《第十三章 轴对称》专题复习与单元检测试卷

《第十三章轴对称》专题复习与轴对称有关的问题及轴对称性质在倍角中的应用

构造全等三角形1.

如图，在△

ABC

中，∠

B

＝2∠

C

，

AD

平分∠

BAC

交

BC

于点

D

.

求

证：

AC

＝

AB

＋

BD

.

证明：如图，在

AC

上取一点

E

，使

AE

＝

AB

，连接

DE

.

∵

AD

平分∠

BAC

，∴∠

BAD

＝∠

CAD

.

在△

ABD

和△

AED

中，

∴△

ABD

≌△

AED

(SAS).∴

BD

＝

DE

，∠

B

＝∠1.∵∠

B

＝2∠

C

，∴∠1＝2∠

C

.

∴∠2＝∠

C

.

∴

DE

＝

EC

＝

BD

.

∵

AC

＝

AE

＋

EC

，∴

AC

＝

AB

＋

BD

.

2.

如图，在△

ABC

中，∠

ABC

＝3∠

C

，

AD

平分∠

BAC

，且

BD

⊥

AD

于点

D

.

求证：

AC

＝

AB

＋2

BD

.

解：如图，延长

BD

交

AC

于点

E

.

∵

AD

平分∠

BAC

，∴∠1＝∠2.∵

BD

⊥

AD

，∴∠

ADB

＝∠

ADE

＝90°.

∴△

ABD

≌△

AED

(ASA).∴

AB

＝

AE

，∠

ABE

＝∠

AEB

，

BD

＝

DE

.

∵∠

AEB

＝∠

C

＋∠

EBC

，∠

ABC

＝3∠

C

＝∠

ABE

＋∠

EBC

，∴∠

C

＝∠

EBC

.

∴

EB

＝

EC

＝2

BD

.

∴

AC

＝

AE

＋

EC

＝

AB

＋

EB

＝

AB

＋2

BD

.

线段垂直平分线的应用3.

如图，在△

ABC

中，∠

BAC

＝120°，

AD

⊥

BC

于点

D

，

BD

＝

CD

，点

P

是

BA

延长线上一点，

O

是线段

AD

上一点，

OP

＝

OC

.

(1)求证：∠

APO

＋∠

DCO

＝30°；(1)证明：如图，连接

OB

.∵

AD

⊥

BC

，

BD

＝

CD

，∴

OB

＝

OC

，

AB

＝

AC

.

(2)判断△

OPC

的形状，并说明理由.(2)解：△

OPC

是等边三角形.理由：∵∠

APC

＋∠

DCP

＋∠

PBC

＝180°，∠

PBC

＝30°，∴∠

APC

＋∠

DCP

＝150°.又∵∠

APO

＋∠

DCO

＝30°，∴∠

OPC

＋∠

OCP

＝120°.∴∠

POC

＝180°－(∠

OPC

＋∠

OCP

)＝60°.又∵

OP

＝

OC

，∴△

OPC

是等边三角形.

等腰三角形常用辅助线方法1

有底边中点时，常作底边中线4.

如图，在△

ABC

中，

AB

＝

AC

，

BC

＝4，△

ABC

的面积为12，

AB

的垂直平分线

EF

交

AC

于点

F

，若

D

为

BC

边的中点，

M

为线段

EF

上

的一动点，求△

BDM

周长的最小值.解：如图，连接

AD

交

EF

于点

M

，∵△

ABC

是等腰三角形，

D

是

BC

边的中点，∴

AD

⊥

BC

.

∵直线

EF

是线段

AB

的垂直平分线，∴点

B

关于直线

EF

的对称点为点

A

.

∴

AM

＝

BM

.

∴

AD

的长为

BM

＋

MD

的最小值.

方法2

等腰三角形中证明腰上的中线与其他线段的倍分关系时，常用

倍长中线法5.

如图，

CE

，

CB

分别是△

ABC

，△

ADC

的中线，且

AB

＝

AC

.

求

证：

CD

＝2

CE

.

证明：如图，延长

CE

到点

F

，使

EF

＝

CE

，连接

FB

，则

CF

＝2

CE

.

∵

CE

是△

ABC

的中线，

∴

AE

＝

BE

.

在△

BEF

和△

AEC

中，

∴△

BEF

≌△

AEC

(SAS).∴∠

EBF

＝∠

BAC

.

