r(2)，PM＝3.设MN中点为O，则PO⊥平面ABCD，∴PO＝eq\f(1,2)MN＝eq\f(3\r(2),2)，∴VP­ABCD＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(2)))2×eq\f(3\r(2),2)＝eq\f(1,3)×18×eq\f(3\r(2),2)＝9eq\r(2).选D.]图1图212．[重视题]正三棱锥S­ABC的底面边长为a，各侧面的顶角为30°，D为侧棱SC的中点，截面△DEF过D且平行于AB.当△DEF的周长最小时，截得的三棱锥S­DEF的侧面积为________．eq\f(2＋\r(3),8)a2[将正三棱锥的侧面绽开(如图所示)，可得三个顶角均为30°的等腰三角形，底面边长为a，D′为SC′的中点，DD′的连线长即为最短．∵DD′∥CC′∥A′B′，∴E′，F′即为相对应的E，F.在△SCB′中，B′C＝a，∠CSB′＝30°，则SC＝SB′＝eq\r(2＋\r(3)a2).又∵∠CSC′＝90°，∴DD′＝eq\f(1,2)CC′＝eq\r(2)·eq\r(2＋\r(3))a·eq\f(1,2)＝eq\f(\r(3)＋1,2)a，即为截面△DEF的周长的最小值，这时，三棱锥S­DEF的侧面绽开图的顶角为90°，∴S△SDD′＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)＋1,2)a))eq\s\up12(2)＝eq\f(2＋\r(3),8)a2.]题号内容押题依据1数学文化、锥体的体积、柱体的表面积、不等式高考热点之一，通过对几何体的体积计算实现学问间的融合考查了学生的空间想象和数学运算的素养2球的切接体积的最值问题有关球的切接及体积的最值问题始终是高考的热点，考查学生的动态分析问题实力【押题1】《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的探讨比西方早一千多年．例如“堑堵”指的是底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；“阳马”指的是底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥．如图所示，在堑堵ABC­A1B1C1中，AC⊥BC，A1A＝AB＝2，当堑堵ABC­A1B1C1的侧面积取得最大值时，阳马B­A1ACC1的体积为()A.eq\f(4,3) B.eq\f(8,3)C．4 D.eq\f(4\r(3),3)A[依据题意，设AC＝x，BC＝y，则有x2＋y2＝4，堑堵ABC­A1B1C1的侧面积S侧＝(2＋x＋y)×2＝4＋2(x＋y)≤4＋2eq\r(2x2＋y2)＝4＋2eq\r(2)，当且仅当x＝y＝eq\r(2)时取等号，此时阳马B­A1ACC1的体积V＝eq\f(1,3)×AC×CC1×BC＝eq\f(1,3)×eq\r(2)×2×eq\r(2)＝eq\f(4,3)，故选A.【押题2】如图，三棱锥A­BCD中，AD⊥BD，AC⊥BC，∠DAB＝eq\f(π,6)，∠BAC＝eq\f(π,4).三棱锥的外接球的表面积为16π，则该三棱锥的体积的最大值为()A.eq\f(7,3) B.eq\f(4\r(3),3)C.eq\f(8,3) D.eq\f(14,3)B[设外接球的半径为R.由题意得，4πR2＝16π，解得R＝2.由