函数的奇偶性教案

函数的奇偶性教案一、教学目标1.知识与技能目标理解函数奇偶性的概念，能判断一些简单函数的奇偶性。掌握奇函数和偶函数图像的特征，并能利用函数的奇偶性解决一些问题。2.过程与方法目标通过观察、分析、归纳，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力。经历从具体函数到抽象函数的研究过程，体会从特殊到一般的数学思想方法。3.情感态度与价值观目标通过探究函数的奇偶性，培养学生积极参与、勇于探索的精神。感受数学的对称美，体会数学知识之间的内在联系。

二、教学重难点1.教学重点函数奇偶性的概念。函数奇偶性的判断方法。2.教学难点对函数奇偶性概念中"任意"二字的理解。利用函数奇偶性解决相关问题。

三、教学方法讲授法、讨论法、探究法相结合

四、教学过程

（一）导入新课1.展示图片展示一些具有对称美的建筑物图片，如故宫、埃菲尔铁塔等，引导学生观察它们的对称特点。2.提出问题问题1：生活中的对称美在数学中是如何体现的呢？函数有没有类似的对称性质呢？3.引出课题今天我们就来研究函数的一种特殊性质奇偶性。

（二）讲授新课1.观察函数图像，引出概念给出函数\(f(x)=x^2\)和\(f(x)=x\)的图像，让学生观察它们的对称性。对于函数\(f(x)=x^2\)，其图像关于\(y\)轴对称，即对于图像上任意一点\((x,y)\)，都有\((x,y)\)也在图像上，这意味着\(f(x)=f(x)\)。对于函数\(f(x)=x\)，其图像关于原点对称，即对于图像上任意一点\((x,y)\)，都有\((x,y)\)也在图像上，这意味着\(f(x)=f(x)\)。引导学生归纳出函数奇偶性的定义：偶函数：一般地，如果对于函数\(f(x)\)的定义域内任意一个\(x\)，都有\(f(x)=f(x)\)，那么函数\(f(x)\)就叫做偶函数。奇函数：一般地，如果对于函数\(f(x)\)的定义域内任意一个\(x\)，都有\(f(x)=f(x)\)，那么函数\(f(x)\)就叫做奇函数。2.深入理解概念强调定义中的"任意"二字，让学生明白必须对定义域内的每一个\(x\)都满足相应条件，函数才具有奇偶性。提问：判断一个函数是奇函数还是偶函数的关键是什么？引导学生回答：关键是判断\(f(x)\)与\(f(x)\)的关系。讲解函数奇偶性的定义域特点：因为对于定义域内任意\(x\)，\(x\)也必须在定义域内，所以奇函数和偶函数的定义域关于原点对称。举例说明：例如，函数\(f(x)=\frac{1}{x1}\)，其定义域为\(x\neq1\)，不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数。3.函数奇偶性的判断方法方法一：定义法步骤：首先确定函数的定义域是否关于原点对称。然后计算\(f(x)\)，并与\(f(x)\)进行比较。若\(f(x)=f(x)\)，则函数为偶函数；若\(f(x)=f(x)\)，则函数为奇函数；若两者都不满足，则函数既不是奇函数也不是偶函数。例题讲解例1：判断函数\(f(x)=x^3+x\)的奇偶性。解：函数\(f(x)=x^3+x\)的定义域为\(R\)，关于原点对称。计算\(f(x)\)：\(f(x)=(x)^3+(x)=x^3x=(x^3+x)=f(x)\)。所以函数\(f(x)=x^3+x\)是奇函数。例2：判断函数\(f(x)=x^2+1\)的奇偶性。解：函数\(f(x)=x^2+1\)的定义域为\(R\)，关于原点对称。计算\(f(x)\)：\(f(x)=(x)^2+1=x^2+1=f(x)\)。所以函数\(f(x)=x^2+1\)是偶函数。练习巩固判断下列函数的奇偶性：\(f(x)=2x^43x^2\)\(f(x)=\frac{1}{x^2}\)\(f(x)=x+\frac{1}{x}\)4.奇函数和偶函数图像的特征引导学生回顾前面观察的函数\(f(x)=x^2\)（偶函数）和\(f(x)=x\)（奇函数）的图像，总结奇函数和偶函数图像的特征。偶函数的图像关于\(y\)轴对称。奇函数的图像关于原点对称。提问：如果已知一个函数是奇函数或偶函数，且知道它在某一区间上的图像，如何画出它在其他区间上的图像？让学生思考并回答，教师总结：对于偶函数，利用其图像关于\(y\)轴对称的性质，可画出另一半图像；对于奇函数，利用其图像关于原点对称的性质，可画出另一半图像。5.利用函数奇偶性解决问题例题讲解例3：已知函数\(f(x)\)是奇函数，当\(x\gt0\)时，\(f(x)=x^22x\)，求当\(x\lt0\)时\(f(x)\)的表达式。解：设\(x\lt0\)，则\(x\gt0\)。因为当\(x\gt0\)时，\(f(x)=x^22x\)，所以\(f(x)=(x)^22(x)=x^2+2x\)。又因为\(f(x)\)是奇函数，所以\(f(x)=f(x)\)，即\(f(x)=x^2+2x\)，所以\(f(x)=x^22x\)。例4：已知\(f(x)\)是偶函数，且在\([0,+\infty)\)上是增函数，若\(f(a1)\ltf(2)\)，求实数\(a\)的取值范围。解：因为\(f(x)\)是偶函数，所以\(f(x)=f(|x|)\)。那么\(f(a1)\ltf(2)\)可化为\(f(|a1|)\ltf(2)\)。又因为\(f(x)\)在\([0,+\infty)\)上是增函数，所以\(|a1|\lt2\)。即\(2\lta1\lt2\)，解得\(1\lta\lt3\)。练习巩固已知函数\(f(x)\)是奇函数，当\(x\in(0,1)\)时，\(f(x)=2^x\)，求当\(x\in(1,0)\)时\(f(x)\)的表达式。已知\(f(x)\)是偶函数，且在\((\infty,0]\)上是减函数，若\(f(2x1)\gtf(1)\)，求实数\(x\)的取值范围。

（三）课堂小结1.请学生回顾本节课所学内容，包括函数奇偶性的定义、判断方法、图像特征以及利用函数奇偶性解决问题的方法。2.教师进行总结：函数奇偶性是函数的重要性质之一，它反映了函数图像的对称特征。判断函数奇偶性的关键是利用定义，先看定义域是否关于原点对称，再比较\(f(x)\)与\(f(x)\)的关系。奇函数和偶函数的图像分别关于原点和\(y\)轴对称，利用这一特征可以简化函数图像的绘制和问题的求解。在利用函数奇偶性解决问题时，要注意灵活运用其性质进行转化。

（四）布置作业1.书面作业判断下列函数的奇偶性：\(f(x)=x^5x\)\(f(x)=\sqrt{x^21}+\sqrt{1x^2}\)\(f(x)=\frac{2^x1}{2^x+1}\)已知\(f(x)\)是奇函数，当\(x\geq0\)时，\(f(x)=x^23x\)，求\(f(x)\)的表达式，并画出其图像。2.拓展作业思考：若函数\(f(x)\)既是奇函数又是偶函数，那么\(f(x)\)有什么特点？查阅资料，了解函数奇偶性在其他学科领域或实际生活中的应用。

五、教学反思通过本节课的教学，学生对函数奇偶性的概念、判断方法及相关性质有了一定的理解和掌握。在教学过程中，通过实例引入、图像观察、问题