∵

AB

＝

AC

，∴∠

ABC

＝∠

ACB

.

∴∠

CBD

＝∠

A

＋∠

ACB

＝∠

EBF

＋∠

ABC

＝∠

CBF

.

∵

CB

是△

ADC

的中线，∴

AB

＝

BD

.

又∵

AB

＝

AC

，

AC

＝

BF

，∴

BF

＝

AB

＝

BD

.

在△

CBF

和△

CBD

中，

∴△

CBF

≌△

CBD

(SAS).∴

CF

＝

CD

.

∴

CD

＝2

CE

.

方法3

截长补短法构造等腰三角形6.

如图，在△

ABC

中，

AB

＝

AC

，

D

是△

ABC

外一点，且∠

ABD

＝

60°，∠

ACD

＝60°.求证：

BD

＋

DC

＝

AB

.

证明：如图，延长

BD

至点

E

，使

BE

＝

AB

，连接

CE

，

AE

.

∵∠

ABE

＝60°，

BE

＝

AB

，∴△

ABE

为等边三角形.∴∠

ACD

＝∠

AEB

.

∵

AB

＝

AC

，

AB

＝

AE

，∴∠

AEB

＝60°，

AB

＝

AE

.

∵∠

ACD

＝60°，∴

AC

＝

AE

.

∴∠

ACE

＝∠

AEC

.

∴∠

DCE

＝∠

DEC

.

∴

DC

＝

DE

.

∴

AB

＝

BE

＝

BD

＋

DE

＝

BD

＋

DC

.

即

BD

＋

DC

＝

AB

.

方法4

等腰三角形中证明与底边有关的线段间的关系时，常作底边的

平行线7.

【教材第93页复习题13第13题改编】如图，在等边三角形

ABC

中，

点

D

在

AC

上，延长

BC

至点

E

，使

CE

＝

AD

，

DG

⊥

BC

于点

G

.

求证：(1)

DB

＝

DE

；证明：(1)如图，过点

D

作

DF

∥

BC

，交

AB

边于点

F

.

∵△

ABC

是等边三角形，∴

AB

＝

AC

＝

BC

，

∠

ABG

＝∠

ACB

＝∠

AFD

＝∠

ADF

＝∠

A

＝60°.∴△

ADF

是等边三角形.∴

AD

＝

DF

＝

AF

.

∴

CD

＝

BF

.

∵

AD

＝

CE

，∴

FD

＝

CE

.

又∵∠

DFB

＝∠

DCE

＝120°，∴△

BFD

≌△

DCE

(SAS)，∴

DB

＝

DE

.

(2)

BG

＝

EG

.

证明：(2)∵

DB

＝

DE

，

DG

⊥

BC

，∴

BG

＝

EG

.

构造含30°角的直角三角形方法5

作垂线构造含30°角的直角三角形8.

如图，在四边形

ABCD

中，∠

B

＝

90°，

DC

∥

AB

，

AC

平分∠

BAD

，∠

DAB

＝30°.求证：

AD

＝2

BC

.

证明：如图，过点

C

作

CE

⊥

AD

，交

AD

的延长线于点

E

.

∵

DC

∥

AB

，∠

DAB

＝30°，∴∠

DCA

＝∠

BAC

，∠

CDE

＝∠

DAB

＝30°.在Rt△

CDE

中，∠

CDE

＝30°，∴

CD

＝2

CE

.

又∵

AC

平分∠

DAB

，∴∠

DAC

＝∠

BAC

＝∠

DCA

.

∴

AD

＝

CD

.

∴

AD

＝2

CE

.

∵

CE

⊥

AE

，

CB

⊥

AB

，

AC

平分∠

BAD

，∴

BC

＝

CE

.

∴

AD

＝2

BC

.

新定义问题中的分类讨论9.

在三角形中，某个内角的平分线将对边截成两段，若该角平分线与

对边被截出的某一条线段长度相等，则称这个三角形是隐等腰三角形，

分出的两个三角形至少有一个等腰三角形.如图，在△

ABC

中，

BD

平

分∠

ABC

，且

AD

＝

BD

，则△

ABC

是隐等腰三角形.(1)判断(对的打√，错的打×)：①等边三角形是隐等腰三角形(

×

)②含有30°角的直角三角形是隐等腰三角形(

√

)

×√(2)若Rt△

ABC

是一个隐等腰三角形，则Rt△

ABC

中两个锐角的度数分

别为

⁠.30°，60°或45°，45°

《第十三章轴对称》单元检测试卷（一）一、选择题(共10题，每题4分，共40分)1.

