三角函数的诱导公式教案

三角函数的诱导公式教案一、教学目标1.知识与技能目标理解三角函数诱导公式的推导过程，能够准确记忆诱导公式。熟练运用诱导公式进行三角函数的化简、求值和证明。2.过程与方法目标通过观察、分析、归纳等方法，培养学生的逻辑推理能力和自主探究能力。体会从特殊到一般的数学思想方法，提高学生的数学思维品质。3.情感态度与价值观目标让学生感受数学的严谨性，培养学生的数学兴趣和探索精神。通过小组合作学习，培养学生的团队协作意识和交流能力。

二、教学重难点1.教学重点诱导公式的推导及应用。2.教学难点诱导公式的推导思路以及符号的确定。

三、教学方法讲授法、讨论法、练习法相结合

四、教学过程

（一）导入新课（5分钟）1.复习回顾引导学生回顾三角函数的定义，在单位圆中，设角\(\alpha\)终边上一点\(P(x,y)\)，则\(\sin\alpha=\frac{y}{r}\)，\(\cos\alpha=\frac{x}{r}\)，\(\tan\alpha=\frac{y}{x}(x\neq0)\)，其中\(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)。2.情境引入提出问题：在日常生活中，我们常常会遇到一些与三角函数有关的问题，比如，已知一个角的三角函数值，如何求与其终边具有某种特殊关系的角的三角函数值呢？例如，已知\(\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}\)，那么\(\sin150^{\circ}\)的值是多少呢？通过这样的问题，引发学生的思考，从而导入新课。

（二）探究新知（25分钟）1.探究诱导公式一让学生观察\(30^{\circ}\)与\(390^{\circ}\)、\(330^{\circ}\)角的终边位置关系。利用三角函数的定义，分别计算\(\sin30^{\circ}\)、\(\sin390^{\circ}\)、\(\sin(330^{\circ})\)的值。引导学生发现：\(\sin390^{\circ}=\sin(360^{\circ}+30^{\circ})=\sin30^{\circ}\)，\(\sin(330^{\circ})=\sin(360^{\circ}+30^{\circ})=\sin30^{\circ}\)。同理，对于任意角\(\alpha\)，有\(\sin(\alpha+360^{\circ}k)=\sin\alpha\)，\(\cos(\alpha+360^{\circ}k)=\cos\alpha\)，\(\tan(\alpha+360^{\circ}k)=\tan\alpha\)（\(k\inZ\)）。总结诱导公式一：终边相同的角的同一三角函数值相等。2.探究诱导公式二在平面直角坐标系中，作出角\(\alpha\)与\(\pi+\alpha\)的终边。设角\(\alpha\)终边上一点\(P(x,y)\)，则\(\pi+\alpha\)终边上一点\(P'(x,y)\)。根据三角函数定义计算\(\sin\alpha\)、\(\cos\alpha\)、\(\sin(\pi+\alpha)\)、\(\cos(\pi+\alpha)\)的值。可得：\(\sin(\pi+\alpha)=\sin\alpha\)，\(\cos(\pi+\alpha)=\cos\alpha\)，\(\tan(\pi+\alpha)=\tan\alpha\)。总结诱导公式二：\(\sin(\pi+\alpha)=\sin\alpha\)，\(\cos(\pi+\alpha)=\cos\alpha\)，\(\tan(\pi+\alpha)=\tan\alpha\)。3.探究诱导公式三作出角\(\alpha\)与\(\alpha\)的终边。设角\(\alpha\)终边上一点\(P(x,y)\)，则\(\alpha\)终边上一点\(P'(x,y)\)。计算\(\sin\alpha\)、\(\cos\alpha\)、\(\sin(\alpha)\)、\(\cos(\alpha)\)的值。得出：\(\sin(\alpha)=\sin\alpha\)，\(\cos(\alpha)=\cos\alpha\)，\(\tan(\alpha)=\tan\alpha\)。总结诱导公式三：\(\sin(\alpha)=\sin\alpha\)，\(\cos(\alpha)=\cos\alpha\)，\(\tan(\alpha)=\tan\alpha\)。4.探究诱导公式四由诱导公式二\(\sin(\pi+\alpha)=\sin\alpha\)，可得\(\sin(\pi\alpha)=\sin[\pi+(\alpha)]=\sin(\alpha)\)。再根据诱导公式三\(\sin(\alpha)=\sin\alpha\)，则\(\sin(\pi\alpha)=\sin\alpha\)。同理，\(\cos(\pi\alpha)=\cos\alpha\)，\(\tan(\pi\alpha)=\tan\alpha\)。总结诱导公式四：\(\sin(\pi\alpha)=\sin\alpha\)，\(\cos(\pi\alpha)=\cos\alpha\)，\(\tan(\pi\alpha)=\tan\alpha\)。5.探究诱导公式五作出角\(\alpha\)与\(\frac{\pi}{2}\alpha\)的终边。设角\(\alpha\)终边上一点\(P(x,y)\)，则\(\frac{\pi}{2}\alpha\)终边上一点\(P'(y,x)\)。计算\(\sin\alpha\)、\(\cos\alpha\)、\(\sin(\frac{\pi}{2}\alpha)\)、\(\cos(\frac{\pi}{2}\alpha)\)的值。得到：\(\sin(\frac{\pi}{2}\alpha)=\cos\alpha\)，\(\cos(\frac{\pi}{2}\alpha)=\sin\alpha\)。总结诱导公式五：\(\sin(\frac{\pi}{2}\alpha)=\cos\alpha\)，\(\cos(\frac{\pi}{2}\alpha)=\sin\alpha\)。6.探究诱导公式六由诱导公式五\(\sin(\frac{\pi}{2}\alpha)=\cos\alpha\)，可得\(\sin(\frac{\pi}{2}+\alpha)=\sin[\frac{\pi}{2}(\alpha)]=\cos(\alpha)\)。根据诱导公式三\(\cos(\alpha)=\cos\alpha\)，则\(\sin(\frac{\pi}{2}+\alpha)=\cos\alpha\)。同理，\(\cos(\frac{\pi}{2}+\alpha)=\sin\alpha\)。总结诱导公式六：\(\sin(\frac{\pi}{2}+\alpha)=\cos\alpha\)，\(\cos(\frac{\pi}{2}+\alpha)=\sin\alpha\)。

