《第十二章 全等三角形》专题复习与单元检测试卷

《第十二章全等三角形》专题复习（一）一线三等角模型问题1

一线三等角模型的应用如图1，已知△

ABC

，∠

C

＝90°，

AC

＝

BC

.

过点

C

作直线

l

，过点

A

，

B

分别作

AD

⊥

l

，

BE

⊥

l

，垂足分别为

D

，

E

.

(1)请根据

l

与△

ABC

的位置关系，补全图形；解：(1)如图1，图2所示.

(2)判断△

ACD

与△

CBE

是否全等，并说明理由.

②如图2，∵∠

ACB

＝90°，∠

ADC

＝90°，∴∠

ACD

＋∠

BCE

＝90°，∠

ACD

＋∠

CAD

＝90°.∴∠

CAD

＝∠

BCE

.

同①可得△

ACD

≌△

CBE

.

【思考】①上面的模型，我们常称为一线三等角，图中的一线是

⁠

，三个等角分别是

⁠.②问题1中，若∠

C

≠90°，如图2，图3，请你结合图形指出“一线三

等角”模型的特征及其中的全等三角形，并证明你的结论(选其中一幅

图完成即可).直线l

∠

ACB

，∠

BEC

，∠

ADC

图2图3解：模型特征：∠

ADC

＝∠

ACB

＝∠

CEB

，

AC

＝

BC

.

全等三角形：

△

ACD

≌△

CBE

.

图2图3问题2

一线三垂直模型的应用阅读理解，自主探究：“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角

度为90°，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”.当

模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形.(1)问题解决：如图1，在等腰直角三角形

ABC

中，∠

ACB

＝90°，

AC

＝

BC

，过点

C

作直线

DE

，

AD

⊥

DE

于点

D

，

BE

⊥

DE

于点

E

，则

CD

与

BE

的数量关系是

⁠；CD

＝

BE

(2)问题探究：如图2，在等腰直角三角形

ABC

中，∠

ACB

＝90°，

AC

＝

BC

，过点

C

作直线

CE

，

AD

⊥

CE

于点

D

，

BE

⊥

CE

于点

E

，

AD

＝

2.5

cm，

DE

＝1.6

cm，求

BE

的长；

(3)拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，

A

(－1.5，0)，

C

(1.5，3.5)，△

ABC

为等腰直角三角形，∠

ACB

＝90°，

AC

＝

BC

，求点

B

坐标.【解析】(3)解：如图，过点

C

作直线

l

∥

x

轴，交

y

轴于点

G

，过点

A

作

AE

⊥

l

于点

E

，过点

B

作

BF

⊥

l

于点

F

，交

x

轴于点

H

，则∠

AEC

＝∠

CFB

＝∠

ACB

＝90°.∵

A

(－1.5，0)，

C

(1.5，3.5)，∴

EG

＝

OA

＝1.5，

CG

＝1.5，

FH

＝

AE

＝

OG

＝3.5.

专题进阶小练1.

如图，在△

PAB

中，∠

A

＝∠

B

，

M

，

N

，

K

分别是

PA

，

PB

，

AB

上的点，且

AM

＝

BK

，

BN

＝

AK

，若∠

MKN

＝40°，则∠

P

的度数

为

⁠.100°

2.

如图，在△

ABC

中，∠

ACB

＝90°，

AC

＝

BC

，

AD

⊥

CD

于点

D

，

BE

⊥

CD

于点

E

.

若

BE

＝7，

CE

＝3，则△

ADE

的面积等于

⁠.6

3.

如图，点

C

，

D

分别在线段

AB

两侧，

AD

＝

CD

＝10，且

AD

⊥

CD

于点

D

，作

DE

⊥

AB

于点

E

.

若

DE

＝6，

EA

＝8，求点

C

到

AB

的距离.解：如图，过点

C

作

CF

⊥

DE

，

CH

⊥

AB

，分别交

DE

的延长线于点

F

，交

AB

于点

H

，易得四边形

CFEH

是长方形，△

ADE

≌△

DCF

，∴

DF

＝

AE

.

∴

CH

＝

FE

＝

DF

－

ED

＝

AE

－

DE

＝8－6＝2，即点

C

到

AB

的距离为2.4.

如图，在Rt△

ABC

中，∠

ACB

＝90°，

AC

＝

BC

，

E

为线段

CA

上

一动点，连接

BE

，作

BF

⊥

BE

，且

BF

＝

BE

.

(1)如图1，过点

F

作

FD

⊥

BC

于点

D

.