下列四个图形中，是轴对称图形，且对称轴的条数为2的图形的个数

是(

C

)A.

1个B.

2个C.

3个D.

4个【解析】A.是轴对称图形，有2条对称轴；B.是轴对称图形，有2

条对称轴；C.是轴对称图形，有2条对称轴；D.是轴对称图形，有

3条对称轴.C2.

已知点

A

(

a

，－2

016)与点

B

(2

017，－

b

)关于

x

轴对称，则

a

＋

b

的

值为(

B

)A.

－1B.

1C.

4

033D.

－4

033【解析】∵点

A

(

a

，－2

016)与点

B

(2

017，－

b

)关于

x

轴对称，∴

a

＝

2

017，

b

＝－2

016.∴

a

＋

b

＝1.B3.

如图，在Rt△

ABC

中，∠

BAC

＝90°，∠

B

＝50°，

AD

⊥

BC

，垂

足为

D

，△

ADB

与△ADB'关于直线

AD

对称，点

B

的对称点是B'，则

∠CAB'的度数为(

A

)A.

10°B.

20°C.

30°D.

40°第3题图A4.

如图，直线

m

是多边形

ABCDE

的对称轴，其

中∠

A

＝120°，∠

B

＝110°，则∠

BCD

的度数为(

D

)A.

50°B.

60°C.

70°D.

80°第4题图D5.

如图是长方形纸片，首先沿虚线按箭头方向向右对折，接着将对折

后的纸片沿虚线剪下一个小圆和一个小三角形，然后将纸片打开，则可

得到下列图中的(

C

)C【解析】如图所示，作关于直线

l

的轴对称图形，得到图形C.6.

如图，在△

ABC

中，

EF

是

AB

的垂直平分

线，分别与

AB

，

AC

交于点

D

，

F

，交

BC

的延长线于点

E

，连接

BF

，

BF

＝6，

CF

＝2，则

AC

的长为(

C

)A.

6B.

7C.

8D.

9第6题图C7.

通过光的反射定律可知，入射光线与反射光线关于法

线成轴对称(图1).在图2中，光线自点

P

射入，经镜面

EF

反射后经过的

点是(

B

)A.

点

A

B.

点

B

C.

点

C

D.

点

D

B8.

如图，在△

ABC

中，

AB

＝

AC

，∠

C

＝70°，△AB'C'与△

ABC

关

于直线

EF

对称，∠

CAF

＝10°，连接BB'，则∠ABB'的度数是(

C

)A.

30°B.

35°C.

40°D.

45°第8题图C

9.

如图，在△

ABC

中，∠

C

＝90°，将△

ABC

沿

DE

折叠，使得点

B

落在边

AC

上的点

F

处，若∠

CFD

＝60°，且△

AEF

中有两个内角相

等，求∠

A

的度数.嘉嘉的答案是∠

A

＝40°，淇淇说：“嘉嘉考虑的

不全面，∠

A

还应该有另外一个值.”下列判断正确的是(

B

)A.

淇淇说的不对，∠

A

就是40°B.

淇淇说得对，且∠

A

的另一个值是50°C.

淇淇说得对，且∠

A

的另一个值是55°D.

两人都不对，∠

A

应有三个不同值B10.

如图，在△

ABC

中，

∠

C

＝90°，∠

BAC

＝60°

，用尺规作图，

作∠

BAC

的平分线

AD

交

BC

于点

D

，则有下列说法：①若连接

PM

，

PN

，则△

AMP

≌△

ANP

；②∠

ADC

＝60°；③点

D

在

AB

的中垂线上；④

S△

DAC

∶

S△

ABC

＝1∶3.其中正确的有(

D

)A.

1个B.

2个C.

3个D.

4个D

∴∠

ADC

＝90°－∠

CAD

＝60°，故②正确.∵∠

B

＝90°－∠

BAC

＝30°，∴∠

BAD

＝∠

B

.

∴

DA

＝

DB

.

∴点

D

在

AB

的中垂线上，故③正确.在Rt△

ACD

中，

AD

＝2

CD

，而

AD

＝

BD

，∴

BC

＝3

CD

.

