《导数在高考题中的运用分析11000字（论文）》

导数在高考题中的运用分析目录1.引言 [3].基于学生完成课程标准及考试大纲要求的前提,对导数相关高考题、模拟题进行探析,有利于帮助学生有效地对这一知识进行复习掌握进而做到有效解题.3.2016——2020年高考试题中导数运用相关试题分析3.12016——2020全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷、北京卷、江苏卷导数运用统计为了更全面具体地对导数在高考题中的运用进行探析,对高考题进行统计、分析是首要的一步,因此,在对高考题全国卷Ⅰ、全国卷Ⅱ、全国卷Ⅲ、浙江卷、天津卷、江苏卷、上海卷、四川卷;以及2020年新出现的新高考Ⅰ卷(山东)新高考Ⅱ卷(海南)等高考卷中的导数题进行了收集整理后,选取了其中涉及较广、具代表性的2016年—2020年全国卷Ⅰ、全国卷Ⅱ、全国卷Ⅲ、江苏卷、北京卷(除江苏卷外包括文理)为对象进行统计探析,下面是近五年24套试卷的统计情况.表12016年—2020年高考导数部分大题统计表试卷名称分值在试卷中的位置(题号)问题数知识点(提问类型)2016年全国卷Ⅰ(理科)12202运用导函数求参数取值范围运用函数零点个数证明不等式2016年全国卷Ⅰ(文科)12212运用导函数性质讨论函数单调性已知函数零点个数求参数取值范围2016年全国卷Ⅱ(理科)12212运用导函数性质讨论函数单调性并证明不等式运用导数求函数最值及值域2016年全国卷Ⅱ(文科)12202运用导数的几何意义求切线方程求未知数取值范围2016年全国卷Ⅲ(理科)12213求导求函数绝对值的最大值不等式的证明2016年全国卷Ⅲ(文科)17

16、213运用导数几何性质求切线方程讨论函数单调性证明不等式2016年江苏卷(文理科一致)19163求方程的根不等式恒成立求求其中未知量的最大值已知构造函数零点个数求未知量2016年北京卷(理科)18132导数性质判断构造函数的单调性求未知数判断函数的单调区间2016年北京卷(文科)20133运用导数几何意义求切线方程已知零点个数求未知量取值范围已知零点个数证明不等式2017年全国卷Ⅰ(理科)21122讨论函数单调性已知零点个数求取值范围2017年全国卷Ⅰ(文科)21122讨论函数单调性由不等式求参数取值范围2017年全国卷Ⅱ(理科)21122由不等式求参数结合构造单调性及函数证明不等式2017年全国卷Ⅱ(文科)21122运用导数研究函数单调性运用导数求参数的取值范围2017年全国卷Ⅲ(理科)21122不等式结合导数运算求未知数运用导数研究函数单调性求未知量的最小值2017年全国卷Ⅲ(文科)21122求导讨论函数单调性由函数单调性证明不等式2017年江苏卷20163求解未知量关系式并讨论定义域证明不等式已知原函数与导函数极值之和求未知量取值范围2017年北京卷(理科)19132导数几何意义求切线方程由导数讨论函数最值2017年北京卷(文科)20132导数几何意义求切线方程讨论函数最大值最小值2018年全国卷Ⅰ(理科)21122讨论函数单调性已知极值证明不等式2018年全国卷Ⅰ(文科)21122已知极值点求未知量、并讨论函数单调区间证明不等式2018年全国卷Ⅱ(理科21122由导数讨论单调区间证明不等式已知零点求未知数2018年全国卷Ⅱ(文科21122求导讨论函数单调区间证明函数零点个数2018年全国卷Ⅲ(理科)21122构造函数求导讨论函数单调性证明不等式已知极大值点求未知量2018年全国卷Ⅲ(文科)21122由导数几何意义求切线方程导数单调性证明不等式2018年江苏卷19163初等函数求导结合逻辑推理能力初等函数求导结合逻辑推理求未知量导数研究初等函数性质结合逻辑推理2018年北京卷(理科)18132由导数几何意义求未知数已知函数极小值点求未知量取值范围2018年北京卷(文科)19132由导数几何意义求未知数已知函数极小值点求未知