不等关系与不等式-教学设计

不等关系与不等式——教学设计一、教学目标1.知识与技能目标了解现实世界和日常生活中的不等关系，会用不等式（组）表示不等关系。理解不等式的性质，能运用不等式的性质比较大小、证明不等式。2.过程与方法目标通过具体情境，让学生感受不等关系在生活中的广泛应用，培养学生观察、分析和归纳的能力。经历不等式性质的探究过程，体会类比、猜想、验证等数学思想方法，提高学生的逻辑推理能力。3.情感态度与价值观目标通过实际问题的解决，让学生体会数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。在探究活动中，培养学生勇于探索、敢于创新的精神，增强学生学好数学的信心。

二、教学重难点1.教学重点用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，理解不等式的性质。运用不等式的性质解决相关问题，如比较大小、证明不等式。2.教学难点如何引导学生把实际问题转化为数学问题，用不等式（组）准确表示不等关系。不等式性质的应用，特别是在证明不等式时的逻辑推理过程。

三、教学方法1.讲授法：讲解不等关系的概念、不等式的表示方法以及不等式的性质等基础知识，使学生系统地掌握所学内容。2.讨论法：组织学生对实际问题进行讨论，引导学生分析问题、找出不等关系，培养学生的合作交流能力和思维能力。3.探究法：通过设置探究活动，让学生自主探究不等式的性质，培养学生的探究能力和创新精神。4.练习法：安排适量的练习题，让学生及时巩固所学知识，提高运用不等式性质解决问题的能力。

四、教学过程

（一）导入新课（5分钟）1.展示一组生活中的图片，如高楼大厦、汽车限速标志、商品价格标签等，引导学生观察图片中的信息，找出其中的不等关系。2.提问：在日常生活中，你还能发现哪些不等关系？请举例说明。3.引出课题：不等关系与不等式。

（二）新课讲授1.不等关系的表示（10分钟）实例分析例1：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量$f$应不少于$2.5\%$，蛋白质的含量$p$应不少于$2.3\%$，用不等式表示上述关系。引导学生分析题目中的关键信息，得出不等式组：$\begin{cases}f\geq2.5\%\\p\geq2.3\%\end{cases}$例2：某种杂志原以每本$2.5$元的价格销售，可以售出$8$万本。据市场调查，若单价每提高$0.1$元，销售量就可能相应减少$2000$本。若把提价后杂志的定价设为$x$元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于$20$万元呢？分析：提价后杂志的定价为$x$元，则每本杂志的利润为$(x2.5)$元，销售量为$8\frac{x2.5}{0.1}×0.2$万本。得出不等式：$(x2.5)(8\frac{x2.5}{0.1}×0.2)\geq20$归纳总结引导学生总结用不等式表示不等关系的步骤：找出题目中的不等量关系；设出适当的变量；用不等式表示不等关系。2.不等式的性质（25分钟）探究不等式的性质让学生回顾等式的性质，然后通过类比等式的性质，探究不等式的性质。给出以下问题：已知$a\gtb$，那么$a+c$与$b+c$哪个大？$ac$与$bc$呢？已知$a\gtb$，$c\gt0$，那么$ac$与$bc$哪个大？已知$a\gtb$，$c\lt0$，那么$ac$与$bc$哪个大？学生分组进行探究活动，通过举例、计算、讨论等方式得出结论。各小组代表汇报探究结果，教师进行总结和点评，得出不等式的性质：性质1：如果$a\gtb$，那么$a+c\gtb+c$，$ac\gtbc$。（不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。）性质2：如果$a\gtb$，$c\gt0$，那么$ac\gtbc$。（不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。）性质3：如果$a\gtb$，$c\lt0$，那么$ac\ltbc$。（不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。）性质的证明对于不等式的性质1，教师进行如下证明：已知$a\gtb$，要证明$a+c\gtb+c$。因为$a\gtb$，所以$ab\gt0$。那么$(a+c)(b+c)=a+cbc=ab\gt0$，即$a+c\gtb+c$。同理可证$ac\gtbc$。对于不等式的性质2和性质3，让学生仿照性质1的证明方法进行证明，然后请学生上台展示证明过程，教师进行点评和完善。性质的应用例3：比较$(a+3)(a5)$与$(a+2)(a4)$的大小。分析：要比较两个式子的大小，可以通过作差法来进行。解：$(a+3)(a5)(a+2)(a4)$$=(a^22a15)(a^22a8)$$=a^22a15a^2+2a+8$$=7\lt0$所以$(a+3)(a5)\lt(a+2)(a4)$。例4：已知$a\gtb\gt0$，$c\ltd\lt0$，求证：$\frac{a}{d}\lt\frac{b}{c}$。分析：要证明$\frac{a}{d}\lt\frac{b}{c}$，可以通过对不等式进行变形，然后利用不等式的性质来证明。证明：因为$c\ltd\lt0$，所以$c\gtd\gt0$。又因为$a\gtb\gt0$，所以$ac\gtbd\gt0$。两边同时除以$cd$（因为$cd\gt0$），得$\frac{a}{d}\lt\frac{b}{c}$。

（三）课堂练习（15分钟）1.用不等式表示下列关系：$x$的$3$倍与$5$的差大于$1$；$y$的$\frac{1}{2}$与$3$的和小于$y$；$a$与$b$的和是非负数。2.比较下列各组中两个代数式的大小：$x^2+3$与$3x$；已知$x\gt1$，比较$x^3$与$x^2x+1$的大小。3.已知$a\gtb$，$c\gtd$，求证：$a+c\gtb+d$。

（四）课堂小结（5分钟）1.引导学生回顾本节课所学内容，包括不等关系的表示、不等式的性质以及性质的应用等。2.请学生分享本节课的学习收获和体会，教师进行总结和补充。

（五）布置作业1.书面作业：教材P74练习第2、3、4题，习题3.1A组第1、2、3题。2.拓展作业：已知$a\gtb\gt0$，$m\gt0$，比较$\frac{b}{a}$与$\frac{b+m}{a+m}$的大小，并说明理由。若$x\gt0$，$y\gt0$，且$x+y=1$，求$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$的最小值。

五、教学反思通过本节课的教学，学生对不等关系与不等式有了初步的认识和理解。在教学过程中，通过实际问题的引入，让学生感受到了数学与生活的紧密联系，提高了学生学习数学的兴趣。在探究不等式性质的过程中，引导学生通过类比、猜想、验证等方法，培养了学生的探究能力和逻辑推理能力。然而，在教学过程中也发现了一些不足之处，例如在讲解用不等式表