∴

S△

DAC

∶

S△

ABC

＝1∶3.故④正确.综上所述，①②③④都正确.二、填空题(共4题，每题5分，共20分)11.

在平面直角坐标系中，直线

n

过点(0，2)且平行于

x

轴，点

A

(4，1)，则点

A

关于

y

轴对称的点

B

的坐标是

.试猜想点

B

关于

直线

n

对称的点的坐标是

⁠.(－4，1)

(－4，3)

12.

如图，在平面直角坐标系中，点

A

(1，0)，

B

(0，2)，作△

BOC

，

使△

BOC

与△

ABO

全等，则点

C

的横坐标为

，其中与△

ABO

成轴对称的△

BOC

有

个.－1或1

2

第12题图【解析】根据题意，作出△

BOC

如图所示，则

OC1＝

BC2＝

BC3＝

OA

＝1，∠

OBC2＝∠

OBC3＝90°，∴点

C

的坐标为(－1，0)或(－1，2)或(1，2).∴点

C

的横坐标为－1或1，

其中与△

ABO

成轴对称的△

BOC

有2个.第12题图13.

如图，已知钝角三角形

ABC

，依下列步骤尺规作图，并保留了作图

痕迹.第13题图步骤1：以

C

为圆心，

CA

长为半径画弧①；步骤2：以

B

为圆心，

BA

长为半径画弧②，交弧①于点

D

；步骤3：连接

AD

，交

BC

的延长线于点

H

.

A.

AH

是△

ABC

中

BC

边上的高B.

AH

＝

DH

C.

AC

平分∠

BAD

D.

作图依据是：①两点确定一条直线；②到线段两端距离相等的点在

线段的垂直平分线上则上列结论正确的是

⁠.ABD

第13题图14.

如图，在平面直角坐标系中，已知点

P

的坐标为(1，0)，将点

P

向

上平移1个单位长度后作其关于

y

轴的对称点

P1，则点

P1的坐标为

⁠

；将点

P1向上平移1个单位长度后作其关于

y

轴的对称点，再向

右平移1个单位长度得到点

P2；将点

P2向上平移1个单位长度后作其关

于

y

轴的对称点

P3，则点

P3的坐标为

；将点

P3向上平移1个单位长度后作其关于

y

轴的对称点，再向右平移1个单位长度得到点

P4，……如此操作下去，则点

P2

024的坐标为

⁠.(－

1，1)

(－2，3)

(1

013，2

024)

【解析】根据题意，得

P1(－1，1)，

P2(2，2)，

P3(－2，3)，

P4(3，4)，

P5(－3，5)，

P6(4，6)，…

三、解答题(共4题，共40分)15.

(8分)在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直

角坐标系，四边形

ABCD

的顶点都在格点上，请解答下列问题.(1)作出四边形

ABCD

关于

y

轴对称的四边形

A1

B1

C1

D1，点

A1，

B1，

C1，

D1分别与点

A

，

B

，

C

，

D

对应；解：(1)如图，四边形

A1

B1

C1

D1即为所求.(2)求四边形

A1

B1

C1

D1的面积.

16.

(9分)如图，

l1，

l2交于点

A

.

P

，

Q

的位置如图所示，试确定点

M

，

使它到

l1，

l2的距离相等，且到

P

，

Q

两点的距离也相等.(用直尺和圆

规作图，保留作图痕迹，不写作法与证明)解：如图所示，

M1

，

M2即为所求.17.

(11分)如图，在△

ABC

中，∠

BAC

＝110°，

PM

，

QN

分别垂直平

分

AB

，

AC

.

(1)求∠

PAQ

的度数；解：(1)∵

PM

垂直平分

AB

，∴

AP

＝

BP

.

∴∠

B

＝∠

BAP

.

同理∠

C

＝∠

CAQ

.

∴∠

PAQ

＝∠

BAC

－∠

BAP

－∠

CAQ

＝∠

BAC

－∠

B

－∠

C

＝∠

BAC

－(∠

B

＋∠

C

).∵在△

ABC

中，∠

BAC

＝110°，∴∠

B

＋∠

C

＝70°.∴∠

PAQ

＝110°－70°＝40°.(2)如果

BC

＝8

cm，求△

APQ

的周长.解：(2)∵

PM

垂直平分

AB

，

QN

垂直平分

AC

，∴

PA

＝

PB

，

QA

＝

QC

.

