整数指数幂教学设计

整数指数幂教学设计一、教学目标1.知识与技能目标理解整数指数幂的意义，掌握整数指数幂的运算性质，并能运用这些性质进行整数指数幂的运算。能将科学记数法推广到负整数指数幂的形式，会用科学记数法表示绝对值小于1的数。2.过程与方法目标通过回顾正整数指数幂的运算性质，类比探究整数指数幂的运算性质，培养学生的类比推理能力和知识迁移能力。在运用整数指数幂运算性质进行计算的过程中，提高学生的运算能力，体会化归与转化的数学思想。3.情感态度与价值观目标通过对整数指数幂的学习，让学生感受数学知识的系统性和完整性，培养学生严谨的治学态度。在探究活动中，激发学生的学习兴趣，增强学生学好数学的信心，培养学生勇于探索的精神。

二、教学重难点1.教学重点整数指数幂的意义和运算性质。用科学记数法表示绝对值小于1的数。2.教学难点对整数指数幂意义的理解，特别是负整数指数幂的意义。整数指数幂运算性质的灵活运用，尤其是在底数是分数或负数时的运算。

三、教学方法讲授法、讨论法、练习法相结合

四、教学过程

（一）导入新课（5分钟）1.复习回顾引导学生回顾正整数指数幂的意义和运算性质。提问：$a^n$（$n$为正整数）表示什么意义？同底数幂的乘法、除法、幂的乘方、积的乘方的运算性质分别是什么？让学生回答，教师板书：$a^n=\underbrace{a\cdota\cdot\cdots\cdota}_{n个a}$（$n$为正整数）同底数幂的乘法：$a^m\cdota^n=a^{m+n}$（$m$，$n$都是正整数）同底数幂的除法：$a^m\diva^n=a^{mn}$（$a\neq0$，$m$，$n$都是正整数，且$m>n$）幂的乘方：$(a^m)^n=a^{mn}$（$m$，$n$都是正整数）积的乘方：$(ab)^n=a^nb^n$（$n$为正整数）2.情境引入展示问题：一个纳米粒子的直径是35纳米，它等于多少米？引导学生思考：已知1纳米=$10^{9}$米，那么35纳米可以表示为$35\times10^{9}$米。这里出现了负指数幂，它表示什么意义呢？这就是我们本节课要学习的内容整数指数幂。

（二）探究新知（20分钟）1.负整数指数幂的意义引导学生思考：对于$a^m\diva^n=a^{mn}$（$a\neq0$，$m$，$n$都是正整数，且$m>n$），当$m=n$时，$a^m\diva^n=a^{mn}$会变成什么形式？当$m<n$时又该如何表示呢？让学生分组讨论，然后每组派代表发言。教师总结：当$m=n$时，$a^m\diva^n=a^{mn}=a^0$，而$a^m\diva^n=1$（$a\neq0$），所以规定$a^0=1$（$a\neq0$），即任何非零数的0次幂都等于1。当$m<n$时，例如$m=3$，$n=5$，$a^3\diva^5=\frac{a^3}{a^5}=\frac{1}{a^2}$，而根据同底数幂的除法法则$a^3\diva^5=a^{35}=a^{2}$，所以规定$a^{2}=\frac{1}{a^2}$（$a\neq0$）。一般地，当$n$是正整数时，$a^{n}=\frac{1}{a^n}$（$a\neq0$），这就是负整数指数幂的意义。即一个非零数的$n$次幂等于这个数的$n$次幂的倒数。2.整数指数幂的运算性质引导学生类比正整数指数幂的运算性质，思考整数指数幂（包括正整数指数幂、0指数幂和负整数指数幂）是否也满足这些性质。让学生分组验证同底数幂的乘法、除法、幂的乘方、积的乘方的运算性质对于整数指数幂是否仍然成立。各小组汇报验证结果，教师进行总结：同底数幂的乘法：$a^m\cdota^n=a^{m+n}$（$m$，$n$为整数）同底数幂的除法：$a^m\diva^n=a^{mn}$（$a\neq0$，$m$，$n$为整数）幂的乘方：$(a^m)^n=a^{mn}$（$m$，$n$为整数）积的乘方：$(ab)^n=a^nb^n$（$n$为整数）通过具体例子让学生进一步理解这些性质的应用，例如：计算$2^3\times2^{5}$解：$2^3\times2^{5}=2^{3+(5)}=2^{2}=\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4}$计算$(3^{2})^3$解：$(3^{2})^3=3^{2\times3}=3^{6}=\frac{1}{3^6}$计算$(2x^{3}y^2)^3$解：$(2x^{3}y^2)^3=2^3\cdot(x^{3})^3\cdot(y^2)^3=8x^{9}y^6=\frac{8y^6}{x^9}$

