已知50c+104d=23,求cd最大值的方法

已知50c+104d=23,求cd最大值的方法主要内容：本文详细介绍通过代入法、三角换元法、判别式法、中值替换法、不等式法、几何数形法、构造函数等方法计算cd在50c+104d=23条件下的最大值。主要公式：1.sin²a+cos²a=1；2.ab≤eq\f((a+b)²,2)；3.二次方程根的判定定理；4.一次函数的导数公式d（ax）=adx。思路一：直接代入法根据已知条件，替换d=eq\f(23-50c,104)，得到关于c的函数，再配方并根据二次函数性质得cd的取值范围。cd=ceq\f(23-50c,104)=-eq\f(1,104)(50c²-23c)=-eq\f(25,52)(c²-eq\f(23,100)c)=-eq\f(25,52)(c-eq\f(23,100))²+eq\f(529,20800),则当c=eq\f(23,100)时，cd有最大值为eq\f(529,20800)。思路二：判别式法设cd=p，得到d=eq\f(p,c),代入已知条件关于c的函数，并根据二次函数性质得cd的取值范围。50c+104d=23,50c+104*eq\f(p,c)=23,50c²-23c+104p=0,对c的二次方程有：判别式△=23²-4*50*104p≥0,即：p≤eq\f(23²,4*50*104)=eq\f(529,20800),此时cd=p的最大值=eq\f(529,20800)。思路三：三角换元法将cd表示成三角函数，进而得cd的最大值,对于本题设:50c=23cos²t，104d=23sin²t，则：c=eq\f(23,50)cos²t,d=eq\f(50,104)sin²t,代入得：cd=eq\f(23,50)cos²t*eq\f(50,104)sin²t,=eq\f(1,4)*eq\f(23,50)*eq\f(50,104)*(4cos²t*sin²t),=eq\f(23²,4*50*104)*sin²2t,当sin2t=±1时，cd有最大值=eq\f(529,20800)。思路四：中值代换法设50c=eq\f(23,2)+t₁,104d=eq\f(23,2)-t₁，则：c=eq\f(1,50)(eq\f(23,2)+t₁),d=eq\f(1,104)(eq\f(23,2)-t₁),此时：cd=eq\f(1,50)(eq\f(23,2)+t₁)*eq\f(1,104)(eq\f(23,2)-t₁)=eq\f(1,50*104)(eq\f(23²,4)-t₁²)。当t₁=0时，即：cd≤eq\f(23²,4*50*104)=eq\f(529,20800),则:cd的最大值为eq\f(529,20800)。思路五：不等式法当c，d均为正数时，则：∵50c+104d≥2eq\r(50*104*cd),∴(50c+104d)²≥4*50*104cd,23²≥4*50*104cd,即：则cd的最大值为:eq\f(529,20800)。思路六：数形几何法如图，设直线50c+104b=23上的任意一点P(c₁,d₁),op与x轴的夹角为θ，则： yp(c₁,d₁) o x50c₁+104d₁=23,d₁=c₁tanθ, 50c₁+104c₁tanθ=23，即：c₁=eq\f(23,50+104tanθ), |c₁*d₁|=23²*eq\f(|tanθ|,(50+104tanθ)²),=eq\f(23²,\f(2500,|tanθ|)+2*50*104+10816|tanθ|),≤eq\f(23²,2*50*104+2*50*104)=eq\f(529,20800)，则：cd的最大值=eq\f(529,20800).思路七:构造函数法设函数：f(c,d)=cd-λ*(50c+104d-23),则偏导数：f'c=d-50λ,f'd=c-104λ,f'λ=50c+104d-23。令f'c=f'd=f'λ=0，则：d=50λ,c=104λ。进一步代入得：50λ+50λ=23,即λ=eq\f(2