求证：

FD

＝

AC

；证明：(1)∵

BF

⊥

BE

，∠

ACB

＝90°，∴∠

EBF

＝∠

ACB

＝90°.∴∠

CBE

＋∠

CEB

＝∠

DBF

＋∠

CBE

＝90°.∴∠

CEB

＝∠

DBF

.

又∵

BF

＝

BE

，∠

FDB

＝∠

BCE

＝90°，∴△

BCE

≌△

FDB

(AAS).∴

BC

＝

FD

.

∵

AC

＝

BC

，∴

FD

＝

AC

.

(2)如图2，连接

AF

交

BC

于点

G

，若

BG

＝6，

CG

＝2.求证：

E

为

AC

中点.

《第十二章全等三角形》专题复习（二）全等模型模型一

平移型已知，如图，

AB

∥

DE

，

AC

∥

DF

，

BE

＝

CF

.

求证：

AB

＝

DE

.

证明：∵

AB

∥

DE

，

AC

∥

DF

，∴∠

B

＝∠

DEC

，∠

ACB

＝∠

F

.

∵

BE

＝

CF

，∴

BE

＋

EC

＝

EC

＋

CF

.

∴

BC

＝

EF

.

∴△

ABC

≌△

DEF

(ASA).∴

AB

＝

DE

.

【思考】如图，△

DEF

≌△

ABC

，从图形变换的角度看，一个三角形

得另一个三角形.平移模型二

轴对称型如图，点

E

在

AC

上，且

BE

＝

DE

，

BC

＝

DC

.

(1)求证：

CA

平分∠

BCD

；

(2)求证：

BA

＝

DA

.

【思考】下面每幅图中都有两个三角形全等.从图形变换的角度看，两

个三角形关于某条直线

.请你画出每幅图的对称轴.对称解：画出对称轴如图所示.模型三

旋转型如图，已知，点

A

，

D

，

C

，

B

在同一条直线上，

AD

＝

BC

，

AE

＝

BF

，

CE

＝

DF

.

求证：

AE

∥

FB

.

【思考】下面每幅图中都有两个三角形全等.从图形变换的角度看，一

个三角形

得另一个三角形.旋转中心分别为

⁠

⁠.旋转CF

的中点，点A

，

点

C

【变式】在△

ABC

中，

AB

＝

AC

，

P

是△

ABC

内任意一点，将

AP

绕点

A

顺时针旋转至

AQ

，使∠

QAP

＝∠

BAC

，连接

BQ

，

CP

.

(1)求证：

BQ

＝

CP

；

(2)延长

CP

，交

BQ

于点

D

，求∠

CDQ

与∠

BAC

的关系，并说明理由.(2)解：∠

CDQ

＋∠

BAC

＝180°.理由：∵△

BAQ

≌△

CAP

，∴∠

QBA

＝∠

PCA

.

∵∠

CDQ

＝∠

DBC

＋∠

BCD

＝∠

QBA

＋∠

ABC

＋∠

BCD

＝∠

PCA

＋∠

ABC

＋∠

BCD

，∴∠

CDQ

＝∠

ABC

＋∠

ACB

.

又∵∠

BAC

＋∠

ABC

＋∠

ACB

＝180°，∴∠

CDQ

＋∠

BAC

＝180°.《第十二章全等三角形》专题复习（三）作辅助线构造全等三角形

问题探究思考问题1

倍长中线法如图，

CD

＝

AB

，∠

BAD

＝∠

BDA

，

AE

是△

ABD

的中线.求证：

AC

＝2

AE

.

证明：如图，延长

AE

至点

F

，使

AE

＝

EF

，连接

BF

.

∵

AE

是△

ABD

的中线，∴

BE

＝

DE

.

在△

ADE

和△

FBE

中，

∴

BF

＝

DA

，∠

FBE

＝∠

ADE

.

∵∠

ABF

＝∠

ABD

＋∠

FBE

，∠

BAD

＝∠

BDA

，∴∠

ABF

＝∠

ABD

＋∠

BDA

＝∠

ABD

＋∠

BAD

＝∠

CDA

.

∴△

ABF

≌△

CDA

(SAS).∴

AC

＝

AF

.

∵

AF

＝2

AE

，∴

AC

＝2

AE

.

