已知37s+4t=107,求st最大值的方法

已知37s+4t=107,求st最大值的方法主要内容：本文详细介绍通过代入法、三角换元法、判别式法、中值替换法、不等式法、几何数形法、构造函数等方法计算st在37s+4t=107条件下的最大值。主要公式：1.sin²a+cos²a=1；2.ab≤eq\f((a+b)²,2)；3.二次方程根的判定定理；4.一次函数的导数公式d（ax）=adx。思路一：直接代入法根据已知条件，替换t=eq\f(107-37s,4)，得到关于s的函数，再配方并根据二次函数性质得st的取值范围。st=seq\f(107-37s,4)=-eq\f(1,4)(37s²-107s)=-eq\f(37,4)(s²-eq\f(107,74)s)=-eq\f(37,4)(s-eq\f(107,74))²+eq\f(11449,592),则当s=eq\f(107,74)时，st有最大值为eq\f(11449,592)。思路二：判别式法设st=p，得到t=eq\f(p,s),代入已知条件关于s的函数，并根据二次函数性质得st的取值范围。37s+4t=107,37s+4*eq\f(p,s)=107,37s²-107s+4p=0,对s的二次方程有：判别式△=107²-4*37*4p≥0,即：p≤eq\f(107²,4*37*4)=eq\f(11449,592),此时st=p的最大值=eq\f(11449,592)。思路三：三角换元法将st表示成三角函数，进而得st的最大值,对于本题设:37s=107cos²t，4t=107sin²t，则：s=eq\f(107,37)cos²t,t=eq\f(37,4)sin²t,代入得：st=eq\f(107,37)cos²t*eq\f(37,4)sin²t,=eq\f(1,4)*eq\f(107,37)*eq\f(37,4)*(4cos²t*sin²t),=eq\f(107²,4*37*4)*sin²2t,当sin2t=±1时，st有最大值=eq\f(11449,592)。思路四：中值代换法设37s=eq\f(107,2)+t₁,4t=eq\f(107,2)-t₁，则：s=eq\f(1,37)(eq\f(107,2)+t₁),t=eq\f(1,4)(eq\f(107,2)-t₁),此时：st=eq\f(1,37)(eq\f(107,2)+t₁)*eq\f(1,4)(eq\f(107,2)-t₁)=eq\f(1,37*4)(eq\f(107²,4)-t₁²)。当t₁=0时，即：st≤eq\f(107²,4*37*4)=eq\f(11449,592),则:st的最大值为eq\f(11449,592)。思路五：不等式法当s，t均为正数时，则：∵37s+4t≥2eq\r(37*4*st),∴(37s+4t)²≥4*37*4st,107²≥4*37*4st,即：则st的最大值为:eq\f(11449,592)。思路六：数形几何法如图，设直线37s+4b=107上的任意一点P(s₁,t₁),op与x轴的夹角为θ，则： yp(s₁,t₁) o x37s₁+4t₁=107,t₁=s₁tanθ, 37s₁+4s₁tanθ=107，即：s₁=eq\f(107,37+4tanθ), |s₁*t₁|=107²*eq\f(|tanθ|,(37+4tanθ)²),=eq\f(107²,\f(1369,|tanθ|)+2*37*4+16|tanθ|),≤eq\f(107²,2*37*4+2*37*4)=eq\f(11449,592)，则：st的最大值=eq\f(11449,592).思路七:构造函数法设函数：f(s,t)=st-λ*(37s+4t-107),则偏导数：f's=t-37λ,f't=s-4λ,f'λ=37s+4t-107。令f's=f't=f'λ=0，则：t=37λ,s=4λ。进一步代入得：37λ+37λ=107,即λ=eq\f