（三）科学记数法（15分钟）1.复习科学记数法表示较大的数提问：什么是科学记数法？如何用科学记数法表示一个较大的数？让学生回答，教师总结：把一个大于10的数表示成$a\times10^n$的形式（其中$a$是整数数位只有一位的数，$n$是正整数），这种记数方法叫做科学记数法。例如：$5670000=5.67\times10^6$2.探究科学记数法表示绝对值小于1的数引导学生思考：对于绝对值小于1的数，能否也用科学记数法表示呢？让学生观察$0.00000567=5.67\times10^{6}$，分析其表示方法与科学记数法表示较大数的联系与区别。教师总结：用科学记数法表示绝对值小于1的数时，一般形式为$a\times10^{n}$，其中$1\leq|a|<10$，$n$为正整数，$n$等于原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数。通过更多例子让学生巩固用科学记数法表示绝对值小于1的数，例如：$0.000034=3.4\times10^{5}$$0.000000123=1.23\times10^{7}$

（四）课堂练习（15分钟）1.基础练习计算：$3^{2}$解：$3^{2}=\frac{1}{3^2}=\frac{1}{9}$$(2)^{3}$解：$(2)^{3}=\frac{1}{(2)^3}=\frac{1}{8}$$a^{2}\cdota^3$解：$a^{2}\cdota^3=a^{2+3}=a$$(a^{3})^2$解：$(a^{3})^2=a^{3\times2}=a^{6}=\frac{1}{a^6}$用科学记数法表示下列各数：$0.00000072$解：$0.00000072=7.2\times10^{7}$$0.0000305$解：$0.0000305=3.05\times10^{5}$2.提高练习计算：$(2x^3y^{2})^3\div(x^{2}y)^2$解：先计算幂的乘方：$(2x^3y^{2})^3=2^3\cdot(x^3)^3\cdot(y^{2})^3=8x^9y^{6}$$(x^{2}y)^2=(x^{2})^2\cdoty^2=x^{4}y^2$再计算除法：$(2x^3y^{2})^3\div(x^{2}y)^2=8x^9y^{6}\divx^{4}y^2$根据同底数幂的除法法则：$8x^9y^{6}\divx^{4}y^2=8x^{9(4)}y^{62}=8x^{13}y^{8}=\frac{8x^{13}}{y^8}$已知$a=3^{1}$，$b=(\frac{1}{2})^0$，$c=(3)^2$，求$a^2+b^2c^2$的值。解：先分别计算$a$，$b$，$c$的值：$a=3^{1}=\frac{1}{3}$$b=(\frac{1}{2})^0=1$$c=(3)^2=9$再代入求值：$a^2+b^2c^2=(\frac{1}{3})^2+1^29^2$$=\frac{1}{9}+181$$=\frac{1+9729}{9}$$=\frac{719}{9}$

（五）课堂小结（5分钟）1.引导学生回顾提问：本节课我们学习了哪些内容？让学生思考后回答，教师进行总结：整数指数幂的意义，包括正整数指数幂、0指数幂和负整数指数幂。整数指数幂的运算性质，同底数幂的乘法、除法、幂的乘方、积的乘方的运算性质对于整数指数幂仍然成立。用科学记数法表示绝对值小于1的数。2.强调重点难点强调整数指数幂意义的理解，特别是负整数指数幂的意义，以及整数指数幂运算性质的灵活运用。提醒学生注意科学记数法表示绝对值小于1的数时$a$的取值范围和$n$的确定方法。

（六）布置作业（5分钟）1.书面作业教材课后习题第[X]题、第[X]题、第[X]题。让学生巩固课堂所学知识，加深对整数指数幂的理解和运用。2.拓展作业已知$x+x^{1}=3$，求$x^2+x^{2}$的值。鼓励学有余力的学生进一步拓展思维，提高综合运用知识的能力。

五、教学反思通过本节课的教学，学生对整数指数幂的意义和运算性质有了较为系统的认识，能够运用这些知识进行简单的计算，并学会了用科学记数法表