湖南省郴州市2024-2025学年高二下学期3月份联考数学试题

湖南省郴州市2024-2025学年高二下学期3月份联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知复数z满足，其中i为虚数单位，则（

）A．1 B． C． D．22．在平面直角坐标系中，已知直线l的方向向量为，则直线l的倾斜角为（

）A． B． C． D．3．某校文艺汇演上有一个合晿节目，3名女同学和4名男同学需从左至右排成一排上台演唱，则男生甲与女生乙相邻，且男生丙与女生丁相邻的排法种数为（

）A．194 B．240 C．388 D．4804．已知是等差数列的前项和，且，则（

）A．55 B．50 C．100 D．585．曲线在处的切线方程为（

）A． B． C． D．6．已知圆与过点的直线l交于A，B两点，则弦的长度的最小值为（

）A． B． C． D．7．2025年春节期间，有《封神第二部：战火西岐》《哪吒之魔童闹海》《唐探1900》《熊出没•重启未来》和《射雕英雄传：侠之大者》五部电影上映，小罗准备和另外3名同学去随机观看这五部电影中的某一部电影，则小罗看《哪吒之魔童闹海》，且4人中恰有两人看同一部电影的概率为（

）A． B． C． D．8．过椭圆上一点P，分别向圆和圆作切线，切点分别为M，N，则的最小值为（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知函数，则下列说法正确的有（

）A．若，则的最小值为B．函数的图象向右平移个单位长度后得到的函数图象关于原点对称C．存在，使得为偶函数D．函数在区间上的值域与在区间上的值域相同10．已知为随机事件，，，则下列结论正确的有（