【思考】通过作辅助线构造全等三角形，因为

AE

是△

ABD

的中线，所

以这种作辅助线的方法我们常叫“倍长中线”法.【变式】如图，

AD

是△

ABC

的中线，若

AB

＝5，

AC

＝3，设

AD

＝

x

，则

x

的取值范围是

⁠.1＜

x

＜4

思路点拨

先用倍长中线构造全等三角形，使

AB

，

AC

，2

AD

在一个三角形

中，再用三角形的三边关系得到结果.问题2

截长补短法如图，在△

ABC

中，

AB

＞

AC

，

P

是∠

BAC

的平分线

AD

上任一点.求

证：

AB

－

AC

＞

PB

－

PC

.

证明：(方法一)如图1，在

AB

上取一点

E

，使

AE

＝

AC

，连接

PE

.

∵

AP

为∠

BAC

的平分线，∴∠

EAP

＝∠

CAP

.

在△

AEP

和△

ACP

中，

∴△

AEP

≌△

ACP

(SAS)，∴

PE

＝

PC

.

∵

AE

＝

AC

，∴

BE

＝

AB

－

AE

＝

AB

－

AC

.

在△

PBE

中，

BE

＞

PB

－

PE

，∴

AB

－

AC

＞

PB

－

PC

.

(方法二)如图2，延长

AC

至点

M

，使

AM

＝

AB

，连接

PM

.

∵

AP

为∠

BAC

的平分线，∴∠

PAB

＝∠

PAM

.

在△

ABP

和△

AMP

中，

∴△

ABP

≌△

AMP

(SAS).∴

PB

＝

PM

.

在△

PCM

中，

CM

＞

PM

－

PC

，∴

AM

－

AC

＞

PB

－

PC

.

∴

AB

－

AC

＞

PB

－

PC

.

【思考】(1)你有几种解决问题的方法？

⁠.(2)这种作辅助线构造全等的方法，我们常叫“截长补短”法.两种

专题进阶小练1.

如图，在△

ABC

中，

AB

＝4，

AC

＝7，

M

为

BC

的中点，

AD

平分∠

BAC

，过点

M

作

MF

∥

AD

，交

AC

于点

F

，则

FC

的长为

⁠.第1题图5.5

第1题图2.

如图，在四边形

ABCD

中，

AB

＝

AD

，∠

BAD

≠90°，∠

B

＋∠

D

＝180°，点

E

，

F

分别在边

BC

，

CD

上，若

EF

＝

BE

＋

FD

，则∠

EAF

与∠

BAD

的关系是

⁠.第2题图∠

BAD

＝2∠

EAF

【解析】如图，延长

FD

到点

G

，使

DG

＝

BE

，连接

AG

.

∵∠

B

＋∠

ADF

＝180°，∠

ADG

＋∠

ADF

＝180°，∴∠

B

＝∠

ADG

.

第2题图∴△

ABE

≌△

ADG

(SAS).∴

AE

＝

AG

，∠

BAE

＝∠

GAD

.

∵

EF

＝

BE

＋

FD

，∴

EF

＝

DG

＋

DF

＝

GF

.

∴△

AEF

≌△

AGF

(SSS).∴∠

EAF

＝∠

GAF

.

∵∠

BAE

＝∠

GAD

，∴∠

BAD

＝∠

EAG

＝2∠

EAF

.

第2题图3.

如图，

AD

为△

ABC

的中线，∠

ADB

和∠

ADC

的平分线分别交

AB

，

AC

于点

E

，

F

.

求证：

BE

＋

CF

＞

EF

.

证明：如图，将△

DBE

绕点

D

顺时针旋转180°，得到△

DCH

，连接

FH

.

∵

DE

，

DF

分别为∠

ADB

和∠

ADC

的平分线，

∵∠1＝∠2，∴∠3＋∠2＝90°，即∠

EDF

＝∠

FDH

.

由旋转可知，△

BDE

≌△

CDH

，∴

BE

＝

CH

，

DE

＝

DH

.

∴∠

EFD

≌△

HFD

(SAS).∴

EF

＝

FH

.

在△

FCH

中，由三角形三边关系定理可得，

CH

＋

CF

＞

FH

，∴

BE

＋

CF

＞

EF

.

《第十二章全等三角形》单元检测试卷（一）一、选择题(共10题，每题4分，共40分)1.

下列图形与如图所示的图形全等的是(

B

)B2.

在△

ABC

与△

DEF

中，小七发现两个结论：①

AB

＝

DE

，

AC

＝

DF

，

BC

＝

EF

，则△

ABC

≌△

DEF

；②∠

A

＝

∠

D

，

AC

＝

DE

，

BC

＝

EF

，则△

ABC

≌△

DEF

.

