复合函数的导数教案

复合函数的导数教案一、教学目标1.知识与技能目标理解复合函数的概念，能正确分析复合函数的复合过程。掌握复合函数的求导法则，能熟练运用法则求复合函数的导数。2.过程与方法目标通过复合函数求导法则的推导过程，培养学生的逻辑推理能力和数学运算能力。经历从简单到复杂、从具体到抽象的认知过程，让学生体会化归与转化的数学思想。3.情感态度与价值观目标通过探究复合函数求导法则，激发学生的学习兴趣和探索精神。培养学生严谨的治学态度和勇于创新的品质，增强学生学习数学的自信心。

二、教学重难点1.教学重点复合函数的概念及复合过程的分析。复合函数求导法则的理解与应用。2.教学难点正确分析复合函数的复合结构，准确运用求导法则求导。复合函数求导法则的推导过程及对法则中各部分含义的理解。

三、教学方法1.讲授法：系统讲解复合函数的概念、复合过程分析及求导法则，使学生形成清晰的知识框架。2.直观演示法：通过具体函数实例，直观展示复合函数的构成及求导过程，帮助学生理解抽象概念。3.讨论法：组织学生讨论复合函数的复合结构及求导方法，激发学生的思维，培养学生的合作交流能力。4.练习法：安排适量的练习题，让学生在练习中巩固所学知识，提高运用复合函数求导法则解决问题的能力。

四、教学过程

（一）导入新课（5分钟）1.复习回顾提问学生基本初等函数的求导公式，如\((x^n)^\prime=nx^{n1}\)，\((\sinx)^\prime=\cosx\)，\((\cosx)^\prime=\sinx\)，\((e^x)^\prime=e^x\)，\((\lnx)^\prime=\frac{1}{x}\)等。请学生求函数\(y=2x^3+3x^24x+5\)的导数，引导学生回顾求导的基本运算规则。2.引入新课展示函数\(y=\sin(2x+1)\)，提问学生它是否为基本初等函数。学生回答不是后，进一步提问：那它是由哪些函数复合而成的呢？从而引出本节课的主题复合函数的导数。

（二）讲授新课（25分钟）1.复合函数的概念结合实例\(y=\sin(2x+1)\)，讲解复合函数的概念：一般地，对于两个函数\(y=f(u)\)和\(u=g(x)\)，如果通过变量\(u\)，\(y\)可以表示成\(x\)的函数，那么称这个函数为函数\(y=f(u)\)与\(u=g(x)\)的复合函数，记作\(y=f(g(x))\)。强调复合函数的构成特点：由两个或多个基本初等函数通过"嵌套"的方式组合而成。再举几个复合函数的例子，如\(y=(2x3)^5\)，\(y=e^{x^2+1}\)，\(y=\ln(3x2)\)等，让学生分析它们的复合过程，即分别找出\(f(u)\)和\(g(x)\)。对于\(y=(2x3)^5\)，\(f(u)=u^5\)，\(u=2x3\)；对于\(y=e^{x^2+1}\)，\(f(u)=e^u\)，\(u=x^2+1\)；对于\(y=\ln(3x2)\)，\(f(u)=\lnu\)，\(u=3x2\)。2.复合函数的求导法则以\(y=\sin(2x+1)\)为例推导复合函数求导法则。设\(u=2x+1\)，则\(y=\sinu\)。先对\(y\)关于\(u\)求导，\(y^\prime_u=(\sinu)^\prime=\cosu\)；再对\(u\)关于\(x\)求导，\(u^\prime_x=(2x+1)^\prime=2\)。根据复合函数的求导法则\(y^\prime_x=y^\prime_u\cdotu^\prime_x\)，可得\(y^\prime_x=\cos(2x+1)\cdot2=2\cos(2x+1)\)。总结复合函数求导法则：复合函数\(y=f(g(x))\)的导数和函数\(y=f(u)\)，\(u=g(x)\)的导数间的关系为\(y^\prime_x=y^\prime_u\cdotu^\prime_x\)，即\(y\)对\(x\)的导数等于\(y\)对\(u\)的导数与\(u\)对\(x\)的导数的乘积。强调法则的理解要点：要明确复合函数的复合结构，准确找到中间变量\(u\)。分别求\(y\)对\(u\)的导数\(y^\prime_u\)和\(u\)对\(x\)的导数\(u^\prime_x\)，然后将它们相乘。通过具体例子进一步说明法则的应用。例1：求\(y=(2x3)^5\)的导数。解：设\(u=2x3\)，则\(y=u^5\)。\(y^\prime_u=5u^4\)，\(u^\prime_x=2\)。所以\(y^\prime_x=y^\prime_u\cdotu^\prime_x=5(2x3)^4\cdot2=10(2x3)^4\)。例2：求\(y=e^{x^2+1}\)的导数。解：设\(u=x^2+1\)，则\(y=e^u\)。\(y^\prime_u=e^u\)，\(u^\prime_x=2x\)。所以\(y^\prime_x=y^\prime_u\cdotu^\prime_x=e^{x^2+1}\cdot2x=2xe^{x^2+1}\)。例3：求\(y=\ln(3x2)\)的导数。解：设\(u=3x2\)，则\(y=\lnu\)。\(y^\prime_u=\frac{1}{u}\)，\(u^\prime_x=3\)。所以\(y^\prime_x=y^\prime_u\cdotu^\prime_x=\frac{1}{3x2}\cdot3=\frac{3}{3x2}\)。

（三）课堂练习（15分钟）1.求下列函数的导数\(y=\cos(3x\frac{\pi}{4})\)\(y=(x^2+2x)^3\)\(y=e^{2x+1}\)\(y=\ln(5x+1)\)2.已知函数\(y=f(2x+1)\)的导数为\(y^\prime=4x+2\)，求\(f^\prime(x)\)。

（四）课堂小结（5分钟）1.学生总结：请学生回顾本节课所学内容，包括复合函数的概念、复合过程的分析方法以及复合函数的求导法则。2.教师补充：强调复合函数概念的关键在于准确识别中间变量，这是正确运用求导法则的基础。复合函数求导法则是本节课的重点，要牢记\(y^\prime_x=y^\prime_u\cdotu^\prime_x\)，并通过大量练习熟练掌握。提醒学生在求导过程中要注意运算的准确性，尤其是对基本初等函数求导公式的运用。

（五）布置作业（5分钟）1.书面作业教材课后习题中相关题目，如求\(y=\sin(4x+3)\)，\(y=(3x^22x+1)^4\)，\(y=e^{x^31}\)，\(y=\ln(2x^2+3x)\)的导数等。已知\(y=f(3x1)\)的导数为\(y^\prime=9x^26x+2\)，求\(f^\prime(x)\)。2.拓展作业思考复合函数求导法则与链式法则的联系与区别（可查阅资料）。尝试用复合函数求导法则解决生活中的一些简单优化问题（如成本最小化、利润最大化等），下节课进行交流分享。

五、教学反思通过本节课的教学，学生对复合函数的概念和求导法则有了初步的理解和掌握。在教学过程中，利用实例引入复合函数概念，帮助学生直观感受