）A．若为互斥事件，则B．若为互斥事件，则C．若相互独立，则D．若，则11．已知数列满足，且，，数列的前n项和为，则（

）A． B．是等比数列C．时， D．不存在，使得为整数三、填空题12．的展开式中常数项为．13．已如随机变量取所有的值是等可能的，且，则．14．已知对于任意的，存在，使得不等式恒成立，则实数的取值范围为．四、解答题15．已知数列为公差不为零的等差数列，其前n项和为，，且，，成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)若数列是公比为2的等比数列，且，求数列的前n项和．16．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，为正三角形，且，M为的中点．(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．17．2025年的农历新年里，某市传统民俗文化庙会在历史文化街区举办．庙会设有7个传统手工艺展示区、11个地方美食摊位区和3个民俗表演舞台区，街区总面积约2万平方米．游客可选择乘坐复古三轮车、骑共享单车或者步行来逛庙会．(1)若游客甲准备在7个传统手工艺展示区和3个民俗表演舞台区中随机选取2个区域游览，设甲参观传统手工艺展示区的数量为X，求X的分布列及数学期望；(2)为了解游客体验感受，主办方随机询问了350名首次逛庙会且只选择一种游览方式的游客，其游览方式和游览结果的统计数据如下表：游览方式游览结果复古三轮车共享单车步行逛完所有区域405030未逛完所有区域2070140以频率估计概率，若游客乙首次逛庙会，选择上述三种游览方式中的一种，求游览结束时乙能逛完所有区域的概率．18．已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)若函数有两个零点，求实数的取值范围．19．如图，已知曲线，曲线的左、右焦点分别是，，且是曲线的焦点，点P是与在第一象限内的公共点且，过的直线l分别与曲线和交于点和．(1)求点的坐标及曲线的方程；(2)若与面积分别是，，求的最小值．《湖南省郴州市2024-2025学年高二下学期3月份联考数学试题》参考答案题号12345678910答案BADACDCBACACD题号11答案ABD1．B【分析】应用复数的除法及乘法公式计算化简，再结合模长公式计算即可.【详解】因为复数z满足，则，则.故选：B.2．A【分析】由方向向量求出斜率，即可得出倾斜角.【详解】因为直线l的方向向量为，所以直线的斜率，所以直线l的倾斜角为.故选：A.3．D【分析】根据相邻问题捆绑法进行求解即可.【详解】因为男生甲与女生乙相邻，且男生丙与女生丁相邻，所以先将男生甲与女生乙、男生丙与女生丁分别看作一个整体，与剩下3名学生进行排列有种排法，又男生甲与女生乙之间有种排法，男生丙与女生丁之间有种排法，因此根据乘法原理得所求种数为，故选：D4．A【分析】根据等差数列的前项和公式结合等差数列的性质即可得解.【详解】由题意，.故选：A.5．C【分析】求导，再根据导数的几何意义即可得解.【详解】，则，所以曲线在处的切线方程为，即.故选：C.6．D【分析】记圆心为，由相交弦长和圆的半径及圆心到过的直线的距离之间的勾股关系，求出弦长的最小值即可.【详解】由题意，圆的方程可化为，圆心坐标为，半径，设圆心到直线的距离为，则过的直线与圆的相交弦长，当直线与所在直线垂直时，最大，此时，当最大时，最小，所以最小的弦长.故选：D.7．C【分析】首先求出基本事件总数，再求出满足小罗看《哪吒之魔童闹海》，且4人中恰有两人看同一部电影的方案数，最后根据古典概型的概率公式计算可得.【详解】依题意每位同学均有种选择，则四位同学一共有种方案，若小罗看《哪吒之魔童闹海》，且4人中恰有两人看同一部电影，有两人看《哪吒之魔童闹海》，则有种方案，有一人看《哪吒之魔童闹海》电影，则有种方案，即满足小罗看《哪吒之魔童闹海》，且4人中恰有两人看同一部电影一共有种方案，所以所求概率.故选：C.8．B【分析】由已知可得，设，则，则，进而可得，可求最小值.【详解】由，可得，，所以，，由，可得，半径为，由，可得，半径为，由椭圆的定义，设，则，则，则，所以.故选：B.9．AC【分析】先利用辅助角公式化简，根据平移变换的原则结合正弦函数的对称性即可判断B；根据诱导公式结合三角函数的奇偶性即可判断C；分别求出两个函数的值域即可判断D.【详解】，对于A，令，则，所以，则，所以，故A正确；对于B，函数的图象向右平移个单位长度后得，因为，所以平移后的函数图象不关于原点对称，故B错误；对于C，，要使为偶函数，则，所以，又因为，所以，所以存在，使得为偶函数，故C正确；对于D，因为，所以，所以，因为，所以，故D错误.故选：AC.10．ACD【分析】根据互斥事件的概率公式即可判断AB；根据相互独立事件的乘法公式即可判断C；根据条件概率公式即可判断D.【详解】对于A，若为互斥事件，则，故A正确；对于B，若为互斥事件，则，，故B错误；对于C，若相互独立，则，故C正确；对于D，若，则，所以，故D正确.故选：ACD.11．ABD【分析】根据递推公式求出即可判断A；根据递推公式可得即可判断B；利用构造法求出数列的通项，再利用错位相减法求出，再利用作差法即可判断C；化简即可判断D.【详解】对于A，，，故A正确；对于B，由，得，又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故B正确；对于C，由B选项知，所以，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，所以，则，，两式相减得，所以，，因为，所以，所以当时，，所以当时，，故C错误；对于D，，因为不同时为整数，所以，故D正确．故选：ABD．12．448【分析】首先求展开式的通项公式，再根据特征项，即可求解.【详解】二项展开式的通项公式为，令，得，所以展开式的常数项为.故答案为：13．【分析】由题意可得，根据期望公式求出，再求出方差，再根据方差的性质即可得解【详解】由题意可得，则，解得，所以，所以.故答案为：.14．【分析】令，则，令，利用导数求出函数的单调区间，从而可求出函数的零点，进而求出的符号分别情况，即可求出函数的单调区间，进而求出，即可得解.【详解】令，则，令，则，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以又，且当时，，当时，，即，且当时，，当时，，所以存在唯一，使得，所以，故当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，则，令，则，当时，，当时，，所以函数上单调递减，在上单调递增，所以，所以，所以实数的取值范围为.故答案为：.15．(1)(2)【分析】（1）设公差为d，根据等差数列的前n项和公式与等比中项公式列出关于和d的方程，求解即可得的通项公式；（2）由（1）可得等比数列的第三项，进而得，从而得到的通项公式，利用等差和等比数列前n项和公式分组求和即可求出.【详解】（1）因为为等差数列，设公差为d，由，得，①由，，成等比数列得，则，②联立①②解得或，又因为，则，所以．综上．（2）由知，，又为公比是2的等比数列，，所以，即，所以，，所以.综上.16．(1)证明见解析；(2)【分析】（1）连接，连，证明，再利用线面平行的判定推理作答.（2）取中点，连PO，证明平面，以点O为原点建立空间直角坐标系，借助空间向量求线面角的正弦.【详解】（1）连接，连，如图，正方形中，N为的中点，而M为PD的中点，则，而平面，平面，所以平面.（2）取中点，连，如图，正中，，，连接，因为，所以，所以，平面，则平面，在平面内过O作，则射线两两垂直，以点O为原点，射线分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，则，，设平面的法向量，则，令，得，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值是.17．(1)分布列见解析，(2)【分析】（1）根据题意结合超几何分布求分布列和期望；（2）根据题意结合全概率公式运算求解.【详解】（1）由题意知：所有可能取值为，则有：，，，可知的分布列为：012所以的数学期望为：.（2）记事件A为“游客乙乘坐复古三轮车游园”，事件为“游客乙骑共享单车游园”，事件为“游客乙步行游园”，事件为“游园结束时，乙能参观完所有区域”，由题意可知：，，由全概率公式可得，所以游园结束时，乙能参观完所有展园的概率为.18．(1)答案见解析(2)【分析】（1）求导，再分和两种情况讨论即可；（2）由（1）知，要使函数有两个零点，则，则，进而可得出答案.【详解】（1），当时，，所以函数在单调减区间为，当时，令，则，令，则，所以函数的单调增区间为，单调减区间为，综上所述，当时，在单调减区间为，没有增区间；当时，函数的单调增区间为，单调减区间为；（2）由（1）知，要使函数有两个零点，则，当时，，又当时，，当时，，因为函数有两个零点，所以，令，因为函数在上都是增函数，所以函数在上是增函数，又因为，所以不等式的解集为，所以实数的取值范围为.19．(1)，的方程是(2)【分析】（1）根据抛物线的定义求出点的横坐标，再代入抛物线方程即可求出点的坐标，再将点的坐标代入椭圆方程求出，即可求出椭圆方程；（2）设直线的方程为，，将直线方程分别与抛物线方程和椭圆方程联立，利用韦达定理求出，，求出点到直线的距离，再求出的表达式，进