量取值范围2019年全国卷Ⅰ(理科)20122论证导函数的单调性证明存在唯一极大值点论证函数零点个数2019年全国卷Ⅰ(文科)20122函数求导讨论单调性论证存在唯一零点求导讨论函数单调性求未知量取值范围2019年全国卷Ⅱ(理科20122求导讨论函数单调性证明零点个数已知零点个数运用导数几何意义证明切线2019年全国卷Ⅱ(文科21122论证函数存在唯一极值点讨论函数两实根互为倒数2019年全国卷Ⅲ(理科)20122求导讨论函数单调性已知函数最大值、最小值求未知量2019年全国卷Ⅲ(文科)20122讨论函数单调性讨论函数最大值最小值差值的取值范围2019年江苏卷19163求未知量由零点取值范围求函数极小值已知极大值对函数求导论证极大值小于等于常数2019北京卷(理科)19133导数几何意义求切线方程不等式证明已知最大值最小值求未知量2019北京卷(文科)20143导数几何意义求切线方程不等式证明已知最大最小值求未知量2020年全国卷Ⅰ(理科)21122讨论函数单调性讨论函数单调性求未知数取值范围2020年全国卷Ⅰ(文科)20122讨论函数单调性已知零点个数求未知量取值范围2020年全国卷Ⅱ(理科)21123讨论函数单调性导数结合均值不等式证明不等式证明不等式2020年全国卷Ⅱ(文科21122由不等式求取值范围讨论构造函数的单调性2020年全国卷Ⅲ(理科)21122求未知量求导讨论函数单调性、极值证明零点范围2020年全国卷Ⅲ(文科)20122讨论函数单调性已知零点个数求未知量取值范围2020年江苏卷19163导数几何意义求解析式讨论函数单调性求取值范围结合(1)(2)结果证明不等式2020年北京卷19152导数几何意义求切线方程导数几何意义求切线与坐标轴所围图形面积最小值从表中近五年44套试卷的统计数据可知,导数这一知识在高考试卷中均有设置,考查形式均为导数知识运用大题,且在2016年全国卷Ⅲ(文科)中还在填空题中出现;以全国卷为代表的导数都是出现在19、20、21中,作为压轴题占据12分的高分,近五年除2020年全国卷Ⅱ(理科)设置三个小问外,均只涉及2个小问,导数这一知识在同一年的文理科全国卷中所运用到的知识都大同小异,高考数学江苏卷没有文理科之分,导数的运用也是以压轴题的形式出现在19、20题中分别设置三个问题进行考查,分值均为16分,相比较而言高考数学北京卷在导数知识运用的命题设置上无论是分值、文理科所涉及的知识点以及出现的题号上形式多变,在北京卷中导数仍然作为压轴题设置,问题个数不统一(二或三问),除2020年高考数学北京卷文理首次合并导数运用题分值为15分外其余年份分值固定在13分;以全国卷、北京卷、江苏卷为主统计的数据得出导数这一知识在高考题中举足轻重的作用,另外,解题所涉及的导数知识也在重复出现;因而导数这一知识在高考题中出现的位置、分值以及考察的知识点以及每个知识点考察的概率基本上是可以确定的.3.2.导数在高考题中的常见题型及所占比重分析对表1中近五年来44套高考题中99个对导数知识的运用的小题进一步细致化分析得出,导数在高考题中的运用主要有不等式的证明、通过求导解决函数单调性(区间)问题、导数的几何意义、求参数（未知数的取值范围）、求导解决函数的极值问题、导数与函数零点、初等函数求导结合逻辑推理七类;以我分析的2016年到2020年期间的44套高考题为例,导数相关知识细分为以上7类知识的考察比重如图所示:图1近五年高考卷导数知识考查比重由图1得出运用导函数性质求解参数值(或取值范围)、求导讨论函数单调性(区间)、不等式的证明考察比重对比其他几类要重很多、其中探析过程中将已知函数单调求参数范围归类到利用导函数性质求参数值或取值范围,其次是极值最值、不等式以及几何意义的考察,而导函数结合逻辑推理的考察相对较少;由此可进一步出运用导函数性质求解参数值(或取值范围)、求导讨论函数单调性(区间)是高考题导数部分考察的重点,除此之外,导数的运算作为导数部分的基础