对于上述两个结论，下列说法正确的是(

C

)A.

①②都错误B.

①②都正确C.

①正确，②错误D.

①错误，②正确C3.如图是作图痕迹，则此作图的已知条件是(

C

)A.

已知两边及夹角B.

已知三边C.

已知两角及夹边D.

已知两边及一边对角C4.

如图，在△

ABC

中，

BE

＝

CE

，

AC

＝5，

H

是高

BD

和

CE

的交点，

则

BH

的长为(

C

)A.

3B.

4C.

5D.

6C5.

如图，已知△

ABC

≌△

ADE

，若∠

B

＝40°，∠

C

＝75°，则∠

EAD

的度数为(

A

)A.

65°B.

70°C.

75°D.

85°A6.

如图，∠1＝∠2，

AC

＝

AD

.

添加下列条件：①

AB

＝

AE

；②

BC

＝

ED

；③∠

C

＝∠

D

；④∠

B

＝∠

E

.

其中能使△

ABC

≌△

AED

的条件

有(

B

)A.

4个B.

3个C.

2个D.

1个B7.

如图，小虎用10块高度都是3

cm的相同长方体小木块，垒了两堵与

地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板(

AC

＝

BC

，∠

ACB

＝90°)，点

C

在

DE

上，点

A

和点

B

分别与木墙的顶端重

合，则两堵木墙之间的距离

DE

的长度为(

A

)A.

30

cmB.

27

cmC.

24

cmD.

21

cmA8.

在正方形方格纸中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点的连线为

边的三角形叫做格点三角形.如图，以点

D

，

E

为两个顶点作格点三角

形，使所作的格点三角形与△

ABC

全等，这样的格点三角形最多可以

画出(

B

)A.

2个B.

4个C.

6个D.

8个B解析：如图所示.9.

△

ABC

，△

DEF

，△

XYZ

的相关数据如图所示，则(

C

)A.

△

ABC

≌△

XYZ

B.

△

DEF

≌△

XYZ

C.

∠

C

＝∠

Z

D.

∠

F

＝80°C10.

如图，在△

ABC

中，

AD

⊥

BC

交

BC

于点

D

，

AE

平分∠

BAC

交

BC

于点

E

，

F

为

BC

延长线上一点，

FG

⊥

AE

交

AD

的延长线于点

G

，

AC

的延长线交

FG

于点

H

，连接

BG

，下列结论：①∠

DAE

＝∠

F

；②2∠

DAE

＝∠

ABD

－∠

ACE

；③

S△

AEB

∶

S△

AEC

＝

AB

∶

AC

；④∠

AGH

＝∠

BAE

＋∠

ACB

.

其中正确的结论有

(

D

)A.

1个B.

2个C.

3个D.

4个D【解析】如图，

AE

交

GF

于点

M

，①∵

AD

⊥

BC

，

FG

⊥

AE

，∴∠

ADE

＝∠

AMF

＝90°，∵∠

AED

＝∠

MEF

，∴∠

DAE

＝∠

F

，故①正确；

故②正确；③∵

AE

平分∠

BAC

交

BC

于点

E

，∴点

E

到

AB

和

AC

的距离相等.∴

S△

AEB

∶

S△

AEC

＝

AB

∶

CA

，故③正确；④∵∠

DAE

＝∠

F

，∠

FDG

＝∠

FME

＝90°，∴∠

AGH

＝∠

MEF

.

∵∠

MEF

＝∠

CAE

＋∠

ACB

，∴∠

AGH

＝∠

CAE

＋∠

ACB

.

∴∠

AGH

＝∠

BAE

＋∠

ACB

，故④正确.二、填空题(共4题，每题5分，共20分)11.

【教材第44页习题12.2第11题改编】如图，已知

EA

∥

DF

，

AE

＝

DF

.

在横线上添加适当的条件使得△

AEC

≌△

DFB

(不添加任何辅助

线).(1)若判定方法为“SAS”，则可添加条件为

⁠；(2)若判定方法为“

”则可添加条件为∠

E

＝∠

F

.

AB

＝

DC

(或

AC＝DB)

ASA

12.

如图，在△

ABC

中，已知∠1＝∠2，

BE

＝

CD

，

AB

＝5，

AE

＝2，则

CE

＝

⁠.3

13.

如图，已知

CD

⊥

AB

，

BE

⊥

AC

，垂足分别为

D

，

E

，

BE

，

CD

交于点

O

，且∠

BAO

＝∠

CAO

，则图中的全等三角形共有

对.4

14.

