数学-江西省部分学校2025届高三金太阳3月联考试题和答案

绝密★启用前高三数学考试注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。4.本试卷主要考试内容:高考全部内容。一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合A={—1,0,1,2},B={父∈N|父<4},U=AUB,则CU(A∩B)=则义=3.已知cos则sinαsinβ=4.已知正三角形ABC的边长为2,点E满足则●6.函数f=sin在上的零点个数为7.已知函数f(父)的定义域为且当父≤0时,f(父)=父,则当父>0时,f(父)的解析式可以是A.f(父)=ln(父十1)B.f(父)=2父C.f(父)=e父—1D.f(父)=父2【高三数学第1页(共4页)】●【高三数学第2页(共4页)】●8.象牙镂雕套球又称“同心球”,制作相当繁复,工艺要求极高.据《格古要论》记载,早在宋代就已出现3层套球,时称“鬼工球”.某象牙镂雕套球的直径为12cm,其表面的圆形孔的直径均为4cm,记其中两个圆形孔的圆心为O1,O2,如图所示,若O1O2=6cm,则圆O1与圆O2所在平面的夹角的正弦值为●A. ●二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.已知函数下列命题正确的是A.若f(父)是奇函数,则a=—2B.若f(父)是奇函数,则a=0C.若f(父)是减函数,则a的取值范围为(—∞,—1]D.若f(父)是减函数,则a的取值范围为(—∞,—2]10.已知抛物线C:y2=2P父(P>0)的顶点为O,焦点为F,准线为l,P是抛物线C上异于O的一点,过点P作PQ丄l于点Q,下列结论正确的是A.线段FQ的垂直平分线经过点PB.过点P且与抛物线C相切的直线垂直平分线段FQC.直线QF与直线PF可能垂直D.若△PQF是直角三角形,则直线OP的斜率为±211.某校篮球社团准备招收新成员,要求通过考核才能加入,考核规则如下:报名参加该社团的学生投篮n次,若投中次数不低于投篮次数的50%,则通过考核.学生甲准备参加该社团,且他的投篮命中率为0.9,每次是否投中相互独立.若n=3,记甲通过考核的概率为P1,若n=20,记甲通过考核的概率为P2,若n=21,记甲通过考核的概率为P3,若n=19,记甲通过考核的概率为P4,若n=22,记甲通过考核的概率为P5,则A.P1=0.972B.P2<P3C.P2<P4D.P2<P512.在等差数列{an}中,a4十a5=6,则a1十a2十a3十…十a8=▲.【高三数学第3页(共4页)】●13.已知b,c,d均为实数,若父3十b父2十c父十d>0的解集是{父|父>a且父≠a十1},则函数14.台球是球类运动项目之一,是运动员在台球桌上,用一根长的球杆,按照一定的规则,通过击打白色主球,使目标球入袋的一项体育休闲项目.如图,三角架内有15个大小相同的球,且球与球,球与三角架均相切.若三角架为边长是34.2cm的等边三角形,则 球的半径为▲cm.(取\3=1.7)如图,在平面四边形ABCD中,AB丄AD,E为线段BC的中点,AD=AB=2,上若上求△ABE的面积;(2)若CD=2\,求AE.CDCA已知双曲线的左、右顶点分别为A1(—1,0),A2(1,0),离心率(1)求双曲线Γ的方程;(2)O为坐标原点,过点M(—2,0)且斜率不为0的直线l交双曲线Γ于P,Q两点(点P在第一象限,点Q在第二象限),直线OQ交双曲线Γ于点R,证明:A1R丄A2P.【高三数学第4页(共4页)】●如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD丄平面ABCD,ABⅡCD,AB丄AD,AC丄BP,AD=AB=2CD=2.(1)证明:△PAD是等腰三角形.(2)若平面PAB丄平面PBC,求点A到平面PBC的距离.PCAB已知有穷数列{an}的通项公式为an=n.从{an}中选取第i1项、第i2项、…、第im项(i1<i2<…<im,m≥3),若ai1,ai2,…,aim是等比数列,则称新数列ai1,ai2,…,aim为{an}的等比子列.(1)要使得{an}有等比子列,{an}至少有多少项?(2)若{an}共有25项,从{an}中随机选取3项,求这3项可以构成{an}的等比子列的概率.(3)若{an}共有100项,求{an}的等比子列的公比的最小值.(1)若a=2,求曲线y=f(父)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若a>0,V父∈(0,十∞),f(父)>0,求a的取值范围;(3)若f(父)的定义域为D,V父∈D,f(父)≥0,求a的取值集合.高三数学考试参考答案题序123456789答案BDDCBCACACABDAD 3评分细则:【1】第1~8题,凡与答案不符的均不给分.【2】第9~11题,全部选对的得6分,有选错的不得分,部分选对的得部分分(第9题和第11题每选对一个得3分,第10题每选对一个得2分).