知识,在高考中每年均有涉及,但导数得运算不单独出现,而是在考察导数的一系列运用时作为基础步骤同时考察.3.32016—2020年导数在高考题中的运用文理科的差异由于文理科课标对导数掌握要求以及教学过程中的差异,在高考题的命制过程中也存在差异,由于全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷自2016年到2020年严格区分文理,故对导数在高考题中的运用文理科的差异以近五年地全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ30套试卷进行分析,不等式的证明、求导讨论函数单调性(区间)、导数的几何意义、求参数值(参数取值范围)、利用导数解决函数极值最值、导数与函数零点六大知识点在近五年文理科试卷中的考察比重以及在同一年的高考题中考查的方式、难度等差异如下:图2近五年全国卷导数题所占百分比表22016—2020年全国卷文理科差异试卷文理科差异2016年全国卷Ⅰ理科20(1)与文科20(2)所用知识点一致2016年全国卷Ⅱ理科21文科20全不同2016年全国卷Ⅲ理科21(3)与文科20(3)知识点一致,难度不同2017年全国卷Ⅰ文理21题所用知识一致,研究函数不同2017年全国卷Ⅱ文理21题全不同2017年全国卷Ⅲ文理21题全不同2018年全国卷Ⅰ文理21(2)所用知识一致,难度不同2018年全国卷Ⅱ文理科全不同2018年全国卷Ⅲ文理21题全不同2019年全国卷Ⅰ文理20题全不同2019年全国卷Ⅱ理20题文21题全不同2019年全国卷Ⅲ文理科20(1)考察知识点相同2020年全国卷Ⅰ理20文21所用知识一致,难度不同2020年全国卷Ⅱ文理科全不同2020年全国卷Ⅲ理20(2)文21(2)所用知识一致,难度不同从图2、表2来看,2016-2020五年间全国卷的导数题中,理科考察的相对较多的是不等式的证明以及求参数、参数的取值范围,这两部分的考察比文科多了7次;,就算文理科所用知识一致,理科在解题过程思维的深度、计算的难度、所用知识的复杂程度也相较于文科有更高的要求.在上表15张卷纸中也出现了理科的第一题在文科的第二题中考查(2016年全国卷Ⅰ)的情况;文科试卷则更侧重于求导讨论函数的基本性质、导数的几何意义这一类基础知识的考察;近五年30份全国卷中,对逻辑思维要求极高的证明题在理科试卷中出现了10次,且都是导数运用结合零点等的证明、运用两个及其以上知识对不等式的证明,在文科试卷中运用导数解答证明题出现了5次,除2018年全国卷Ⅲ(2)考察了运用导数证明零点个数其余的均为不等式的证明,甚至在2020年全国卷Ⅱ(理科)中出现(2)(3)两小题运用不同知识证明不等式的考察,同年的文科卷中并未出现证明题.这些不同明显体现出导数这一知识在高考题中的运用文科题难度明显降低了.文理科同学在日常教学活动中对导数的教学要求、在日常学习生活中的解题思维能力也存在差异,文科生由于学科特性以及毕业升学后的发展等原因使得他们对数学的学习掌握要求可适当降低,考虑到这一方面的差异高考题的命制出现差异化,使题目更加民主化,也更加符合学生这一学习主体本身思维上的差异.4.高考试题中导数运用常见题型4.1运用导数解决函数单调性问题4.1.1函数单调性与导数之间的关系函数单调性的判定定理:对于区间内的可导函数,(1)如果函数的某一个区间内通过求导所得导函数,则函数在该区间内是单调递增函数;(2)在函数的某一区间内通过求导所得导函数内,则函数在该区间内内是单调递减函数.4.1.2导数解决函数单调性问题运用举例方法一：运用导数讨论函数单调性.首先结合初等函数定义域的范围明确所给函数的定义域,然后求导得出导函数,在定义域内判断导函数与0的大小关系,就可以得到函数的单调区间,即：若在区间(a,b)内,则函数在上单调递增；若在区间内,则函数在上单调递减.其核心实质就是运用导数及不等式求解得出相应单调区间.