公式法第2课时运用完全平方公式因式分解

第四章因式分解3公式法第2课时运用完全平方公式因式分解目录CONTENTSA知识分点练B能力综合练C拓展探究练

知识点1

完全平方式1.下列多项式是完全平方式的是（

C

）A.

a2＋ab＋b2B.1＋4a2C.

a2－4a＋4D.

4b2＋4b－1C12345678910111213142.若多项式x2－12x＋k是一个完全平方式，则k的值为

⁠.[变式]若多项式x2＋2ax＋9是一个完全平方式，则a的值为

⁠.36

±3

1234567891011121314知识点2

用完全平方公式因式分解3.（2024·西安月考）多项式x2－4x＋4因式分解的结果是（

D

）A.

x（x－4）＋4B.

（x＋2）（x－2）C.

（x＋2）2D.

（x－2）2D12345678910111213144.下列各式能用完全平方公式因式分解的是（

B

）A.

x2－4x＋1B.

x2＋6x＋9C.

x2－4x＋9D.

x2＋4x－4B12345678910111213145.因式分解：（1）4x2＋4x＋1＝

⁠；（2）2x2－4x＋2＝

⁠；（3）ay2＋6ay＋9a＝

⁠；（4）2x3＋4x2＋2x＝

⁠.（2x＋1）2

2（x－1）2

a（y＋3）2

2x（x＋1）2

1234567891011121314

（2）x3－6x2＋9x；解：原式＝x（x2－6x＋9）＝x（x－3）2.1234567891011121314（3）（x＋y）2－10（x＋y）＋25；解：原式＝（x＋y－5）2.（4）－8ax2＋16axy－8ay2.解：原式＝－8a（x2－2xy＋y2）＝－8a（x－y）2.1234567891011121314知识点3

完全平方公式因式分解的应用7.如图，长、宽分别为a，b的长方形的周长为14，面积为10，则

a3b＋ab3＋2a2b2的值为（

C

）A.70B.140C.490D.2

560C12345678910111213148.用简便方法计算：（1）992＋198＋1；解：原式＝992＋2×99×1＋12＝（99＋1）2＝10

000.（2）2042＋204×192＋962.解：原式＝2042＋2×204×96＋962＝（204＋96）2＝90

000.1234567891011121314

易错点

对完全平方式理解不透而致错9.（教材P103习题T3变式）在多项式x2＋1中添加一个单项式，使其

成为一个多项式的平方，则添加的单项式为

.

1234567891011121314变式题

A.2B.4C.8D.16C1234567891011121314变式题11.已知P＝m2－m，Q＝m－1（m为任意实数），则P，Q的大小

关系为

⁠.P≥Q或Q≤P

123456789101112131412.将下列各式因式分解：（1）（a－b）（a－4b）＋ab；解：原式＝a2－4ab－ab＋4b2＋ab＝a2－4ab＋4b2＝（a－2b）2.（2）x2（y2－1）＋4x（y2－1）＋4（y2－1）.解：原式＝（y2－1）（x2＋4x＋4）＝（y＋1）（y－1）（x＋2）2.123456789101112131413.（过程性学习）下面是某同学对多项式（x2－4x＋2）（x2－4x

＋6）＋4进行因式分解的过程.解：设x2－4x＝y.原式＝（y＋2）（y＋6）＋4（第一步）＝y2＋8y＋16（第二步）＝（y＋4）2（第三步）＝（x2－4x＋4）2（第四步）.1234567891011121314根据上述材料，回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了

进行因式分解.（2）该同学因式分解的结果

（填“彻底”或“不彻底”）.

若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果

⁠.完全平方公式

不彻底

（x－2）4

1234567891011121314（3）上述材料的解题方法叫做“换元法”.请你用换元法对（x2－2x）（x2－2x＋2）＋1进行因式分解.解：（3）设x2－2x＝y.原式＝y（y＋2）＋1＝y2＋2y＋1＝（y＋1）2＝（x2－2x＋1）2＝（x－1）4.1234567891011121314

14.阅读下列材料并解答：[方法呈现]（1）我们把多项式a2＋2ab＋b2及a2－2ab＋b2叫做完全平方式.在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式.把一个多项式进行局部因式分解可以用来解决代数式的最小（或最大）值问题.例如，x2＋2x＋3＝（x2＋2x＋1）＋2＝（x＋1）2＋2.∵（x＋1）

2≥0，∴（x＋1）2＋2≥2.故这个代数式x2＋2x＋3的最小值是

，此时相应的x的值是

⁠

⁠.2

－

1

1234567891011121314[尝试应用]（2）求代数式－x2＋14x＋10的最小（或最大）值，并写出相应的x

的值.丝的长度；若没有，请说明理由.解：（2）－x2＋14x＋10＝－（x2－14x＋49－49）＋10＝－（x－7）2＋59.∵－（x－7）2≤0，∴－（x－7）2＋59≤59.故代数式－x2＋14x＋10的最大值为59，此时相应的x的值为7.1234567891011121314[拓展应用]（3）将一根长为300

cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周

长各做一个正方形，则这两个正方形的面积之和有没有最小（或最大）

值？若有，求出最小（或最大）值以及此时两段铁（3）有最小值.

1234567891011121314谢谢观看第9题变式变式1多项式x2＋mxy＋4y2通过因式分解可化成完全平方式，则m

＝

⁠.

A.

xB.

－xC.

x4D.

－x4±4

D变式3在多项式16x2＋1上添加一个单项式，使得到的多项式能运用完

全平方公式分解因式，则下列表述正确的是（A

）嘉琪：添加±8x，16x2＋1±8x＝（4x±1）2；陌陌：添加64x4，64x4＋16x2＋1＝（8x2＋1）2；嘟嘟：添加－1，16x2＋1－1＝16x2＝（4x）2.A.

嘉琪和陌陌的做法正确B.

嘉琪和嘟嘟的做法正确C.

陌陌和嘟嘟的做法正确D.

三位同学的做法都不正确A

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第10题变式变式2已知a＝b＋2，则代数式3a2－6ab＋3b