2025年河北省张家口市高考数学模拟试卷（一）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025年河北省张家口市高考数学模拟试卷（一）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合A={−2,−1,0,1}，B={y|y=x3,x∈A}，则A∩B=A.{0,1} B.{−1,0} C.{−1,0,1} D.{0}2.数据2，3，8，5，4，2的中位数和平均数分别为(

)A.3.5和2 B.3和4 C.4和2 D.3.5和43.若复数z满足zi=2−i1+i(i为虚数单位)，则|z|=A.22 B.2 C.4.从集合{1,2,3,…,8,9}中随机取出4个不同的数，并将其从大到小依次排列，则第二个数是7的概率为(

)A.110 B.310 C.5365.设α为钝角，若直线x+y+2=0与曲线C：x21+cosα+yA.52 B.2 C.16.已知抛物线C：x2=y的焦点为F，过点F的直线l交C于P1，P2两点，若l的一个方向向量为(1,tanα)，α∈(0,πA.1+cos2α B.1+sin2α7.已知定义在实数集上的函数f(x)满足以下条件：

①f(1+x)=f(1−x)；

②f(3+x)+f(3−x)=0；

③f(5)=1．

则f(1)+f(2)+…+f(2025)=(

)A.−1 B.0 C.1 D.28.在平面直角坐标系中，A(−1,0)，B(1,0)，C(x,y)，点F，H分别是△ABC的外心和垂心，若FH=1+m2−2mAB，则mA.(−∞,0) B.(−1,0) C.(−∞,12]二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.函数f(x)=12logA.0 B.1 C.2 D.410.已知球O的表面积为16π，点P，A，B，C均在球面上，且PA=PB=PC，AB=BC=CA=3，PA>AB，则(

)A.球O的半径为2

B.平面ABC截球面所得小圆的面积为3π

C.点P到平面ABC的距离为23

D.球体挖去四面体P−ABC11.如图，在平面直角坐标系中，曲线C为伯努利双纽线，其中F1(−c,0)，F2(c,0)为焦点，点P(x,y)为C上任意一点，且满足|PF1|⋅|PF2A.曲线C为中心对称图形和轴对称图形

B.若直线y=kx与曲线C恰有3个交点，则−12<k<12

C.曲线C在直线x=±2c与y=±12三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知数列{an}满足a1=2，an>0且13.已知函数f(x)=2(x−b)(x−2c)，0<b<2c<1，则f(0)⋅f(1)的取值范围是______．14.我国历史文化悠久，中国象棋就是国人喜闻乐见的一种娱乐方式.不同棋子行的规则各不相同：马走日字象走田，车走直路炮翻山，即“马”只能由“日”字格子的顶点沿“日”字的斜线走到相对的另一个顶点A1，A2，…，A8，如图1.请据此完成填空：如图2，假设一匹马从给定的初始位置出发，且规定其只能向“右前方走”，则其运动到点P所需的步数为______；该马运动到点P所有可能落点(包括点P)的个数为______．

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题15分)

如图，已知三棱锥P−ABC中，PA⊥PB，AC⊥BC，平面APB⊥平面ABC，∠PAB=30°，∠BAC=45°，AB=4．

(1)求点P到平面ABC的距离；

(2)若Q为AC的中点，求PQ与平面PBC所成角的正弦值．16.(本小题15分)

已知f(x)=lnx−a(x+1)，a∈R．

(1)若a=2，求曲线f(x)在x=1处的切线方程；

(2)若∃x0∈(0,2]，使f(x17.(本小题15分)

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A=2π3,7sin2B=3bcosB．

(1)若cosB=1314，求c；18.(本小题15分)

已知F1，F2分别为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，C为短轴的一个端点，△F1F2C是直角三角形．

(1)求椭圆E的离心率；

(2)若直线y=x−3恰好与椭圆E相切，求椭圆E的方程；

(3)在(2)的条件下，设直线19.(本小题17分)

