安徽省六校教育研究会2025届高三下学期2月素质检测考试数学试题含答案

安徽六校2025年春季素质检测考试命题单位：湖北省黄冈中学审稿单位：重庆市南开中学注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={yly=√2-3x},集合B={xly=log₃(1-2x)},则A∩B=ABC.[2,3]AB3.已知单位圆0上有两点A,B,,设向量a=nOA+OB,b=OA+OB,若|a+6|=√3,则实数n的值为A.-1B4.现有6名同学到3家不同的养老院参加“关爱孤寡老人”爱心志愿活动，若每家养老院安排2名同学，6.已知一件艺术品由外层一个大正四面体，内层一个小正方体构成，外层正四面体的棱长为2,在该大正四面体内放置一个棱长为a的小正方体，并且小正方体在大正四面体内可以任意转动，则a的最大值为7.已知椭圆C:的上顶点为A,左、右焦点分别为F,F₂,连接AF₂并延长交椭圆C于另一点B,若IF₁BI:IABI=5:7,则椭圆C的离心率为A数学试题第1页(共4页)A3亿人都在用的扫描App3亿人都在用的扫描App8.已知可导函数f(x)的定义域为R,且有f(x)-f(4-x)=4x-8,设g(x)是f(x)的导函数，若g(x+1)为A.2025B.2026C.4050二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数,则下列说法正确的是D.函数f(x)的图象可由的图象向左平移单位长度得到10.对于函数y=f(x),如果对于其定义域D中任意给定的实数x,都有-xeD,并且f(x)·f(-x)=2,则称C.若函数y=f(x)在R上为“比翼函数”,当x>0,,则x<0,f(x)=2-²+x²若H(x₁)+H(x₂)>0,则x₁+x₂>011.我国知名品牌小米公司的Logo具备“超椭圆”数学之美，设计师的灵感来源于数学中的曲线C:为常数，n∈R且n≠0).则下列有关曲线C的说法中正确的是A.对任意的n∈R且n≠0,曲线C总关于x轴和y轴对称B.当a=b=1,n=-2时，曲线C上的点到原点的距离最小值为2C.当a=1,b=2时，曲线C与坐标轴的交点个数为5个三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.已知各项为正数的数列{a}是等比数列，且其前n项和为Sa若S₂=6,S₄=30,则a₁=·13.设函数f(x)=In(4-x)+Inx+ax(a>0),若f(x)在[1,2]上的最大值恒大于4,则实数a的取值范围数学试题第2页(共4页)15.(13分)(2)若对任意x∈(0,+∞),f(x)≤x²+2恒成立，求实数a的取值范围.16.(15分)如图所示，半圆柱的轴截面为平面BCC₁B₁,BC是圆柱底面的直径，0为底面圆心，A4,为一条母线，点E在棱CC₁上，且CE=ACC,,0<A<1,且AB=AC=AA₁=4.(2)当时，求平面AB₁E与平面B₁OE夹角的余弦值.17.(15分)投掷一枚均匀的骰子，每次掷得的点数为1或2时得1分，掷得的点数为3,4,5,6时得2分；独立地重复(1)设投掷2次骰子，最终得分为X,求随机变量X的分布列与期望；数学试题第3页(共4页)18.(17分)已知双曲线C:)的右顶点E(1,0),斜率为1的直线交C于M、N两点，且MN中点Q(1,3).(1)求双曲线C的方程；(3)经过点T(0,2)且斜率不为零的直线l与双曲线C的两支分别交于点A,B.若点D是点B关于y轴的19.(17分)(2)对于给定的n,设a是正整数数列a,a₂,…,a的最大项；和和数学试题第4页(共4页)安徽六校2025年春季素质检测考试数学试题参考答案题号123456789ADBCBCCD1.A【解析】由2-3x≥0,得到,所以y=√2-3x的值域为[0,+∞],因为y=log₃(1-2x)的定义域为,得到A=[0,+∞],所以因为a=nOA+OB,b=OA+OB,且la+b1=√3,所以la+bl²=(nOA+OB+OA+OB)²=[(n+1)OA+2OB],解得n=-2.