《高考备考指南 文科数学》课件-第12章 第2讲

第十二章第2讲[A级基础达标]1．(2015年安徽)设i是虚数单位，则复数eq\f(2i,1－i)在复平面内所对应的点位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】eq\f(2i,1－i)＝eq\f(2i1＋i,1－i1＋i)＝eq\f(2i－1,2)＝－1＋i，由复数的几何意义知－1＋i在复平面内的对应点为(－1,1)，该点位于第二象限．故选B．2．(2016年西安质检)已知复数z1＝2＋i，z2＝1－2i，若z＝eq\f(z1,z2)，则eq\x\to(z)＝()A．eq\f(4,5)＋i B．eq\f(4,5)－iC．i D．－i【答案】D【解析】z＝eq\f(z1,z2)＝eq\f(2＋i,1－2i)＝eq\f(2＋i1＋2i,5)＝eq\f(5i,5)＝i，eq\x\to(z)＝－i.3．若复数z＝a2－1＋(a＋1)i(a∈R)是纯虚数，则eq\f(1,z＋a)的虚部为()A．－eq\f(2,5) B．－eq\f(2,5)iC．eq\f(2,5) D．eq\f(2,5)i【答案】A【解析】由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－1＝0，,a＋1≠0，))所以a＝1，所以eq\f(1,z＋a)＝eq\f(1,1＋2i)＝eq\f(1－2i,1＋2i1－2i)＝eq\f(1,5)－eq\f(2,5)i，根据虚部的概念，可得eq\f(1,z＋a)的虚部为－eq\f(2,5).4．(2016年河南校级二模)设复数z＝eq\f(2,－1－i)(i为虚数单位)，z的共轭复数为eq\x\to(z)，则在复平面内ieq\x\to(z)对应的点的坐标为()A．(1,1) B．(－1,1)C．(1，－1) D．(－1，－1)【答案】C【解析】z＝eq\f(2,－1－i)＝eq\f(－2,1＋i)＝eq\f(－21－i,1＋i1－i)＝eq\f(－2＋2i,2)＝－1＋i，ieq\x\to(z)＝1－i，在复平面内ieq\x\to(z)对应的点的坐标为(1，－1)．故选C．5．如图，若向量eq\o(OZ,\s\up6(→))对应的复数为z，则z＋eq\f(4,z)表示的复数为()A．1＋3i B．－3－iC．3－i D．3＋i【答案】D【解析】由图可得Z(1，－1)，即z＝1－i，所以z＋eq\f(4,z)＝1－i＋eq\f(4,1－i)＝1－i＋eq\f(41＋i,1－i1＋i)＝1－i＋eq\f(4＋4i,2)＝1－i＋2＋2i＝3＋i.6．(2016年天门模拟)已知复数z1＝3－bi，z2＝1－2i，若eq\f(z1,z2)是实数，则实数b的值为()A．6 B．－6C．0 D．eq\f(1,6)【答案】A【解析】∵eq\f(z1,z2)＝eq\f(3－bi,1－2i)＝eq\f(3－bi1＋2i,1－2i1＋2i)＝eq\f(3＋2b＋6－bi,5)是实数，则6－b＝0，∴实数b的值为6.故选A．7．若eq\f(3＋bi,1－i)＝a＋bi(a，b为实数，i为虚数单位)，则a＋b＝________.【答案】3【解析】由eq\f(3＋bi,1－i)＝eq\f(3＋bi1＋i,1－i1＋i)＝eq\f(3－b＋3＋bi,2)＝a＋bi，得a＝eq\f(3－b,2)，b＝eq\f(3＋b,2)，解得b＝3，a＝0，所以a＋b＝3.8．(2016年厦门模拟)设复数z满足(1－i)z＝2i，则z在复平面内所对应的点位于第________象限．【答案】二【解析】由(1－i)z＝2i，得z＝eq\f(2i,1－i)＝eq\f(2i1＋i,1－i1＋i)＝－1＋i，则z在复平面内所对应的点的坐标为(－1,1)，位于第二象限．9．(2016年衡水校级月考)已知i1＝i，i2＝－1，i3＝－i，i4＝1，i5＝i，由此可猜想i2016＝________.【答案】1【解析】由题意可知复数单位的幂运算具有周期性，周期为4，i2016＝i4＝1.10．(2016年宿迁三模)已知复数z满足(3＋i)z＝10i(其中i为虚数单位)，则复数z的共轭复数是________．【答案】1－3i【解析】∵(3＋i)z＝10i，∴(3－i)(3＋i)z＝10i(3－i)，∴10z＝10(3i＋1)，化为：z＝1＋3i，则复数z的共轭复数是1－3i.[B级能力提升]11．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，若z1＝1－2i，则eq\f(z2,z1)的虚部为()A．eq\f(3,5) B．－eq\f(3,5)C．eq\f(4,5) D．－eq\f(4,5)【答案】D【解析】复数z1＝1－2i对应的点(1，－2)关于虚轴对称的点为(－1，－2)，则z2＝－1－2i，所以eq\f(z2,z1)＝eq\f(－1－2i,1－2i)＝eq\f(－1＋2i2,5)＝eq\f(3,5)－eq\f(4,5)i的虚部是－eq\f(4,5).12．(2016年辽宁三模)若复数z＝cosθ－eq\f(5,13)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13)－sinθ))i(i是虚数单位)是纯虚数，则tanθ的值为()A．－eq\f(12,5) B．eq\f(12,5)C．－eq\f(5,12) D．±eq\f(12,5)【答案】A【解析】∵复数z＝cosθ－eq\f(5,13)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13)－sinθ))i是纯虚数，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosθ－\f(5,13)＝0，,\f(12,13)－sinθ≠0，))即cosθ＝eq\f(5,13)且θ为第四象限角．∴sinθ＝－eq\r(1－cos2θ)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,13)))2)＝－eq\f(12,13)，则tanθ＝eq\f(sinθ,cosθ)＝－eq\f(12,5).故选A．13．(2016年衡阳一模)如图所示，在复平面内，复数z1和z2对应的点分别是A和B，则eq\f(z2,z1)＝()A．eq\f(1,5)＋eq\f(2,5)i B．eq\f(2,5)＋eq\f(1,5)iC．－eq\f(1,5)－eq\f(2,5)i D．－eq\f(2,5)－eq\f(1,5)i【答案】C【解析】由图形可得z1＝－2－i，z2＝i，∴eq\f(z2,z1)＝eq\f(i,－2－i)＝eq\f(－i2－i,2＋i2－i)＝eq\f(－2i－1,5)＝－eq\f(1,5)－eq\f(2,5)i.故选C．14．(2016年枣阳校级测试)若复数z＝(m＋1)－(m－3)i在复平面内对应的点在第一或第三象限，则实数m的取值范围是________．【答案】(－1,3)【解析】若z＝(m＋1)－(m－3)i在复平面内对应的点在第一或第三象限，则(m＋1)[－(m－3)]＞0，即(m＋1)(m－3)＜0，解得－1＜m＜3.所以实数m的取值范围是(－1,3)．15．(2016年延安校级三模)在复平面上，已知复数z1与z2的对应点关于直线y＝x对称且满足z1z2＝9i，则|z1|＝________.【答案】3【解析】设z1＝x＋yi(x，y∈R)，又复数z1与z2的对应点关于直线y＝x对称，则z2＝y＋xi.所以z1z2＝(x＋yi)(y＋xi)＝xy＋x2i＋y2i＋xyi2＝(x2＋y2)i＝9i，即x2＋y2＝9，则|z1|＝eq\r(x2＋y2)＝3.16．(2016年甘肃校级模拟)若i