某研究机构开发了一款智能机器人，该机器人通过交替学习不同技能Y，S，W来提升综合能力.初始时，机器人选择学习技能Y，且每次学习Y后会等可能地选择学习S或W；每次学习S后，有0.25的概率继续学习Y，0.75的概率学习W；每次学习W后，有0.25的概率继续学习Y，0.75的概率学习S.设an，bn，cn分别表示第n次学习后接着学习技能Y，S，W的概率．

(1)若机器人仅进行三次学习，求学习技能Y次数的分布列及其数学期望；

(2)求an及其最大值；

(3)已知xn=|5an−1|⋅2n−1，yn=2+4+…+2n，

z答案解析1.C

【解析】解：集合A={−2,−1,0,1}，B={y|y=x3,x∈A}={−8,−1,0,1}，

所以A∩B={−1,0,1}．

故选：C．

求出集合B2.D

【解析】解：将数据2，3，8，5，4，2按照从小到大的顺序排列为：

2，2，3，4，5，8，

∴中位数为12(3+4)=3.5，

平均数为16(2+2+3+4+5+8)=4，

∴数据2，3，8，5，4，2的中位数和平均数分别为3.5和4．

故选：D．3.C

【解析】解：由复数z满足zi=2−i1+i(i为虚数单位)，

可得z=2−ii(1+i)=2−i−1+i=(2−i)(−1−i)(−1+i)(−1−i)=−3−i4.D

【解析】解：从集合{1,2,3,…,8,9}中随机取出4个不同的数，并将其从大到小依次排列，

所有的情况有C94=126种，

第2个数为7的情况有C21C62=30，

∴第二个数是7的概率为305.B

【解析】解：因为α为钝角，所以−1<cosα<0，

联立x+y+2=0x21+cosα+y2cosα=1，

得：(1+2cosα)x2+4(1+cosα)x+4+3cosα−cos2α=0，

①当1+2cosα≠0，即cosα≠−12时，

因为直线x+y+2=0与曲线C：x21+cosα+y2cosα=1只有一个公共点，

所以Δ=16(1+cosα)2−4(1+2cosα)(4+3cosα−cos2α)=8cos3α−4cos2α−12cosα=0，

因为−1<cosα<0，所以2cos2α−cosα−3=0，解得cosα=32或cosα=−1，都不符合，舍去；6.C

【解析】解：已知抛物线C：x2=y的焦点为F，

则F(0,14)，

又过点F的直线l交C于P1，P2两点，若l的一个方向向量为(1,tanα)，α∈(0,π2)，

则l的方程为y=kx+14，其中k=tanα，

联立y=kx+14x2=y，

消y可得：x2−ky−14=0，

设P17.A

【解析】解：已知函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，

由②f(3+x)+f(3−x)=0可得f(x)=−f(6−x)，

由①f(1+x)=f(1−x)可得f(x)=f(2−x)，

因此f(x)=f(2−x)=−f(x+4)=f(x+8)，所以f(x)的周期为8，

f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7)+f(8)

=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(−1)+f(0)

=[f(1)+f(5)]+[f(2)+f(4)]+[f(6)+f(0)]+f(3)+f(−1)

=f(3)+f(−1)=2f(3)，

由于f(3)=0，

f(1)+f(2)+⋯+f(2025)

=f(1)+253[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7)+f(8)]

