已知101g+16h=82条件下计算gh最大值的过程

已知101g+16h=82,求gh最大值的方法主要内容：本文详细介绍通过代入法、三角换元法、判别式法、中值替换法、不等式法、几何数形法、构造函数等方法计算gh在101g+16h=82条件下的最大值。主要公式：1.sin²a+cos²a=1；2.ab≤eq\f((a+b)²,2)；3.二次方程根的判定定理；4.一次函数的导数公式d（ax）=adx。思路一：直接代入法根据已知条件，替换h=eq\f(82-101g,16)，得到关于g的函数，再配方并根据二次函数性质得gh的取值范围。gh=geq\f(82-101g,16)=-eq\f(1,16)(101g²-82g)=-eq\f(101,16)(g²-eq\f(41,101)g)=-eq\f(101,16)(g-eq\f(41,101))²+eq\f(1681,1616),则当g=eq\f(41,101)时，gh有最大值为eq\f(1681,1616)。思路二：判别式法设gh=p，得到h=eq\f(p,g),代入已知条件关于g的函数，并根据二次函数性质得gh的取值范围。101g+16h=82,101g+16*eq\f(p,g)=82,101g²-82g+16p=0,对g的二次方程有：判别式△=82²-4*101*16p≥0,即：p≤eq\f(82²,4*101*16)=eq\f(1681,1616),此时gh=p的最大值=eq\f(1681,1616)。思路三：三角换元法将gh表示成三角函数，进而得gh的最大值,对于本题设:101g=82cos²t，16h=82sin²t，则：g=eq\f(82,101)cos²t,h=eq\f(101,16)sin²t,代入得：gh=eq\f(82,101)cos²t*eq\f(101,16)sin²t,=eq\f(1,4)*eq\f(82,101)*eq\f(101,16)*(4cos²t*sin²t),=eq\f(82²,4*101*16)*sin²2t,当sin2t=±1时，gh有最大值=eq\f(1681,1616)。思路四：中值代换法设101g=eq\f(82,2)+t₁,16h=eq\f(82,2)-t₁，则：g=eq\f(1,101)(eq\f(82,2)+t₁),h=eq\f(1,16)(eq\f(82,2)-t₁),此时：gh=eq\f(1,101)(eq\f(82,2)+t₁)*eq\f(1,16)(eq\f(82,2)-t₁)=eq\f(1,101*16)(eq\f(82²,4)-t₁²)。当t₁=0时，即：gh≤eq\f(82²,4*101*16)=eq\f(1681,1616),则:gh的最大值为eq\f(1681,1616)。思路五：不等式法当g，h均为正数时，则：∵101g+16h≥2eq\r(101*16*gh),∴(101g+16h)²≥4*101*16gh,82²≥4*101*16gh,即：则gh的最大值为:eq\f(1681,1616)。思路六：数形几何法如图，设直线101g+16b=82上的任意一点P(g₁,h₁),op与x轴的夹角为θ，则： yp(g₁,h₁) o x101g₁+16h₁=82,h₁=g₁tanθ, 101g₁+16g₁tanθ=82，即：g₁=eq\f(82,101+16tanθ), |g₁*h₁|=82²*eq\f(|tanθ|,(101+16tanθ)²),=eq\f(82²,\f(10201,|tanθ|)+2*101*16+256|tanθ|),≤eq\f(82²,2*101*16+2*101*16)=eq\f(1681,1616)，则：gh的最大值=eq\f(1681,1616).思路七:构造函数法设函数：f(g,h)=gh-λ*(101g+16h-82),则偏导数：f'g=h-101λ,f'h=g-16λ,f'λ=101g+16h-82。令f'g=f'h=f'λ=0，则：h=101λ,g=16λ。进一步代入得：101λ+101λ=82,即λ=eq\f(4