∴△

APQ

的周长为

PA

＋

PQ

＋

QA

＝

PB

＋

PQ

＋

QC

＝

BC

＝8

cm.18.

(12分)如图，在四边形

ABCD

中，

AD

∥

BC

，

E

为

CD

的中点，连

接

AE

并延长交

BC

的延长线于点

F

.

(1)求证：

CF

＝

AD

；

(2)若

AD

＝2，

AB

＝8，当

BC

的长为多少时，点

B

在线段

AF

的垂直平

分线上？为什么？(2)解：当

BC

＝6时，点

B

在线段

AF

的垂直平分线上.理

由如下：∵

BC

＝6，

AD

＝2，

AB

＝8，∴

AB

＝

BC

＋

AD

.

又∵

CF

＝

AD

，

BC

＋

CF

＝

BF

，∴

AB

＝

BF

.

∴点

B

在线段

AF

的垂直平分线上.《第十三章轴对称》单元检测试卷（二）

轴对称1.

下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最多的图形是(

B

)B2.

如图，将一张三角形纸片

ABC

沿过点

B

的直线折叠，使点

C

落在

AB

边上的点

E

处，折痕为

DB

，则下列结论一定正确的是(

D

)A.

AD

＝

BD

B.

AE

＝

AC

C.

ED

＋

EB

＝

DB

D.

AE

＋

CB

＝

AB

D3.

已知在平面直角坐标系中，

A

，

B

两点的坐标分别是(－2，3)和(2，

3)，有下列四个结论：①

A

，

B

关于

x

轴对称；②

A

，

B

关于

y

轴对称；③

A

，

B

之间的距离为6；④

A

，

B

之间的距离为4.其中正确的结论有

个.2

线段垂直平分线的判定4.

如图，

AD

为△

ABC

的角平分线，

DE

⊥

AC

于点

E

，

DF

⊥

AB

于点

F

，

EF

交

AD

于点

M

.

求证：

AD

垂直平分

EF

.

等腰三角形与等边三角形的性质与判定5.

如图，上午8时，渔船从

A

处出发，以20海里/

时的速度向正西方向航行，9时30分到达

B

处.从

A

处测得灯塔

C

在南偏

西30°方向，距

A

处30海里处.则

B

处到灯塔

C

的距离是(

C

)A.

20海里B.

25海里C.

30海里D.

35海里C【解析】如图，连接

BC

.

∴∠

BAC

＝90°－∠1＝60°.∵

AC

＝30海里，∴

AB

＝

AC

.

∴△

ABC

是等边三角形.∴

BC

＝

AC

＝30海里.6.

在△

ABC

中，

AB

＝

AC

，

AB

边的垂直平分线与

AC

所在直线相交所

得的锐角为40°，求∠

B

的度数.解：此题分两种情况讨论：(1)如图1，

AB

边的垂直平分线与

AC

边交于点

D

，与

AB

边交于点

E

，

∠

ADE

＝40°，则∠

A

＝50°.∵

AB

＝

AC

，∴∠

B

＝∠

C

＝(180°－50°)÷2＝65°.(2)如图2，

AB

边的垂直平分线与

CA

的延长线交于点

D

，与

AB

边交于

点

E

，∠

ADE

＝40°，则∠

DAE

＝50°.∴∠

BAC

＝130°.∵

AB

＝

AC

，∴∠

B

＝∠

C

＝(180°－130°)÷2＝25°.综上所述，∠

B

的度数为65°或25°.7.

如图，△

ABC

是等边三角形，

D

是边

BC

上(除

B

，

C

外)的任意一

点，∠

ADE

＝60°，且

DE

交△

ABC

的外角∠

ACF

的平分线

CE

于点

E

.

求证：(1)∠1＝∠2；证明：(1)∵△

ABC

是等边三角形，∠

ADE

＝60°，∴∠

ADE

＝∠

B

＝60°.又∵∠

ADC

＝∠2＋∠

ADE

＝∠1＋∠

B

，∴∠1＝∠2.(2)

AD

＝

DE

.

证明：(2)如图，在

AB

上取一点

M

，使

BM

＝

BD

，连

接

MD

，则∠

BMD

＝∠

BDM

.