再让3个小组分别前往不同的养老院，因此共有安排方法15×A₃=90(种).有C²=6(种),最后安排3号养老院，有C²=1(种),根据分步乘法计数原理，因此共有安排方法15×6×1=90(种).6.C【解析】当这个小正方体可以在大正四面体内部任意转动且小正方体的棱长最由正四面体的性质可得：AE⊥面BCD.因为正四面体ABCD棱所以底面三角形BCD的高为,则所以正四面体ABCD的高设正四面体ABCD内切球的半径为R,球心为0.7.C【解析】由题意可得因为IF₁BI:IABI=5:8.D【解析】:f(x)-f(4-x)=4x-8,∴两边求导得f'∴g(x)+g(4-x)=4,可知g(x)关于点(2,2)对称，由g(x)+g(4-x)=4,可得g(x)=4-g(4-x),因此g(2-x即g(x)=4-[4-g(x+2+2)]=g(x+4),可知4为g(x)的周期，对于B,因为,而函数y=sinx在)上不单调，故D正确.对于D,因为函数y=f(x)是R上的“比翼函所以任取m、n∈R且m>n,则-m<-n,所以H(m)-H(n)=[f(-m)-f(m)]-[f(-n)-f(n)]=[f(-m)-f(-n)]+[f(n)-f(m)]>0,因为H(-x)=f(x)-F(7x)=-H(x),故函数H(x)为R上的奇函数，11.ABD【解析】对于A,取曲线C上点P(x,y),则(x,-y),(-x,y)在曲线C上，故曲线C总关于x轴和 故曲线C上的点到原点的距离最小值为2,故B正确；所以y=2或y=-2,所以曲线C与y轴有2个交点，对于D,当a=b=1,时，由x²+y²=(x²)³+(y²³=(x³+y)[(x³+y³)²-3(xy)³]=,当且仅当lxl=Iyl时等号成立，故曲线C上的点到两式相除得q²=4,则q=2,所以解得m=√3(m>1);所以当△ABC的面积取最大值时,此时m=√3.【解析】(1)∵函数f(x)=xlnx的定义域是(0,+∞),∴f'(x)=Inx+1.……………1分综上，f(x)的单调递减区间,单调递增区间是.…………………5分(2)∵任意x∈(0,+∞),f(x)≤x²+2,令h'(x)=0,得x₁=2,x₂=-1(舍去).故实数a的取值范围是[ln2-3,+]1(1)证明见解析由圆柱的特征可知BB₁⊥平面ABC,又A0C平面ABC,所以BB₁⊥A0,因为BB₁NBC=B,BB₁,BCC平面BCC₁B₁,则AO平面BCC₁B₁,3分而OEC平面BCC₁B₁,则A0⊥OE,因为AB=AC=AA₁=4,则BC=√2AB=4/B₁E²=EC²+B₁C²=36=B₁0}+OE²,所以B₁O⊥0E,6分所以OE⊥平面AB₁0,又AB₁C平面AB₁O,故OE⊥AB₁7分则B₁(4,0,4),E(0,4,1),0(2,2,0),所以AB₁=由(1)知A0⊥平面B₁OE,故平面B设π=(x,y,z)是平面AB₁E的一个法向量，则有,取z=-4,可得π=(4,1,-4)…………………12分设平面AB₁E与平面B₁OE夹角为θ,则平面AB₁E与平面B₁OE夹角的余弦值……15分【解析】(1)X的可能取值为2,3,4,…………………1分,…4分X24P数学期望 (2)由题意知-(n≥2), 9 17分当n=1时，上式也成立，…………………(2)证明见解析,,则x₁+x₂=2,=(x₁-1)(x₂-1)+(x₁+2………5分分(3)设l方程为y=kx+2,k≠0,联立直线l与C的方程，消去y得(3-k²)x²-4k因为直线l与C的两支分别交于点A,B,设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),所以,得0<k²<3,因为,所以直线AD的方程为由对称性可知，若直线AD过定点，则定点在y所以直线AD过定点，定点坐标为……………17分从而a₁-a₂≥1,a₂-a₃≥2,……,a₉-a₁≥9,