2025年全国硕士研究生入学统一考试 (数学一) 真题及答案

2025年全国硕士研究生入学统一考试(数学一)试卷详解

一、选择题:1~10小题,每小题5分,共50分,下列每小题给出的四个选项中,

只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答·题·纸·指定位置上●

22

tt2

(1)已知函数esinedt.sinx,则

(A)x=0是f(x)的极值点,也是g(x)的极值点

(B)x=0是f(x)的极值点,(0,0)是曲线y=g(x)的拐点

(C)x=0是f(x)的极值点,(0,0)是曲线y=f(x)的拐点

(D)(0,0)是曲线y=f(x)的拐点,也是曲线y=g(x)的拐点

【答案】(B)

【解析】

222

xxx

f,(x)=esinx,f,,(x)=e2xsinx+ecosx

2x2

x2t

g,(x)=esinx+edt.2sinxcosx

2222

x2xxt

g,,(x)=e2xsinx+e2sinxcosx+e2sinxcosx+edt2cos2x

f,(0)=0,f,,(0)=1>0→x=0为f(x)的极值点,但不是拐点

g,(0)=0,g,,(0)=0

,,

2222

,,,x2x2xx

g(x)=2esinx+x(2esinx)+4cos2xe+2sin2x(e)

22

t

—4sin2xedt+2cos2xex

g,,,(0)=6>0→x=0为g(x)的拐点

1

(2)已知级数则

()

(A)均条件收敛

(B)条件收敛,绝对收敛

(C)绝对收敛,条件收敛

(D)均绝对收敛

【答案】(B)

n—1

对于①sin

发散而收敛

所以级数①条件收敛

2

所以级数②绝对收敛

(3)函数f(x)在[0,+∞)上可导,则()

(A)当limf(x)存在时,limf9(x)存在

x→+∞x→+∞

(B)当limf9(x)存在时,limf(x)存在

x→+∞x→+∞

当存在时,lif(x)存在

x→∞

(D)当lif(x)存在时存在

x→∞

【答案】(D)

【解析】(D)由广义洛必达,即分母趋于无穷就可以洛必达,极限存在

()设函数f(x,y)连续,则dx—xf(x,y)dy=()

42

2

(D)

3

【答案】(A)

【解析】如图:

2

(5)二次型f(x1,x2,x3)=x1+2x1x2+2x1x3的正惯性指数为()

(A)0(B)1(C)2(D)3

【答案】(B)

2

【解析】f(x1,x2,x3)=x1+2x1x2+2x1x3

22222

=x1+2x1(x2+x3)+(x2+x3)-(x2+x3)=(x1+x2+x3)-(x2+x3)

(6)设。1,。2,。3,。4是n维列向量,向量。1,。2线性无关,。1,。2,。3线性相关且

。1+。2+。4=0空间直角坐标系中关于x,y,z的方程,x。1+y。2+z。3=。4

(A)过原点的一个平面(B)过原点的一条直线

(C)不过原点的一个平面(D)不过原点的一条直线

【答案】(D)

【解析】由。1,。2线性无关,。1,。2,。3线性相关,则r(。1,。2,。3)=2,又

。+。+。=

1240

。。。

则r(。1,。2,。3,。4)=r(。1,。2,。3)=2进而x1+y2+z3=0的基础解系向量个数为1,

4

又x=y=z=0时,a4=0,此时a1+a2=0,与a1,a2线性无关矛盾,故

而不过原点,选(D).

(7)设n阶矩阵A.B.C满足r(A)+r(B)+r(C)=r(ABC)+2n给出下列四个结论

①r(ABC)+n=r(AB)+r(C)②r(AB)+n=r(A)+r(B)③

r(A)=r(B)=r(C)=n④r(AB)=r(BC)=n

(A)①②(B)①③(C)②④(D)③④

【答案】(A)

【解析】取n=1,A=a≠0,B=b≠0,c=0满足条件,而③④不对,故选A.