∵△

ABC

是等边三角形，∴∠

B

＝∠

ACB

＝60°，

AB

＝

BC

.

∴∠

BMD

＝60°.∴∠

AMD

＝120°.

含30°角的直角三角形的性质8.

如图，在Rt△

ABC

中，∠

ACB

＝90°，

∠

ABC

＝60°，

BC

＝4

cm，

D

为

BC

的中点，若动点

E

以1

cm/s的速度

从

A

点出发，沿着

A

→

B

→

A

的方向运动，设

E

点的运动时间为

t

s(0≤

t

＜12)，连接

DE

，当△

BDE

是直角三角形时，

t

的值为(

D

)A.

4B.

7或9C.

4或9D.

4或7或9第8题图D【解析】在Rt△

ABC

中，∠

ACB

＝90°，∠

ABC

＝60°，则∠

A

＝180°

－∠

ACB

－∠

ABC

＝30°，∵

BC

＝4

cm，∴

AB

＝2

BC

＝8

cm.∵

D

为

BC

中点，∴

BD

＝2

cm.∵0≤

t

＜12，∴点

E

的运动路线为从

A

到

B

，再从点

B

到

AB

的中点，按运动时间分为0≤

t

≤8和8＜

t

＜12两种情况.第8题图

②当8＜

t

＜12时，则此时

E

点又经过

t

＝7秒时的位置，此时

t

＝8

＋1＝9.综上所述，

t

的值为4或7或9.第8题图9.

如图，已知∠

AOB

＝60°，

OP

平分∠

AOB

，

PC

⊥

OA

于点

C

，

D

是

OB

上的动点，若

PO

＝6

cm，则

PD

长

的最小值是

⁠.第9题图3

cm

轴对称的相关作图10.

如图，在△

ABC

中，

AB

＝

AC

，∠

A

＝

36°，点

D

，

P

分别是图中所作直线和射线与

AB

，

CD

的交点.根据图

中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是(

D

)A.

∠

ABP

＝∠

A

B.

AD

＝

CD

C.

∠

PBC

＝∠

ACD

D.

∠

BPC

＝118°D

∵

DA

＝

DC

，∴B选项不符合题意.∵

DA

＝

DC

，∴∠

ACD

＝∠

A

＝36°.∴∠

PBC

＝∠

ACD

＝36°.∴C选项不符合题意.∵∠

PBC

＝36°，∠

ACD

＝36°，∴∠

PCB

＝36°.∴∠

BPC

＝180°－36°－36°＝108°.∴D选项符合题意.11.

要在一条笔直的公路

l

边上建一个快递配送点，方便为同侧的

A

，

B

两个居民小区发送快件.(1)试确定快递配送点

P

的位置，使它分别到

A

，

B

两个居民小区的距离

相等，请在图1中，画出点

P

的大致位置；解：(1)如图1所示，点

P

即为所求.(2)试确定快递配送点

M

的位置，使它到

A

，

B

两个居民小区的距离之

和最短.请在图2中，画出点

M

的大致位置；解：(2)如图2所示，点

M

即为所求.(3)如图3，

D

是△

ABC

内一点，连接

BD

，

DC

，延长

BD

交

AC

于点

E

.

∵在△

DEC

中，

DE

＋

EC

＞

DC

①，在△

ABE

中，

AB

＋

AE

＞

BD

＋

DE

②，∴①＋②，得

DE

＋

EC

＋

AB

＋

AE

＞

DC

＋

BD

＋

DE

.

∴

AB

＋

AC

＞

BD

＋

DC

.

如果在

A

，

B

两个居民小区之间规划一个正方形生态保护区，送快递的

路线不能穿过该区域.请同学们用以上这个结论，在图4中，画出快递配

送点

Q

的大致位置，使得它到两个居民小区路程之和最短.解：(3)如图3所示，点

Q

即为所求.《第十三章轴对称》单元检测试卷（三）一、选择题(共12题，每题3分，共36分)1.

2022年零点钟声响起之后，翟志刚、王亚平、叶光富三位航天员也

在中国空间站给大家拜年，天地同庆，一起喜迎新年！近两年，中国在

航天领域中取得了许多让世界瞩目的成就，下列与航天相关的图片中，

是轴对称图形的是(

C

)C2.

小明从镜子中看到对面电子钟示数如图所示，这时的时刻应是

(

C

)A.