=−f(5)=−1．

故选：A．

根据对称性可得函数的周期为8，即可求解．

本题考查函数的周期性，属于中档题．8.A

【解析】解：由于A，B关于原点对称，故F在y轴上，

设C(x0,y0)，则BC中点为(x0+12,y02)，易知y0≠0，

因此直线BC的垂直平分线方程为y−y02=−x0−1y0(x−x0+12)，

令x=0，则y=x0−1y0(x0+12)+y02，

故F(0,x0−1y0(x0+12)+y02)，9.ACD

【解析】解：因为f(x)=12loga(−x)2−a|x|=12logax2−a|x|=12loga|x|2−a|x|=loga|x|−a|x|(a>1)，

所以函数f(x)定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，关于原点对称，

又因为f(−x)=loga|−x|−a|−x|=loga|x|−a|x|=f(x)(a>1)，

所以函数f(x)是偶函数，

当x>0时，函数f(x)=logax−ax(a>1)，

设直线y=x与y=logax(a>1)相切于点(x1,y1)，

直线y=x与y=ax(a>1)相切于点(x2,y2)，

对y=logax(a>1)求导得y′=1xlna(a>1)，

对y=ax(a>1)求导得y′=axlna(a>1)，

所以由导数几何意义有1x1lna=ax2lna=1，

即x1=1lna,ax2=1lna，

且y1=logax1=x1(a>1)，y2=ax2=x2(a>1)，

所以x1=1lna=logax1=ln10.AB

【解析】解：由已知条件，因为PA=PB=PC，AB=BC=CA=3，所以三棱锥P−ABC为正三棱锥，

点P，A，B，C均在球面上，所以球O为正三棱锥P−ABC的外接球，球心为O，

设底面三角形的中心为O1，则顶点P在底面ABC中的射影为底面正三角形ABC的中心O1，

外接球的球心O位于射线PO1上，两种可能的情况如图所示：

对于A，设球O的半径为R，

由球的表面积公式为4πR2=16π，解得半径

R=2，故选项A正确；

对于B，平面ABC是一个等边三角形，边长为3，

等边三角形的外接圆半径r=AB3=33=3，

即平面ABC截球面所得小圆的半径，

所以小圆面积为πr2=3π，故选项B正确；

对于C，球心到平面ABC的距离d=R2−r2=4−3=1，

点P到平面ABC的距离为ℎ=R+d=3(当球心O在线段PO1上时)，

或ℎ=R−d=1(当球心O位于PO1的延长线上时)，

当球心O位于PO1的延长线上时，ℎ=1，PA=r2+ℎ2=2<3=AB，

于PA>AB矛盾，舍去，

当球心O在线段PO1上时，ℎ=3，

PA=r2+ℎ2=3+9=23>3=AB，符合题意，

所以点P到平面ABC的距离为11.ACD

【解析】解：由于两个焦点F1(−c,0)，F2(c,0)关于原点对称，

设动点P(x,y)，根据题可得C的轨迹方程(x2+y2)2−2c2(x2−y2)=0，

把(x,y)关于y轴对称的点(−x,y)代入轨迹方程，

把(x,y)关于原点对称的点(−x,−y)代入轨迹方程，原方程均不变，所以A选项正确；

根据题意得直线y=kx与(x2+y2)2=2c2(x2−y2)一定有公共点(0,0)，

联立直线y=kx与(x2+y2)2=2c2(x2−y2)(x2+y2)2=2c2(x2−y2)y=kx，

可得x4(1+k2)2=2c2x2(1−k2)，

如果y=kx与曲线C有3个交点，那么方程除x=0外无解，

而x4(1+k2)2>0，2c2x2>0，那么1−k2>0即可，解得k∈(−1,1)，所以选项12.4−1【解析】解：由数列{an}满足a1=2，an>0且an+12−an2=12n+1，