（三）公式总结（5分钟）1.引导学生一起回顾诱导公式一至六的内容，强调公式的特点和记忆方法。2.总结记忆口诀："奇变偶不变，符号看象限"。"奇变偶不变"：对于\(k\cdot\frac{\pi}{2}\pm\alpha(k\inZ)\)，当\(k\)为奇数时，函数名改变（正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切）；当\(k\)为偶数时，函数名不变。"符号看象限"：把\(\alpha\)看成锐角，看\(k\cdot\frac{\pi}{2}\pm\alpha(k\inZ)\)所在象限，根据原函数在该象限的符号确定诱导公式的符号。

（四）例题讲解（15分钟）1.例1化简\(\sin(1200^{\circ})\)分析：先利用诱导公式一将\(1200^{\circ}\)转化为\(0^{\circ}\)到\(360^{\circ}\)之间的角，再利用其他诱导公式进行化简。解：\(\sin(1200^{\circ})=\sin(1200^{\circ}+3\times360^{\circ})=\sin(120^{\circ})\)根据诱导公式三\(\sin(\alpha)=\sin\alpha\)，可得\(\sin(120^{\circ})=\sin120^{\circ}\)再根据诱导公式四\(\sin(180^{\circ}\alpha)=\sin\alpha\)，则\(\sin120^{\circ}=\sin(180^{\circ}60^{\circ})=\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)2.例2已知\(\cos(\frac{\pi}{6}\alpha)=\frac{\sqrt{3}}{3}\)，求\(\cos(\frac{5\pi}{6}+\alpha)\sin^{2}(\alpha\frac{\pi}{6})\)的值。分析：利用诱导公式将\(\cos(\frac{5\pi}{6}+\alpha)\)转化为与\(\cos(\frac{\pi}{6}\alpha)\)有关的形式，再利用三角函数的平方关系求解。解：\(\cos(\frac{5\pi}{6}+\alpha)=\cos[\pi(\frac{\pi}{6}\alpha)]=\cos(\frac{\pi}{6}\alpha)=\frac{\sqrt{3}}{3}\)\(\sin^{2}(\alpha\frac{\pi}{6})=1\cos^{2}(\frac{\pi}{6}\alpha)=1(\frac{\sqrt{3}}{3})^{2}=1\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\)所以\(\cos(\frac{5\pi}{6}+\alpha)\sin^{2}(\alpha\frac{\pi}{6})=\frac{\sqrt{3}}{3}\frac{2}{3}=\frac{2+\sqrt{3}}{3}\)3.例3证明\(\frac{\sin(\alpha\pi)\cos(2\pi\alpha)\sin(\alpha+\frac{3\pi}{2})}{\cos(\pi\alpha)\sin(\pi\alpha)}=1\)分析：利用诱导公式对等式左边进行化简，然后与右边进行比较。证明：左边\(=\frac{\sin\alpha\cdot\cos\alpha\cdot(\cos\alpha)}{\cos\alpha\cdot\sin\alpha}=\cos\alpha=1\)=右边所以原等式成立。

（五）课堂练习（10分钟）1.化简\(\cos(2040^{\circ})\)2.已知\(\sin(\frac{\pi}{3}+\alpha)=\frac{1}{3}\)，求\(\sin(\frac{2\pi}{3}\alpha)\)的值。3.证明\(\frac{\tan(\pi+\alpha)\cos(\alpha)\cos(\pi\alpha)}{\cot(\pi\alpha)\sin(3\pi+\alpha)}=\cos^{2}\alpha\)

学生完成练习后，教师进行巡视指导，及时纠正学生的错误，并对练习情况进行点评。

（六）课堂小结（5分钟）1.引导学生回顾本节课所学内容，包括诱导公式的推导过程、公式的内容及记忆方法。2.强调诱导公式在三角函数化简、求值和证明中的应用，以及"奇变偶不变，符号看象限"这一记忆口诀的重要性。3.让学生分享本节课的学习收获和体会，培养学生的总结归纳能力和语言表达能力。

（七）布置作业（5分钟）1.书面作业：教材课后习题中相