八年级上册《角平分线的判定》课件与练习

第十二章

全等三角形

12.3角的平分线的性质

12.3.2角平分线的判定

1.经历探索角平分线判定定理的过程，体会几何直观，发展推理能力.2.应用角的平分线性质定理和判定定理解决数学问题,发展模型观念.学习重点：探究角平分线的判定定理.学习难点：角平分线的性质定理和判定定理的准确应用.ODPP到OA的距离PDP到OB的距离PE.P是角平分线上的点几何语言描述：∵

OC平分∠AOB，且PD⊥OA，

PE⊥OB.∴PD=PE.ACB角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

叙述角平分线的性质定理.不必再证全等E知识点1

角平分线的判定学生活动一

【一起探究】交换角的平分线的性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？想一想角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.PAOBCDE角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．∵OC平分∠AOB，且PD⊥OA，

PE⊥OB，

∴PD=PE.几何语言：猜想:这个结论正确吗？已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D,E，PD=PE.求证：点P在∠AOB的平分线上.猜想证明BADOPE证明：作射线OP，∴点P在∠AOB的平分线上.在Rt△PDO和Rt△PEO中，（全等三角形的对应角相等）.

OP=OP（公共边），PD=PE（已知），BADOPE

∵PD⊥OA，PE⊥OB.∴∠PDO=∠PEO=90°，∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）.∴∠AOP=∠BOP判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.应用所具备的条件：（1）位置关系：点在角的内部；（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.PAOBCDE定理的作用：判断点是否在角平分线上.应用格式：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE.∴点P在∠AOB的平分线上.例

如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？DCS解：作夹角的角平分线OC，截取OD=2.5cm，D即为所求.O角平分线的判定的应用素养考点方法点拨：根据角平分线的判定定理，要求作的点到两边的距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平分线，再在这条角平分线上根据要求取点.如图，点P在∠AOB内部，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，PC＝3cm，当PD＝____cm时，点P在∠AOB的平分线上．33如图，AB∥CD，点P到AB，BC，CD的距离相等，则点P是

的平分线与

的平分线的交点．∠ABC∠BCD

分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？发现：三角形的三条角平分线相交于一点.三角形的内角平分线知识点2学生活动二

【一起探究】

分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？发现：过交点作三角形三边的垂线段相等.你能证明这个结论吗？已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.A

B

C

P

N

M

证明结论证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD=PE.同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.D

E

F

A

B

C

P

N

M

点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？点P在∠A的平分线上.

结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.D

E

F

A

B

C

P

N

M

想一想MENABCPOD过点O作ON⊥BC,OE⊥AB,垂足分别为点N，点E

.由题意得，ON+OE+OM=12.BCAP如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC,AP，BD交于点O，过点O作OM⊥AC，若OM＝4.(1)求点O到△ABC三边的距离和.

如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC,AP，BD交于点O，过点O作OM⊥AC，若OM＝4.

(2)若△ABC的周长为32，求△ABC的面积.MENABCPOD解：连接OC.MENABCPOD1.应用角平分线性质：存在角平分线涉及距离问题2.联系角平分线性质：距离面积周长条件归纳总结利用三角形的内角平分线的性质求值素养考点例

如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为()A．110°B．120°C．130°D．140°A解析：由已知，O到三角形三边的距离相等，即三条角平分线的交点，AO，BO，CO都是角平分线，所以有∠CBO＝∠ABO＝

∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝

∠ACB，∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°，∠OBC＋∠OCB＝70°，∠BOC＝180°－70°＝110°.方法点拨

由已知，O到三角形三边的距离相等，得O是三角形三条内角平分线的交点，再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数．角的平分线的性质图形已知条件结论PCPCOP平分∠AOBPD⊥OA于DPE⊥OB于EPD=PEOP平分∠AOBPD=PEPD⊥OA于DPE⊥OB于E角的平分线的判定

归纳总结1.如图，在CD上求一点P，使它到边OA，OB的距离相等，则点P是(

)A．线段CD的中点B．CD与过点O作CD的垂线的交点C．CD与∠AOB的平分线的交点D．以上均不对C2.如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BA和CD的延长线交于点E，若点P使得S△PAB＝S△PCD，则满足此条件的点P(

)A．有且只有1个B．有且只有2个C．组成∠E的平分线D．组成∠E的平分线所在的直线(E点除外)D角平分线的判定定理内容角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上作用判断一个点是否在角的平分线上结论三角形的角平分线相交于内部一点

角的内部到角的两边的距离相等的点在

上.角的平分线课后作业

1.

射线

OM

是∠

AOB

内的一条射线，下面的四个等式中，不能判定

OM

一定是∠

AOB

的平分线的是(

B

)B.

∠

AOM

＋∠

MOB

＝∠

AOB

C.

∠

AOM

＝∠

MOB

D.

∠

AOB

＝2∠

AOM

B2.

如图，在Rt△

ABC

中，∠

A

＝90°，∠

C

＝58°，点

O

在△

ABC

的

内部，

OM

⊥

AB

于点

M

，

ON

⊥

BC

于点

N

，若

OM

＝

ON

，则∠

OBC

的度数为(

D

)A.