21：10B.

10：21C.

10：51D.

12：01C3.

由于木质衣架没有柔性，所以在挂置衣服的时候不太方便操作.小敏

设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可.如

图1，衣架杆

OA

＝

OB

＝18

cm，若衣架收拢时，∠

AOB

＝60°，如图

2，则此时

A

，

B

两点之间的距离是(

C

)A.

9

cmB.

16

cmCC.

18

cmD.

20

cm4.

如图，∠

EAF

＝15°，

AB

＝

BC

＝

CD

＝

DE

＝

EF

，则∠

DEF

等于

(

D

)A.

90°B.

75°C.

70°D.

60°第4题图D【解析】∵

AB

＝

BC

＝

CD

＝

DE

＝

EF

，∠

A

＝15°，∴∠

BCA

＝∠

A

＝15°.∴∠

CBD

＝∠

BDC

＝∠

BCA

＋∠

A

＝15°＋15°＝30°.∴∠

ECD

＝∠

CED

＝∠

A

＋∠

BDC

＝15°＋30°＝45°.∴∠

EDF

＝∠

EFD

＝∠

A

＋∠

CED

＝15°＋45°＝60°.∴∠

DEF

＝180°－(∠

EDF

＋∠

EFD

)＝180°－120°＝60°.第4题图5.

如图，先将正方形纸片对折，折痕为

MN

，再把点

B

折叠在折痕

MN

上，折痕为

AE

，点

E

在

BC

上，点

B

在

MN

上的对应点为点

H

，连接

DH

，沿

AH

和

DH

剪下，这样剪得的△

ADH

中(

B

)A.

AH

＝

DH

≠

AD

B.

AH

＝

DH

＝

AD

C.

AH

＝

AD

≠

DH

D.

AH

≠

DH

≠

AD

第5题图B

6.

根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到“到三角形各顶点距离相

等的点”的是(

C

)ABCDC

A.

20或16B.

20C.

16D.

以上答案均不对B①若4是腰长，则三角形的三边长为4，4，8，∵4＋4＝8，∴不能组成三角形；②若4是底边长，则三角形的三边长为4，8，8，∵4＋8＞8，∴能组成三角形，周长为4＋8＋8＝20.

8.

若点

A

(1＋

m

，1－

n

)与点

B

(－3，2)关于

y

轴对称，则

m

＋

n

的值是

(

D

)A.

－5B.

－3C.

3D.

19.

如图，在Rt△

ABC

中，∠

ACB

＝90°，∠

A

＝30°，

D

是斜边

AB

的中点，

DE

⊥

AC

，垂足为

E

，

BC

＝2，则

DE

的长是(

A

)A.

1B.

2C.

3D.

4DA

10.

如图，直线

l1，

l2，

l3表示三条相互交叉的公路，交叉口分别为

A

，

B

，

C

，形成一个△

ABC

，现要在三条公路形成的三角区域内建一座加

油站，要求到

A

，

B

，

C

三个交叉口的距离相等，则加油站应建在

(

D

)A.

△

ABC

的三条高的交点处B.

△

ABC

的三条角平分线的交点处C.

△

ABC

的三条中线的交点处D.

△

ABC

的三条边的垂直平分线的交点处D11.

如图，在等边三角形

ABC

中，

D

是

AB

的中点，

DE

⊥

AC

于点

E

，

已知

AB

＝8，则

CE

的长为(

A

)A.

6B.

5C.

4D.

3第11题图A

第11题图12.

如图，∠

AOB

＝40°，

OP

平分∠

AOB

，

C

为射线

OP

上一点，如

果射线

OA

上的点

E

满足△

OCE

是等腰三角形，那么∠

OEC

的度数为

(

D

)A.

20°B.

80°C.

140°D.

20°或80°或140°第12题图D

分三种情况：①当

OC

＝

OE

时，如图1，∵

OC

＝

OE

，∴∠

OEC

＝∠

OCE

.

第12题图②当

OC

＝

CE

时，如图2，∵

OC

＝

CE

，∴∠

OEC

＝∠

AOC

＝20°.第12题图③当

OE

＝

CE

时，如图3，∵

OE

＝

CE

，∴∠

OCE

＝∠

AOC

＝20°.∴∠

OEC

＝180°－∠

OCE

－∠

AOC

＝140°.综上所述，∠

OEC

的度数为20°或80°或140°.第12题图二、填空题(共4题，每题3分，共12分)

13.