(8)设二维随机变量(X,Y)服从正态分布N(0,01,1,P)其中P∈(一1,1)若a,b为满足

a2+b2=1的任意实数,则D(aX+bY)的最大值为()

(A)1(B)2(C)1+IP(D)1+P2

【答案】(C)

a2+b2=1,设a=sint,b=cost,有

a2+b2+2abP=1+sin2t.P,最大值选(C)

(9)设X1,X2,…X20是来自样本总体B(1,0.1)的简单随机样本,令T=

利用泊松分布表示二项分布方法可得P{T≤1}=()

(A)(B)(C)(D)

【答案】(C)

【解析】

由X1,X2,...,X20来自B(1,0.1)的简单随机样本

5

P{T≤1}=P{T=0}+P{T=1}

其中λ≈0.1.20=2

(10)设X1,X2,…Xn为来自正态总体N(μ,2)的简单随机样本,记,

2α表示标准正态分布的上侧α分位数,假设检验问题H0:μ≤1,H1:μ>1时显

著性水平为α,检验的拒绝域为()

(C)(D)

【答案】(D)

>zα

,则有P,即,

选(D)

二、填空题:11-16小题,每小题5分,共30分,请将答案写在答·题·纸·指定位置上.

6

(11)=_______.

【答案】-1

已知f的傅里叶级数为sinnτx,S为

sinnτx的和函数=_______.

1

【答案】

8

(13)已知函数=xy2z3,向量n=,则=_______.

【答案】1

23322

【解析】=yz,=2xyz,=3xyz,

7

(14)已知有向曲线L是沿抛物线y=1-x2从点(1,0)到(-1,0)的段,则曲线积分

(y+cosx)dx+(2x+cosy)dy=.

∫L

【答案】-2sin1

【解析】补L1:y=0,x:-1→1

∫(y+cosx)dx+(2x+cosy)dy

L

1

2

(15)设矩阵若方程组Ax=0与Ax=0不同解则a-b=_______.

【答案】—4

【解析】根据题意,A=0,A=

8

a-b=-4

(16)设A,B为两个随机事件,A,B相互独立P(A)则A,B

至少有一个发生的条件下.

【答案】

【解析】

三、解答题:17-22小题,共70分●请将解答写在答·题·纸·指定位置上·解答应写出文

字说明、证明过程或演算步骤●

(17)(本题满分10分)

【答案】ln2+

【解析】

由于

2

1abx+c(a+b)x+(-2a+b+c)x+2a+c

=+=

222,

(1+x)(x-2x+2)1+xx-2x+2(1+x)(x-2x+2)

9

则→.

(18)(本题满分12分)函数f(u)在区间(0,+∞)内有二阶导数,

2

若满足x=1,且g求

f(u).

【答案】f(u)=-5+6u-lnu

10

代入原方程得

令=u,则2u2f,,+uf,欧拉方程)

y

令y=f(u),x=u则方程变为2x2y,,+xy,=1

t

令x=e,则方程变为:

∂g2

,

由g(x,x)=1,=→f(1)=1,f(1)=2→C1=—5,C2=6

∂x(x,x)x

→f(u)=—5+6u—lnu

(19)(本题满分12分)设函数f(x)在区间(a,b)可导,证明导函数f,(x)在(a,b)

内严格单调递增的充分必要条件是:对(a,b)内任意x1,x2,x3,当x1<x2<x3时,有

【答案】略

【解析】证明:(1)必要性

11

由于f,(x)在(a,b)上单增,且1<2,则f,(1)<f,(2),进而

(2)充分性

对于任意<c2∈有:f,,

当<x<c2<b时,由知,

两边同时取极限及极限的保号性可知:

进而,即f,在上

单增.

12

(20)(本题满分12分)设Σ是由直线绕直线为参数)旋转一

周得到的曲面,Σ1是Σ介于平面x+y+z=0与x+y+z=1之间部分的外侧,计

算曲面积分

【答案】

【解析】取Σ2:x+y+z=1上侧,则有

为底在平面:x+y+z=1