二元一次方程组小结与复习教学设计

二元一次方程组小结与复习教学设计一、教学目标1.知识与技能目标学生能够系统地掌握二元一次方程组的相关概念，包括二元一次方程、二元一次方程组及其解的定义。熟练运用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组，并能正确地检验方程组的解。学会运用二元一次方程组解决实际问题，提高分析问题和解决问题的能力，能准确找出实际问题中的等量关系，列出方程组并求解。2.过程与方法目标通过对二元一次方程组知识的系统梳理，培养学生的归纳总结能力，使其学会构建知识体系。在复习解题过程中，进一步提高学生的运算能力、逻辑推理能力和数学思维能力，让学生体会消元的数学思想方法。通过实际问题的解决，增强学生将数学知识应用于实际生活的意识，提高学生的数学建模能力。3.情感态度与价值观目标让学生在复习过程中体验数学知识的系统性和连贯性，感受数学的严谨性和科学性，激发学生学习数学的兴趣。通过小组合作交流，培养学生的合作意识和团队精神，让学生在交流中互相学习、共同进步。鼓励学生积极参与课堂活动，勇于发表自己的见解，增强学生学习数学的自信心，培养学生勇于探索和创新的精神。

二、教学重难点1.教学重点二元一次方程组的解法，包括代入消元法和加减消元法。利用二元一次方程组解决实际问题，准确找出实际问题中的等量关系并列出方程组。2.教学难点灵活运用消元法解二元一次方程组，根据方程组的特点选择合适的消元方法。如何引导学生从实际问题中抽象出数学模型，找出等量关系，列出二元一次方程组。

三、教学方法1.讲授法：通过系统的讲解，帮助学生梳理二元一次方程组的知识体系，明确重点和难点。2.练习法：安排适量的练习题，让学生在练习中巩固所学知识，提高解题能力。3.小组合作学习法：组织学生进行小组合作交流，共同探讨问题、解决问题，培养学生的合作意识和团队精神。4.案例分析法：通过实际问题的案例分析，引导学生学会将实际问题转化为数学问题，提高学生的数学建模能力。

四、教学过程

（一）知识回顾1.二元一次方程的定义引导学生回顾二元一次方程的定义：含有两个未知数（x和y），并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。举例说明：如\(2x+3y=5\)，\(xy=1\)等都是二元一次方程。提问学生：方程\(x^2+y=3\)是二元一次方程吗？为什么？通过这个问题加深学生对二元一次方程定义中"次数都是1"这一条件的理解。2.二元一次方程组的定义回顾二元一次方程组的定义：把两个含有相同未知数的二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。举例：\(\begin{cases}2x+y=7\\x2y=1\end{cases}\)就是一个二元一次方程组。让学生判断\(\begin{cases}x+y=3\\xy=2\end{cases}\)是否为二元一次方程组，为什么？引导学生理解二元一次方程组中方程必须是整式方程这一条件。3.二元一次方程组的解讲解二元一次方程组的解的定义：一般地，使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。例如，对于方程组\(\begin{cases}x+y=3\\xy=1\end{cases}\)，\(x=2\)，\(y=1\)就是它的解，因为当\(x=2\)，\(y=1\)时，两个方程都成立。让学生思考：方程组的解与一元一次方程的解有什么不同？通过对比加深学生对方程组解的概念的理解。

（二）解法复习1.代入消元法回顾代入消元法的步骤：从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来。把（1）中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数。解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值。把所求得的一个未知数的值代入（1）中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解。以方程组\(\begin{cases}y=2x3\\3x+2y=8\end{cases}\)为例进行讲解：第一步，由方程\(y=2x3\)可知\(y\)已经用\(x\)表示出来了。第二步，将\(y=2x3\)代入方程\(3x+2y=8\)中，得到\(3x+2(2x3)=8\)。第三步，解这个一元一次方程：展开式子得\(3x+4x6=8\)。移项合并同类项得\(7x=14\)，解得\(x=2\)。第四步，把\(x=2\)代入\(y=2x3\)，得\(y=2×23=1\)。所以方程组的解为\(\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}\)。让学生练习：用代入消元法解方程组\(\begin{cases}x+y=5\\2xy=1\end{cases}\)，请一名学生上台板演，教师巡视指导，及时纠正学生在解题过程中出现的错误。2.加减消元法回顾加减消元法的步骤：把方程组的两个方程中某个未知数的系数变成绝对值相等的形式。把变形后的两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。解这个一元一次方程，求得一个未知数的值。把所求得的一个未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解。以方程组\(\begin{cases}3x+2y=10\\2x5y=1\end{cases}\)为例进行讲解：第一步，为了消去\(y\)，给方程\(3x+2y=10\)两边同时乘以5，给方程\(2x5y=1\)两边同时乘以2，得到\(\begin{cases}15x+10y=50\\4x10y=2\end{cases}\)。第二步，将两个方程相加，消去\(y\)，得到\((15x+10y)+(4x10y)=50+2\)，即\(19x=52\)。第三步，解这个一元一次方程得\(x=\frac{52}{19}\)。第四步，把\(x=\frac{52}{19}\)代入方程\(3x+2y=10\)，得\(3×\frac{52}{19}+2y=10\)。先计算\(3×\frac{52}{19}=\frac{156}{19}\)，则\(\frac{156}{19}+2y=10\)。移项得\(2y=10\frac{156}{19}\)。通分计算\(2y=\frac{190}{19}\frac{156}{19}=\frac{34}{19}\)，解得\(y=\frac{17}{19}\)。所以方程组的解为\(\begin{cases}x=\frac{52}{19}\\y=\frac{17}{19}\end{cases}\)。让学生练习：用加减消元法解方程组\(\begin{cases}4x+3y=1\\3x2y=18\end{cases}\)，同桌之间互相检查，交流解题思路和方法。