例1(2016年全国卷Ⅱ)讨论函数的单调性.[解]函数的定义域为函数的导数为,恒,当且仅当时,由此可得函数在区间上单调递增分析：用导数求解函数的单调性问题时，先来讨论函数的定义域,例题中所给函数为分数函数,分数函数的定义域为分母不为零,即得出函数的定义域即,再对所给函数求导得,判断导函数正负得出单调区间,如果忽略定义域进行单调性的讨论就会得到函数在R上递增,然而正解是函数在其定义域上递增；因此运用导数讨论函数单调性的题中定义域的明确是正确解题的前提.方法二：讨论所给函数的定义域,对函数求导得导数;令并对其求解,与函数定义域相结合,得出函数在定义域内的每一个实数根；将函数没有定义的点(即不连续点)和函数的实数根按照从小到大的顺序排列，就可以将函数的定义域分成几个小的区间；依次对分割后的小区间内的正负进行判断,若在区间内,则函数在区间上为单调递增函数,若在区间内,则函数在区间上为单调递减函数,其核心实质是将定义域划分为小区间对其单调性进行讨论.注意函数中含未知参数时需对未知参数与0的大小关系进行分类讨论.例2(2017年全国卷Ⅰ(理科)已知函数,讨论函数的单调性.[解]由函数求导可得其导函数为,其定义域为R.(1)当时,恒成立,由此可得函数在R上单调递减;(2)当时,令得出,当时,可得,因此在上单调递增;当时,可得,因此在上单调递减;分析：运用导数讨论函数单调性对所给函数进行求导是重要步骤,要求对求导公式的准确记忆运用,例2中为指数函数其求导公式为区别于直接求导得,或者出现混淆记忆为,错误的根本原因就是公式的混淆记忆,因此在解题过程中应注意明确函数类别结合正确的公式进行求导,利用导函数求解方程得出实数根,用实数根将定义域分割开来，然后按顺序判断每个区间上导函数的正负，从而得到每个小区间上原函数的单调性；对函数中所含参数进行分情况讨论是解决问题时往往会遗漏的问题,分类讨论这一思想对于高中数学知识的学习非常重要,例2中对所给函数所含未知参数要分类讨论,将其分为、来分别讨论,忽视分类这一步骤就会导致仅论证出函数在R上单调递增或（2）然而正解是不重不漏的考虑出(1)(2),在解决问题时严格进行分类讨论是准确解题的关键4.2运用导数解决函数极值问题4.2.1函数求导与函数极值之间的关系函数表示在附近的函数值,若满足=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③在附近的左侧,函数单调递减(或增),在附近的右侧,函数单调递增(或减),则a为极小(或极大)值点,f(a)为极小(或极大)值.最值点作为一类特殊的极值点,如果函数在它的定义域区间上的图像是一条连续无间断的曲线,那么一定可得出函数在区间上最大值与最小值,将函数的极值点与区间端点处的函数值做比较,就可以判断出函数的最大值与最小值.4.2.2求导讨论函数极值最值的运用举例极值：对于一般函数首先确定函数的定义域,对函数进行求导得,在定义域内求方程的实数根即为驻点,判断在驻点左右两侧的符号,即：左负右正,函数在该点处取得的值为极大值,左正右负,则在该点处则取得极小值.其核心实质就是通过求导解方程得函数的驻点,根据驻点左右两侧导函数的正负.例3(2016年全国卷Ⅰ(理科))已知函数,求使得成为的极值点的值.[解]对函数求导得,因为为的极值点,即,可推出,若,令,求导恒,即递增;若时,由,可得,所以递减.综上,时,成为的极小值点.分析：首先对所给函数求导得,运用函数极值点与导数之间的关系,即：可导函数的极值点一定在导数的点处,因此可得,再通过验证导函数在极值点导函数为0的点即点左右两边的符号,得出在左负右正,确定为函数的极值点,即可得出,在运用求导解决函数极值问题时要明确可导函数的极值点一定在导数的点处,但导函数的点不一定是函数的极值点,也就是是为函数的极值点的必要条件,如果忽视证明其充分条件就会得到导函数为0直接得出,致使论证过程不严谨,然而正解是验证是为函数的极值点的充分条件,即导函数在两侧左负右正,因此,在解决此类问题中明确函数极值点与导函数为0这一条件的充分必要性时解题的关键.