如图，在Rt△

ABC

中，∠

C

＝90°，

E

为

AB

的中点，

D

为

AC

上一点，

BF

∥

AC

交

DE

的延长线于点

F

.

若

AC

＝6，

BC

＝5，

则四边形

FBCD

周长的最小值是

，此时

FD

与

AC

的位置关系是

⁠.16

FD

⊥

AC

三、解答题(共4题，共40分)15.

(8分)如图，在△

ABC

中，

E

是

AB

延长线上一点，且

BE

＝

AB

.

(1)尺规作图：在∠

CBE

内作射线

BD

，使

BD

∥

AC

(保留作图痕迹，不

要求写作法)；(1)解：如图1，射线

BD

即为所求.(2)在

BD

上取点

F

，使

BF

＝

AC

，连接

EF

.

求证：△

ABC

≌△

BEF

.

(2)证明：如图2，∵

BD

∥

AC

，∴∠

A

＝∠

EBF

.

又∵

AB

＝

BE

，

AC

＝

BF

，∴△

ABC

≌△

BEF

(SAS).16.

(10分)如图，工人师傅要检查人字梁的∠

B

和∠

C

是否相等，但他

手边没有量角器，只有一个刻度尺.他是这样操作的：①分别在

BA

和

CA

上取

BE

＝

CG

；②在

BC

上取

BD

＝

CF

；③量出

DE

的长

a

m，

FG

的长

b

m.若

a

＝

b

，则说明∠

B

和∠

C

是相等的，他的这种做法合理吗？为

什么？解：这种做法合理.

17.

(12分)如图，已知△

ABC

中，∠

A

＝90°，

CD

⊥

AC

，

CE

⊥

BC

，

且

CD

＝

AC

，

CE

＝

BC

.

(1)求证：△

ABC

≌△

DEC

；

(2)若∠

ACB

＝25°，求∠

E

的度数；(2)解：∵∠

ACB

＝25°，∠

A

＝90°，∴∠

B

＝90°－25°＝65°.∵△

ABC

≌△

DEC

，∴∠

E

＝∠

B

＝65°.【解析】如图，连接

BE

.

∵

BC

＝

EC

，∠

BCE

＝90°，∠

ACB

＝25°，∴∠

CBE

＝∠

CEB

＝45°，∠

DCE

＝∠

ACB

＝25°.∵∠

BFC

＝∠

FEC

＋∠

DCE

＝45°＋25°＝70°.(3)连接

BE

，交

DC

于点

F

，在(2)的条件下，直接写出∠

BFC

的度数.(3)解：∠

BFC

＝70°18.

(10分)在△

ABC

中，

AB

＝

AC

，

D

是射线

BC

上一点，点

E

在

AD

的

右侧，线段

AE

＝

AD

，且∠

DAE

＝∠

BAC

，连接

CE

.

(1)如图1，点

D

在线段

BC

上，求证：∠

BAC

＋∠

DCE

＝180°；

(2)如图2，点

D

在线段

BC

的延长线上，判断∠

BAC

与∠

DCE

的数量关

系，并说明理由.

《第十二章全等三角形》单元检测试卷（二）

全等三角形的判定1.

下列各图中，

a

，

b

，

c

为三角形的边长，根据图中标注的数据，判

断甲、乙、丙、丁四个三角形和如图所示的△

ABC

不一定全等的是

(

A

)A2.

如图，在一个平分角的仪器中，

AB

＝

AD

，

BC

＝

DC

.

利用它画图

时，先将点

A

放在角的顶点，

AB

和

AD

沿着角的两边放下，沿

AC

画一

条射线

AE

，

AE

即为所求.操作中△

ADC

≌△

ABC

依据的数学道理是

(

C

)CA.

两边及其夹角分别相等的两个三角形全等B.

两角及其夹边分别相等的两个三角形全等C.

三边分别相等的两个三角形全等D.

两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等第2题图3.

如图所示，已知

BC

＝

EC

，∠

BCE

＝∠

ACD

，要使△

ABC

≌△

DEC

，则应添加的一个条件为

(填写一个即

可).第3题图AC

＝

DC

(答案不唯一)

4.

如图，

AB

交

CD

于点

O

，在△

AOC

与△

BOD

中，有以下三个条件：①

OC

＝

OD

；②

AC

＝

BD

；③∠

A

＝∠

B

.