题得an2=(an13.(0,1【解析】解：f(0)⋅f(1)=8bc(1−b)(1−2c)，

由于0<b<2c<1，故8bc(1−b)(1−2c)≤4×(b+2c2)2[(1−b)+(1−2c)2]2，当且仅当b=2c时等号成立，

又b+2c2×(1−b)+(1−2c)2≤[b+2c2+(1−b)+(1−2c)22]2=14，

当且仅当b+2c14.5

10

【解析】解：以“马”的初始位置为原点，棋盘的横竖两边为轴建立坐标系，

“马”每次只能按向量(1,2)或(2,1)行走，

设落点为(a,b)(0<a≤8,0<b≤9)，按上述两个向量前进的此时分别为x，y，

则x(1,2)+y(2,1)=(a,b)，

即(x+2y,2x+y)=(a,b)，

所以x+2y=a，2x+y=b，

解得x=2b−a3，y=2a−b3，x+y=a+b3，

第一空：由于a=7，b=8，所以x+y=7+83=5，

第二空：由于x≥0，y≥0，所以2a≥b，2b≥a，

又(a+b)为3的倍数，且只能往右前方前进，

所以当a+b=3时，此时对应的点有(1,2)，(2,1)，

当a+b=6时，此时对应的点有(2,4)，(4,2)，(3,3)，

当a+b=9时，此时对应的点有(3,6)，(4,5)，(5,4)，

当a+b=12时，此时对应的点有(5,7)，(6,6)，

综上可得，共有2+3+3+2=10种情况．

故答案为：5；10．

建立坐标系，根据每次行走只能按向量15.解：(1)过P作PO⊥AB，PO∩AB=O，

因为平面APB⊥平面ABC，平面APB∩平面ABC=AB，PO⊂平面APB，

所以PO⊥平面ABC，

因为PA⊥PB，AB=4，∠PAB=30°，

所以PB=2,PA=16−4=23，

在直角三角形PAB中，S△PAB=12PB×PA=12AB×PO，所以PO=3，

所以点P到平面ABC的距离为3；

(2)因为AC⊥BC，过C作PO的平行线为z轴，以CA，CB所在直线分别为x，y轴建立直角坐标系，

在△ABC中，AC⊥BC，∠BAC=45°，AB=4，所以AC=BC=22，

在直角三角形PAB中，因为PA⊥PB，AB=4，∠PAB=30°，

所以PB=2,PA=16−4=23，

所以PO=3,OA=3,OB=1，

所以P(22,322,3),B(0,22,0)，A(22,0,0),C(0,0,0),Q(2【解析】(1)先由平面APB⊥平面ABC，应用面面垂的性质定理得出PO⊥平面ABC，再结合边长关系应用S△PAB=12PB×PA=12AB×PO16.解：(1)a=2时，函数f(x)=lnx−2(x+1)，

因此f(1)=−4,f′(x)=1x−2，因此切线斜率k=f′(1)=−1，

因此函数f(x)在x=1处的切线方程为y−(−4)=−1×(x−1)即x+y+3=0．

(2)由于∃x0∈(0,2]，使得f(x0)>0，所以lnx0−a(x0+1)>0，

因此a<lnx0x0+1，令函数g(x)=lnxx+1,x∈(0,2],

那么导函数g′(x)=1+1x−lnx(x+1)【解析】(1)由题意结合导数依次求出f(1)，f′(1)即可由直线点斜式方程求解；

(2)先由f(x0)>0，得到a<lnx0x17.解：在△ABC中，A=2π3，可得B∈(0,π3)，cosB>0，

由7sin2B=3bcosB，得14sinBcosB=3bcosB，可得bsinB=1433．

(1)若cosB=1314，则sinB=1−cos2B=3314(舍负)，

可得sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=32×1314−12×3314=5314，

根据正弦定理bsinB=csinC=143【解析】(1)由cosB=1314，结合同角三角函数的关系算出cosB，然后根据两角和的正弦公式与诱导公式求出sinC，结合正弦定理列式算出边c的值；

(2)根据正弦定理求出边a，然后根据三角形中线的性质得出AD2=14(18.解：(1)设椭圆半焦距为c，则F1(−c,0)，F2(c,0)，不妨设C(0,b)，

由于△F1F2C是直角三角形，所以b=c，结合a2−b2=c2，

解得a=2b=2c，故e=ca=22，

即椭圆E的离心率为22．

(2)由a=2b=2c可得椭圆方程为x22b2+y2b2=1，

联立y=x−3x22b2+y2b2=1，消去y得3x2−12x+18−2b2=0，

因为直线y=x−3恰好与椭圆E相切，故Δ=122−4×3(18−2b2)=0，解得b2=3，

所以椭圆方程为x26+y23=1．

(3)将点A(2,1)代入椭圆C的方程得46+13=1，所以点A在椭圆C上，

当直线MN斜率存在时，设直线方程为y=kx+m，

联立y=