最值：方法一（利用函数单调性讨论函数最值）:对求导,探究在上的符号,从而得到原函数在区间(a,b)上的单调性；若函数在区间(a,b)内单调递增或递减则可根据函数大值图像得出最值在区间端点处取得.例4(2017年北京卷(文科))已知函数,求函数f(x)在区间的最大值和最小值.[解]函数的导函数为,当在区间内时,可得出,由此可判断在区间上是单调递减的;又因为,任意,都有即,可得在上单调递减.由此可判断出,函数在区间上有最大值为,最小值为.分析：对函数,求导后根据导函数,则函数在该区间内单调递增;导函数内,则函数在该区间内单调递减.判断出函数在区间上单调递减,函数图像在上从左到右是下降的,即可得出函数在区间上的最值.方法二：（将函数极值与区间端点的函数值进行比较）对求导,运用导数探究在上的符号,从而得到原函数的单调性,求出函数在区间内的极值,将函数在区间内的极值与区间两端的函数值进行比较,比较得出最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.例5（2016年北京卷模拟题）函数在闭区间上的最大值、最小值分别是.[解]函数求导为令,得函数区间在上,所以舍去又因为比较得函数的最大值为3,最小值为-17.分析：最值作为一类特殊的极值,运用求导结合最值进行求解,首先明确函数的定义域是在,对函数求导得,令得实数根,在定义域排除,在左侧为负,右侧为正,可得为在区间上的极大值,分别求出极大值点()、区间端点处()处的函数值,最后进行比较得出最大值、最小值,在采用求导比较法求最值时要根据题意的定义域考虑极值,如果忽略条件在内就会得到极小值为,然而正解是在区间内没有极小值.4.3运用导数的几何意义解决函数切线方程问题4.3.1导数的几何意义函数在点处的导数的几何意义也就是函数在处的切线的斜率;也就=f'x0=lim4.3.2利用导数几何意义求函数切线的运用举例熟练运用基本初等函数的导数公式以及导数的四则运算法则的前提运用导数法求函数切线首先要明确导数的几何意义与函数的关系即：切点处导数等于切线斜率,求切线需明确两个要素：切点坐标、切线斜率,根据题意切点、斜率情况不同有以下几种不同的解决方法.方法一：已知切点,对函数求导,切点处的导数值即为切线斜率,将切点与切线斜率代入点斜式方程得解.例6(2019年全国卷Ⅰ)曲线求曲线处的切线方程为.[解]求导得,曲线在处的斜率为=3,代入点斜式：,所以切线方程为分析：对函数求导,切点处的导数值即为切线斜率,也就是将切点横坐标代入导函数中,得出的导函数值即为切线斜率,将切点、斜率代入点斜式即可求出切线方程为,解题过程中要充分理解切点处的导函数值为切线斜率,如果忽略导函数就或者直接将切点横纵坐标都代入就会得到斜率,然而正解为=3.方法二：已知斜率,根据斜率等于切点导数值求出切点横坐标,从而得出切点,将切点与切线斜率代入点斜式方程得解.例7(2019年北京卷)已知函数,求曲线的切线斜率为1的切线方程.[解]函数求导得,切线斜率为1,即=1,解得,对应两个切点,代入直线方程为分析：对函数求导,运用切点处的导数值即为切线斜率,根据已知切线斜率求出切点坐标代入点斜式即可得出切线方程,需注意根据=1求解时所得的两个解要分情况求解,不能忽略其中任意一个.方法三：过某点的切线方程,对函数求导,假设切点坐标为,根据切点处的导数值即为切线斜率建立方程求出切点,再按方法一即可得出切线方程.例8(2019年江苏卷)直线l为曲线的切线,且l过点,则直线l的方程为.