（三）典例剖析1.例1：解方程组\(\begin{cases}2x+3y=12\\3x+4y=17\end{cases}\)引导学生分析：观察方程组中两个方程的系数，发现直接用代入消元法不太方便，考虑使用加减消元法。解法：给方程\(2x+3y=12\)两边同时乘以3，得到\(6x+9y=36\)。给方程\(3x+4y=17\)两边同时乘以2，得到\(6x+8y=34\)。用第一个方程减去第二个方程消去\(x\)，可得：\((6x+9y)(6x+8y)=3634\)，即\(y=2\)。把\(y=2\)代入\(2x+3y=12\)，得\(2x+3×2=12\)。化简得\(2x+6=12\)，移项得\(2x=6\)，解得\(x=3\)。所以方程组的解为\(\begin{cases}x=3\\y=2\end{cases}\)。总结：在解方程组时，要根据方程组的特点选择合适的消元方法，通过适当的变形使消元过程更加简便。2.例2：已知方程组\(\begin{cases}ax+by=7\\bx+ay=8\end{cases}\)的解是\(\begin{cases}x=2\\y=3\end{cases}\)，求\(a\)、\(b\)的值。引导学生分析：将方程组的解代入原方程组中，得到关于\(a\)、\(b\)的新方程组，然后求解。解法：把\(\begin{cases}x=2\\y=3\end{cases}\)代入方程组\(\begin{cases}ax+by=7\\bx+ay=8\end{cases}\)，得到\(\begin{cases}2a+3b=7\\2b+3a=8\end{cases}\)。给方程\(2a+3b=7\)两边同时乘以2，得到\(4a+6b=14\)。给方程\(2b+3a=8\)两边同时乘以3，得到\(6b+9a=24\)。用第二个方程减去第一个方程消去\(b\)，可得：\((6b+9a)(4a+6b)=2414\)，即\(5a=10\)，解得\(a=2\)。把\(a=2\)代入\(2a+3b=7\)，得\(2×2+3b=7\)。化简得\(4+3b=7\)，移项得\(3b=3\)，解得\(b=1\)。所以\(a=2\)，\(b=1\)。总结：此类题目关键是理解方程组解的概念，将解代入原方程组转化为新的方程组求解。

（四）实际问题应用1.例3：某班有学生45人，会下象棋的人数是会下围棋人数的3.5倍，两种棋都会及两种棋都不会的人数都是5人，求只会下围棋的人数。引导学生分析：设会下围棋的有\(x\)人，会下象棋的有\(y\)人。等量关系为：会下象棋的人数+会下围棋的人数两种棋都会的人数+两种棋都不会的人数=总人数。解法：根据题意列方程组\(\begin{cases}y=3.5x\\x+y5+5=45\end{cases}\)。化简第二个方程得\(x+y=45\)。将\(y=3.5x\)代入\(x+y=45\)，得\(x+3.5x=45\)。合并同类项得\(4.5x=45\)，解得\(x=10\)。那么只会下围棋的人数=会下围棋的人数两种棋都会的人数，即\(105=5\)人。总结：解决实际问题的关键是找出等量关系，设出合适的未知数，列出方程组求解。2.练习：某工厂去年的利润（总产值总支出）为200万元，今年总产值比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元，去年的总产值、总支出各是多少万元？让学生先独立思考，找出等量关系，设未知数，列出方程组。然后小组内交流讨论，互相检查解题过程。最后请小组代表发言，展示解题思路和结果。教师进行点评和总结，强调在解决经济问题时要注意理清各种数量关系。

（五）课堂小结1.引导学生回顾本节课所学内容，包括二元一次方程、二元一次方程组及其解的定义，代入消元法和加减消元法解方程组的步骤，以及如何利用二元一次方程组解决实际问题。2.让学生谈谈自己在本节课中的收获和体会，以及存在的疑问。3.教师对学生的发言进行总结和补充，强调重点知识和易错点，鼓励学生在课后继续加强复习和练习。

（六）布置作业1.书面作业教材复习题中相关的练习题，要求学生认真书写解题过程，规范格式。补充一些拓展性的题目，如含有字母系数的二元一次方程组的求解，让学有余力的学生进行思考和练习，加深对知识的理解和运用。2.实践作业让学生收集生活中可以用二元一次方程组解决的实际问题，并尝试解答，下节课进行分享交流。通过实践作业，培养学生观察生活、运用数学知识解决实际问题的能力。

五、教学反思通过本节课的复习，学生对二元一次方程组的知识有了更系统、更深入的理解，在解题能力和运用知识解决实际问题的能力方面都有了一定的提高。在