等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为

⁠.【解析】如图1，当△

ABC

为锐角等腰三角形时，∵

AB

＝

AC

，

BD

⊥

AC

，∴∠

ADB

＝90°.∵∠

ABD

＝30°，∴∠

A

＝60°；60°或120°

如图2，△

ABC

为钝角等腰三角形时，∵

AB

＝

AC

，

BD

⊥

AC

，∴∠

BDC

＝90°.∵∠

ABD

＝30°，∴∠

BAD

＝60°.∴∠

BAC

＝120°.综上所述，它的顶角度数为60°或120°.14.如图，在等边三角形

ABC

中，

D

，

E

分别是

AB

，

AC

上的点，且

AD

＝

CE

，则∠

BCD

＋∠

CBE

＝

⁠°.60

【解析】∵△

ABC

是等边三角形，∴∠

A

＝∠

ACB

＝60°，

AC

＝

BC

.

∵

AD

＝

CE

，∴△

ADC

≌△

CEB

(SAS).∴∠

ACD

＝∠

CBE

.

∴∠

BCD

＋∠

CBE

＝∠

BCD

＋∠

ACD

＝∠

ACB

＝60°.15.

如图，△

ABC

的面积是32，

AD

平分∠

BAC

，

AD

⊥

BD

于点

D

，

则△

ADC

的面积是

⁠.16

16.

如图，在△

ABC

中，

AB

＝

AC

，

D

是

BC

边上的一点，

DE

⊥

AB

，

DF

⊥

AC

，垂足分别为点

E

，

F

，若添加一个条件，使

DE

＝

DF

，则

需添加的条件是

，理由是

⁠

⁠.BD

＝

CD

(答案不唯一)

全等三角形对应边

相等【解析】∵

AB

＝

AC

，∴∠

B

＝∠

C

.

又∵

DE

⊥

AB

，

DF

⊥

AC

，∴∠

BED

＝∠

CFD

＝90°.∵

BD

＝

CD

，∴△

BDE

≌△

CDF

(AAS).∴

DE

＝

DF

.

三、解答题(共52分)17.

(7分)如图，在平面直角坐标系中，点

A

，

B

，

C

都在网格点上，(1)请画出△

ABC

关于

y

轴对称的△A'B'C'(其中点A'，B'，C'分别是点

A

，

B

，

C

的对应点，不写画法)；解：(1)如图所示，△A'B'C'即为所求.(2)直接写出A'，B'，C'三点的坐标：A'(

)，B'(

)，C'(

)；2，3

3，1

－1，－2

(3)求△

ABC

的面积.

18.

(8分)勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了

A

，

B

，

C

三地的坐标，数据如图(单位：km)，笔直的铁路经过

A

，

B

两地.(1)点

C

关于直线

AB

对称的点C'的坐标为

⁠；【解析】建立直角坐标系如图所示.(0，19)

(2)计划修一条从

C

到铁路

AB

的最短公路

l

，并在

l

上建一个维修站

D

，

使

D

到

A

，

C

的距离相等，请在图中确定点

D

的位置.(保留作图痕迹，

不写作法)解：如图，点

D

即为所求.19.

(8分)如图，点

M

在等边三角形

ABC

的边

BC

上，

BM

＝4，射线

CD

⊥

BC

，垂足为

C

，

P

是射线

CD

上一动点，

N

是线段

AB

上一动点，当

MP

＋

NP

的值最小时，

BN

＝5.(1)找到符合条件的点

P

的位置(保留作图痕迹)；解：(1)作点

M

关于射线

CD

的对称点

G

，过点

G

作

GN

⊥

AB

于点

N

，交

CD

于点

P

，如答图，由垂线段最短可知，

MP

＋

PN

的最小值为

NG

.

(2)求

AC

的长.

20.

(9分)如图，△

ABC

是等腰三角形，

AB

＝

AC

，

D

是

AB

上一点，过点

D

作

DE

⊥

BC

交

BC

于点

E

，交

CA

的延

长线于点

F

.

(1)证明：△

ADF

是等腰三角形；(1)证明：∵

AB

＝

AC

，∴∠

B

＝∠

C

.

又∵

DE

⊥

BC

，∴∠

FEC

＝∠

DEB