20°B.

18°C.

17°D.

16°第2题图D3.

如图，已知点

P

到

AE

，

AD

，

BC

的距离相等，则下列说法：①点

P

在∠

BAC

的平分线上；②点

P

在∠

CBE

的平分线上；③点

P

在∠

BCD

的平分线上；④点

P

是∠

BAC

，∠

CBE

，∠

BCD

的平分线的交点.其

中正确的是

⁠.第3题图①②③④

4.

如图，

DE

⊥

AB

于点

E

，

DF

⊥

AC

于点

F

，若

BD

＝

CD

，

BE

＝

CF

.

求证：

AD

平分∠

BAC

.

第十二章全等三角形12.3角的平分线的性质《第2课时角平分线的判定》同步练习

角的平分线的判定1.

如图，用一把长方形直尺的一边压住射

线

OB

，再用另一把完全相同的直尺的一边压住射线

OA

，两把直尺的

另一边交于点

P

，则射线

OP

就是∠

AOB

的平分线的依据是(

C

)A.

角平分线上的点到这个角两边的距离相等B.

三角形三边垂直平分线的交点到三角形三顶点的距离相等C.

在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上D.

以上都不对第1题图C2.

如图，直线

AB

，

CD

相交于点

O

，

PE

⊥

AB

于点

E

，

PF

⊥

CD

于点

F

.

若

PE

＝

PF

，且∠

AOC

＝50°，则∠

EOP

的度数为(

A

)A.

65°B.

60°C.

55°D.

30°第2题图A3.

如图，在△

ABC

中，∠

C

＝90°，∠

A

＝36°，

ED

⊥

AB

于点

D

，

且

EC

＝

ED

，则∠

EBC

＝

⁠°.第3题图27

12

第4题图5.

【教材第51页习题12.3第5题改编】如图，

FO

平分∠

DFE

，

PD

⊥

OA

于点

D

，

PE

⊥

OB

于点

E

，

FD

＝

FE

.

求证：

OC

平分∠

AOB

.

三角形的角平分线6.

如图，在△

ABC

中，点

O

到三边的距离相等，∠

BAC

＝60°，则∠

BOC

的度数为(

A

)A.

120°B.

125°C.

130°D.

140°A7.

如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，请

在草坪上确定凉亭的位置

P

，使凉亭到草坪三条边的距离相等.(要求：

尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)解：如图所示.

8.

已知，在△

ABC

中，

AD

为∠

BAC

的平分线，

DE

⊥

AB

于点

E

，

F

为

AC

上一点，且∠

DFA

＝100°，则(

B

)A.

DE

＞

DF

B.

DE

＜

DF

C.

DE

＝

DF

D.

不能确定

DE

，

DF

的大小关系B【解析】根据题意画出图形如图所示，过点

D

作

DQ

⊥

AC

于点

Q

.

∵∠

BAC

的平分线

AD

交

BC

于点

D

，

DE

⊥

AB

，∴

DE

＝

DQ

.

∵

DF

＞

DQ

，∴

DF

＞

DE

.

9.

如图所示，直线

l1，

l2，

l3表示三条公路，现要建一个货物中转站，

要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有(

D

)A.

一处B.

两处C.

三处D.

四处第9题图D【解析】如图所示，∠

ABC

和∠

BAC

的平分线的交点

P1分别到各自角

两边的距离相等，利用角平分线的性质定理，可以得到点

P1也在∠

ACB

的平分线上，且到

l1，

l2，

l3的距离相等，同理还有∠

ABC

和∠

BAC

的邻补角的平分线的交点

P3，∠

ACB

和∠

BAC

的邻补角的平分线

的交点

P2，∠

ABC

和∠

BCA

的邻补角的平分线的交点

P4.因此可供选择

的地址有四处，即

P1，

P2，

P3，

P4.第9题图10.

如图，已知△

ABC

的周长是34，

BO

，

CO

分别平分∠

ABC

和∠

ACB

，

OD

⊥

BC

于点

D

，且

OD

＝4，则△

ABC

的面积是

⁠.第10题图68

【解析】如图，过点

O

作

OE

⊥

AB

于点

E

，

OF

⊥

AC

于点

F

，连接

OA

.

∵

BO

平分∠

ABC

，

OE

⊥

AB

，

OD

⊥

BC

，∴

OE

＝

OD

＝4.第10题图∵

CO

平分∠

ACB

，

OF

⊥

AC

，

OD

⊥

BC

，∴

OF

＝

OD

＝4.∵△

ABC

的周长为34，∴

AB

＋

BC

＋

AC

＝34.∴

S△

ABC

＝

S△

OAB

＋

S△

OBC

＋

S△

OAC

第10题图＝2

AB

＋2

BC

＋2

AC

＝2(

AB

＋

BC

＋

AC

).＝2×34＝68.第10题图11.

如图，

AD

∥

BC

，∠

D

＝90°，

P

为CD

中点，

BP

平分∠

ABC

.

(1)求证：

AP

平分∠

DAB

；(1)证明：∵

AD

∥

BC

，∠

D

＝90°，∴∠

C

＝∠

D

＝90°.