请你在上述三个条件

中选择两个作为条件，另一个能作为这两个条件推出来的结论，并证明

你的结论(只要求写出一种正确的选法).(1)你选的条件为

，结论为

；(填序号)①③

②(答案不唯一)

(2)证明你的结论.

全等三角形的判定与性质5.

如图，

AD

＝

BC

，

AE

＝

CF

，

E

，

F

是

BD

上的两点，

BE

＝

DF

，

∠

AEB

＝100°，∠

ADB

＝30°，则∠

BCF

的度数为(

C

)A.

30°B.

60°C.

70°D.

80°C6.

如图，已知线段

AB

＝20米，

MA

⊥

AB

于点

A

，

MA

＝6米，在线段

MA

上有一点

C

，射线

BD

⊥

AB

于点

B

，点

P

从点

B

出发向点

A

运动，

每秒走1米，点

Q

从点

B

出发向点

D

运动，每秒走3米，点

P

，

Q

同时从

点

B

出发，则出发

x

秒后，使△

CAP

与△

PBQ

全等，则

x

的值为(

A

)A.

5B.

5或10C.

10D.

6或10A

7.

如图，在Rt△

ABC

中，

AC

＝

BC

，∠

ACB

＝90°，

CF

交

AB

于点

E

，

BD

⊥

CF

于点

D

，

AF

⊥

CF

.

(1)求证：

BD

＝

CF

；(1)证明：∵∠

ACB

＝90°，∴∠

ACF

＋∠

BCD

＝90°.∵

BD

⊥

CF

，∴∠

CBD

＋∠

BCD

＝90°.∴∠

ACF

＝∠

CBD

.

∵

BD

⊥

CF

，

AF

⊥

CF

，∴∠

BDC

＝∠

F

＝90°.

(2)若

AF

＝9，

DF

＝10，则

BD

＝

⁠.【解析】∵△

ACF

≌△

CBD

，

AF

＝9，∴

CD

＝

AF

＝9，

BD

＝

CF

.

∵

DF

＝10，∴

CF

＝

CD

＋

DF

＝19.∴

BD

＝

CF

＝19.19

角平分线的性质与判定

根据以上作图，一定可以推得的结论是(

A

)A.

∠1＝∠2且

CM

＝

DM

B.

∠1＝∠3且

CM

＝

DM

C.

∠1＝∠2且

OD

＝

DM

D.

∠2＝∠3且

OD

＝

DM

A9.

[观察发现]如图1，

OP

平分∠

MON

，先在

OM

，

ON

上分别取

OA

，

OB

，使

OA

＝

OB

，再在

OP

上任取一点

D

，连接

AD

，

BD

，请你猜想

AD

与

BD

之间的数量关系，并说明理由.解：[观察发现]

AD

＝

BD

.

理由：∵

OP

平分∠

MON

，∴∠

DOA

＝∠

DOB

.

∵

OA

＝

OB

，

OD

＝

OD

，∴△

OAD

≌△

OBD

(SAS).∴

AD

＝

DB

.

[拓展应用]如图2，在△

ABC

中，∠

ACB

是直角，∠

B

＝60°，

AD

，

CE

分别是∠

BAC

，∠

BCA

的平分线，

AD

，

CE

相交于点

F

，请你写

出

FE

与

FD

之间的数量关系，并说明理由.[拓展应用]

FE

＝

FD

.

理由：如图，在

AC

上截取

AG

＝

AE

，连接

FG

，易得△

AEF

≌△

AGF

，∴∠

AFE

＝∠

AFG

，

FE

＝

FG

.

∵∠

ACB

是直角，即∠

ACB

＝90°，∠

B

＝60°，∴∠

BAC

＝30°.∵

AD

，

CE

分别是∠

BAC

，∠

BCA

的平分线，

∴∠

FAC

＋∠

FCA

＝15°＋45°＝60°＝∠

AFE

＝∠

CFD

.

∴∠

AFE

＝∠

AFG

＝∠

CFD

＝60°.∴∠

CFG

＝180°－60°－60°＝60°.∴∠

CFG

＝∠

CFD

.

又∵

FC

为公共边，∴△

CFG

≌△

CFD

(ASA).∴

FG

＝

FD

.

∴

FE

＝

FD

.

《第十二章全等三角形》单元检测试卷（三）一、选择题

(共12题，每题3分，共36分)

1.

下列图形中与已知图形全等的是(

A

)A.

B.

C.

D.

2.

已知△

ABC

≌△

DEF

，∠

A

＝45°，∠

F

＝75°，则∠

B

的度数是

(

D

)A.

50°B.

120°C.