[解]函数求导得,设切点为,则有,解得,切线斜率为,因此直线l过点,斜率为,代入点斜式直线l为分析：求过某点的切线方程是求解此类问题的一大陷阱,运用方法一对函数求导,带点得出斜率的过程中要明确曲线过点,但这一点并不是切点,因此首先需要求出切点,再按方法一求解,如果忽略这一步,直接把点看做切点就会得到直线l的斜率不存在,然而正解是切点为,斜率为,因此在解决此类问题时要区分所给点是否为切点.4.4运用导数解决不等式问题4.4.1结合导数及原函数性质证明不等式对函数求导,运用导函数的正负判断函数的单调性,在运用导数解决函数不等式的理论依据移项构造出辅助函数,求导讨论构造函数的单调性,进一步明确构造函数的最值,若最小值大于0,则构造函数一定大于0；若最大值小于0,则构造函数一定小于04.4.2运用导数解决不等式问题运用举例在区间内,成立的充分条件是,时,,通过对需证明的不等式进行移项构造一个新函数,对构造函数求导,解方程求构造函数的最小值、讨论构造函数的单调性使不等式得证.例9（2016年北京卷）已知函数,求证：当时,恒有[解]求导得,时,,即在区间上递增；时,,即在区间上递减,在区间上的最大值为,,因此在这一区间内,即,,右边证毕.移项令,求导得,时,,即在区间上递减；时,,即在区间上递增函数在区间上的最小值为,在这一区间内即,左边证毕；综上可得当时,恒有分析：本题涉及双边函数,根据已知条件左右两边分开证明,首先将函数求导,讨论其单调性,根据函数单调性与函数最小值之间的关系：函数在某一区间内单项递增或递减则可根据函数大值图像得出最值在区间端点处取得得出函数的最大值小于0,则函数整体小于0,可得,得证；对于不等式的左边,通过移项构造新函数,求导讨论函数的单调性,得到函数在区间上的最小值为,则函数整体大于0,得证.在解决这类双边不等式的问题时采用将不等式左右两边分开证明,若忽略分类讨论思想,直接将不等式移项构造就会得到,或,后续求导讨论其最值难度很大.4.5利用导数与函数零点解决问题4.5.1导数与函数零点导数与函数零点的在高考中的运用主要涉及逆向运用零点个数求参数,函数的零点是指函数,把使的实数叫做函数的零点,从方程的角度来看函数的零点就是方程的实数根,也就是函数的图像与轴交点的横坐标.4.5.2运用导数与函数零点解决问题运用举例(函数零点个数逆运用)运用导数判断要求函数单调性,由零点的存在性定理即：如果函数的图像在区间上连续不断,且,则可得出函数在区间内有零点.即存在,使得,点即为方程的根.将定理逆运用结合求导讨论函数单调性,根据函数在某一区间两端点处的函数值异号可得函数在该区间上有零点.例10(2016年全国卷Ⅰ)已知函数有两个零点.(1)求的取值范围.[解]=1\*GB3①设,则,可得只有一个零点.=2\*GB3②设,则当时,;当时,,可得在上单调递减;在上单调递增,又,当取且,可得到,由此可得存在两个零点=3\*GB3③设,可得,若,可得,故若,则,所以在上单调递减,当时,,综上不存在两个零点;若,可得,由此可得当有;当有所以在单调递减,在单调递增,又,由此可得不存在两个零点.综上,a的取值范围为.分析：函数是含参函数,因此需对参数进行讨论,当时可得函数为,可直接根据函数的零点就是方程的实数根得出函数只有一个零点,不符合题意函数有两个零点;当时,对函数求导得,再判断函数单调性,据原函数可得出,假设且结合函数可得出,又因为在上单调递减;在上单调递增,即可得出函数有两个零点;当时,令导函数,得,对分情况讨论,当时,若单调递增,若,所以不存在两个零点;当时,对函数求导可得出所以在单调递减,在单调递增,且时,,即函数不存在两个零点;综上可得只有当时可得出函数有两个零点,故的取值范围为,在解题过程中首先要针对参数分三种情况讨论,如果忽略这一过程就会得到直接无法解出或缺少对这两种情况的讨论,导致丢分.5.小结本文根据高中课程教育教学的纲领性文件《普通高中数学课程标准(试验)》、高考试题的命制依据2020年普通高等学校招生统一考试理(文)科数学大纲的要求,将高中阶段所涉及的导数知识进行了汇总.以2016——2020年五年中的高考全国卷、北京卷、江苏卷为代表的导数知识在高考题中题型、分值等进行了梳理,对常考知识、分值比重、文理科考察的差