75°D.

60°AD3.

如图，已知图中的两个三角形全等，则图中∠α的度数是(

D

)

第3题图A.

72°B.

60°C.

78°D.

30°D4.

在△

ABC

中，把两个完全一样的直角三角尺按如图所示的位置摆

放，它们的一组对应直角边分别在

AB

，

AC

上，且这组对应边所对的

顶点重合于点

M

，则点

M

一定在(

C

)A.

AC

边的高上B.

AB

边的中线上C.

∠

A

的平分线上D.

BC

边的中线上第4题图C5.

如图，△

ACB

≌△A'CB'，∠

ACB

＝70°，∠ACB'＝100°，则

∠BCA'的度数为(

B

)A.

30°B.

40°C.

35°D.

50°B6.

如图，在四边形

ABCD

中，

AB

∥

CD

，将四边形

ABCD

沿对角线

AC

折叠，使点

B

落在点B'处.若∠1＝∠2＝44°，则∠

B

的度数为(

C

)A.

66°B.

104°C.

114°D.

124°C7.

如图，淇淇站在堤岸的点

A

处，正对他的

S

点停有一艘游艇，他想知

道这艘游艇距离他有多远，于是他沿堤岸走到电线杆

B

旁(直线

AC

与堤

岸平行)，接着再往前走相同的距离，到达

C

点，然后他向左转90°直

行，当看到电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时他位于

D

点，那

么

C

，

D

两点间的距离就是在

A

点处淇淇与游艇之间的距离.在这个问

题中，可作为证明△

ABS

≌△

CBD

的依据是(

C

)A.

SAS或SSSB.

AAS或SSSC.

ASA或AASD.

ASA或SAS第7题图C

第7题图8.

如图，在四边形

ABCD

中，∠

BCD

＝90°，

BD

平分∠

ABC

，

AB

＝

6，

BC

＝9，

CD

＝4，则四边形

ABCD

的面积是(

A

)A.

30B.

24C.

36D.

42第8题图A【解析】如图，过点

D

作

DH

⊥

AB

交

BA

的延长线于点

H

.

∵

BD

平分∠

ABC

，∠

BCD

＝90°，∴

DH

＝

CD

＝4.

第8题图9.

如图，△

ABE

和△

ADC

是△

ABC

分别沿着

AB

，

AC

边翻折形成

的，若∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，则∠α的度数为(

A

)A.

80°B.

100°C.

60°D.

45°第9题图A【解析】设∠3＝3

x

，则∠1＝28

x

，∠2＝5

x

.∵∠1＋∠2＋∠3＝180°，∴28

x

＋5

x

＋3

x

＝180°，解得

x

＝5°.∴∠1＝140°，∠2＝25°，∠3＝15°.∵△

ABE

是△

ABC

沿着

AB

边翻折形成的，∴∠1＝∠

BAE

＝140°，∠

E

＝∠3＝15°.∴∠

EAC

＝360°－∠

BAE

－∠

BAC

＝360°－140°－140°＝80°.又∵△

ADC

是△

ABC

沿着

AC

边翻折形成的，∴∠

ACD

＝∠3＝∠

E

＝15°.而∠α＋∠

E

＝∠

EAC

＋∠

ACD

，∴∠α＝∠

EAC

＝80°.第9题图10.

如图，

AB

⊥

CD

，且

AB

＝

CD

，

E

，

F

是

AD

上两点，

CE

⊥

AD

，

BF

⊥

AD

，垂足分别为点

E

，

F

.

若

CE

＝

a

，

BF

＝

b

，

EF

＝

c

，则

AD

的长为(

D

)A.

a

＋

c

B.

b

＋

c

C.

a

－

b

＋

c

D.

a

＋

b

－

c

第10题图D

第10题图11.

如图，

AP

平分∠

BAC

，点

M

，

N

分别在边

AB

，

AC

上，如果添加

一个条件，即可推出

AM

＝

AN

，那么下列条件中不正确的是(

A

)A.

PM

＝

PN

B.

∠

APM

＝∠

APN

C.

MN

⊥

AP

D.

∠

AMP

＝∠

ANP

第11题图A【解析】∵

AP

平分∠

BAC

，∴∠

BAP

＝∠

CAP

.

A.

由∠

BAP

＝∠

CAP

，

PM

＝

PN

，

AP

＝

AP

，不能判定△

APM

≌△

APN

，∴不能推出

AM

＝

AN

，故选项A符合题意；B.

由∠

BAP

＝∠

CAP

，

AP

＝

AP

，∠

APM

＝∠

APN

，能判定△

APM

≌△

APN

(ASA)，∴

AM

＝

AN

，故选项B不符合题意；C.

∵

MN

⊥

AP

，∴∠

APM

＝∠

APN

＝90°.第11题图又∵∠

BAP

＝∠

CAP

，

AP

＝

AP

，∴△

APM

≌△

APN

(ASA)，∴

AM

＝

AN

，故选项C不符合题意；D.

由∠

AMP

＝∠

ANP

，∠

BAP

＝∠

CAP

，

AP

＝

AP

，能判定△

APM

≌△

APN

(AAS)，∴

AM

＝

AN

，故选项D不符合题意.第11题图12.

如图，在四边形

ABCD

中，

AD

∥

BC

，若∠

DAB

的平分线

AE

交

CD

于点

E

，连接

BE

，且

BE

平分∠

ABC

，则以下结论中不正确的有

(

A

)第12题图A

A.

0个B.

1个C.

2个D.

3个

∴∠

AEB

＝180°－(∠

BAE

＋∠

ABE

)＝180°－90°＝90°，故

③正确；第12题图∵∠

AEB

＝90°，∴

BE

⊥

AF

.

∵

BE

平分∠

ABC

，∴∠

ABE

＝∠

FBE

.

如图，延长

AE

交

BC

的延长线于点

F

.

第12题图∴△

ABE

≌△

FBE

(ASA).∴

AB

＝

BF

，

AE

＝

FE

.

∵

AD

∥

BC

，∴∠

EAD

＝∠

F

.

∴△

ADE

≌△

FCE

(ASA).∴

AD

＝

CF

.

∴

AB

＝

BF

＝

BC

＋

CF

＝

BC

＋

AD

，故①正确；∵△

ADE

≌△

FCE

，第12题图∴

CE

＝

DE

，即

E

为

CD

的中点，故②正确；∵△

ADE

≌△

FCE

，∴

S△

ADE

＝

S△

FCE

.

∴

S四边形

ABCD

＝

S△

ABF

.

二、填空题

(共4题，每题3分，共12分)

13.

如图，点

B

，

E

，

C

，

F

在同一条直线上，若∠

B

＝∠

DEF

，

AB

＝

DE

，要用SAS证明△

ABC

≌

DEF

，则可以添加的条件是

⁠

⁠.BC

＝

EF

(或

BE

＝

CF

)

14.

如图，在△

ABC

中，∠

A

＝60°，将△

ABC

沿

DE

翻折后，点

A

落

在

BC

边上的点A'处，如果∠A'EC＝70°

，那么∠A'DE＝

⁠.65°

15.

如图，淇淇用10块高度都是2

cm的相同长方体小木块垒了两堵与地

面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角尺(

AC

＝

BC

，∠

ACB

＝90°)，点

C

在

DE

上，点

A

和点

B

分别与两堵木墙的顶

端重合，则两堵木墙之间的距离

DE

是

⁠.20

cm

16.

如图，在△

AOB

和△

COD

中，

OA

＝

OB

，

OC

＝

OD

，

OA

＜

OC

，∠

AOB

＝∠

COD

＝36°，连接

AC

，

BD

交于点

M

，连接

OM

，

过点

O

作

OE

⊥

AC

于点

E

，

OF

⊥

BD

于点

F

.

给出以下结论：①∠

AMB

＝36°；②

AC

＝

BD

；③

OE

＝

OF

；④∠

EOF

＝36°.其中正确

的结论有

(填序号).①②③④

∴∠

OAC

＝∠

OBD

，

AC

＝

BD

.

故②正确；∵

OE

⊥

AC

，

OF

⊥

BD

，∴∠

OEA

＝∠

OFB

＝90°.又∵

OA

＝

OB

，∠

OAC

＝∠

OBD

，∴△

OAE

≌△

OBF

(AAS).∴

OE

＝

OF

，∠

AOE

＝∠

BOF

.

∴∠

AOE

－∠

BOE

＝∠

BOF

－∠

BOE

，即∠

AOB

＝∠

EOF

＝36°.故③④正确；由三角形的外角性质，得∠

AMB

＋∠

OBD

＝∠

AOB

＋∠

OAC

，∴∠

AMB

＝∠

AOB

＝36°.故①正确.∴正确的结论有①②③④.三、解答题(共52分)17.

(6分)如图，

AB

＝

AD

，∠

BAC

＝∠

DAC

＝25°，∠

D

＝