【3】第12~14题,凡与答案不符的均不给分.1.B【解析】本题考查集合,考查数学运算的核心素养.U={—1,0,1,2,3},A∩B={0,1,2},CU(A∩B)={—1,3}.2.D【解析】本题考查复数,考查数学运算的核心素养.因为所以叉3.D【解析】本题考查三角恒等变换,考查数学运算的核心素养.因为co5(α十β)=co5αco5β—5inα5inβ=,co5(α—β)=co5αco5β十5inα5in所4.C【解析】本题考查平面向量,考查数学运算的核心素养.5.B【解析】本题考查统计,考查数学运算的核心素养.这组数据的平均数父=2×0.3十4×0.4十6×0.3=4.6.C【解析】本题考查三角函数,考查逻辑推理的核心素养.EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up6(1),父)时,t∈[2,10.1),3π<10.1<4π,函数y=5int在[2,10.1)f(父)在,10)上有6个零点.7.A【解析】本题考查抽象函数,考查逻辑推理的核心素养.结合函数的图象可得,A选项符合题意.8.C【解析】本题考查立体几何,考查直观想象、数学运算的核心素养.记该象牙镂雕套球的球心为O,圆O1与圆O2所在平面的夹角即为上O1OO2(或其补角),OO1=OO2=\=4\上上O1OO2= 9.AC【解析】本题考查函数,考查逻辑推理、数学运算的核心素养. 当父>0时,—父<0,f(—父)=—父—1十2.若f(父)是奇函数,则f(父)=—f(—父)=十a,解得a=—2,A正确.若f是减函数,则十a≤0,解得a≤—1,C正确.10.ABD【解析】本题考查抛物线,考查数学运算的核心素养.因为线段FQ的垂直平分线上的点到点F,Q的距离相等,且点P在抛物线C上,根据定义可知,|PQ|=|PF|,所以线段FQ的垂直平分线经过点P,A正确.不妨设点P在第一象限线段FQ的中点坐标为结合A选项的结论可得,线段FQ的垂直平分线的斜率为 由y2=2p父,可得,所以过点P的切线的斜率为,所以过点P的切线与线段FQ的垂直平分线重合,即过点P且与抛物线C相切的直线垂直平分线段FQ,B正确.EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up5(—→),FP)=,EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up5(—→),FQ)=(—p,\2p父0),若直线QF与直线PF垂直,则EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up5(—→),FP)●EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up5(—→),FQ)=十2p父0=0,解得p=0或父,都不符合题意,所以直线QF与直线PF不可能垂直,C错误.若△PQF是直角三角形,结合C选项的结论,只能是上QPF=90。,所以P(,±p),直线OP的斜率为±2,D正确.11.AD【解析】本题考查概率,考查逻辑推理的核心素养.记甲的投中次数为X,则X~B(n,0.9).对于A选项,当n=3时,甲通过考核最少要投中2次,P1=CEQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up4(2),3)0.92×(1—0.9)十0.93=对于B选项,当n=20时,将甲的投中次数分为以下3种情况,分别为X≥11,X=10,X≤9.P2=P(X≥11)十P(X=10).当n=21时,甲通过考核最少要投中11次.若前20次里投中次数不少于11,则第21次不管投中与否都通过考核;若前20次投中10次,则第21次投中才能通过考核;若前20次里投中次数不超过9,则第21次不管投中与否都不能通过考核.P3=P(X≥11)十0.9P(X=10),显然P2>P3,B错误.对于C选项,当n=19时,将甲的投中次数分为以下3种情况,分别为X≥10,X=9,X≤8.P4=P(X≥10).当n=20时,若前19次里投中次数不少于10,则第20次不管投中与否都通过考核;若前19次投中9次,则第20次投中才能通过考核;若前19次里投中次数不超过8,则第20次不管投中与否都不能通过考核.P2=P(X≥10)十0.9P(X=9),显然P2>P4,C错误.对于D选项,当n=20时,将甲的投中次数分为以下4种情况,分别为X≥11,X=10,X=9,X≤8.P2=P(X≥11)十P(X=10).当n=22时,甲通过考核最少要投中11次.若前20次里投中次数不少于11,则第21,22次不管投中与否都通过考核;若前20次投中10次,则第21,22次至少要投中1次才能通过考核;若前20次投中9次,则第21,22次都投中才能通过考核;若前20次里投中次数不超过P5=P(X≥11)十0.99P(X=10)十0.81P(X=9),P2—P5=0.01P(X=10)—0.81P(X=9)=0.01[P(X=10)—81P(X=9)].81P(X=9),P2—P5<0,P2<P5,D正确.12.24【解析】本题考查等差数列,考查数学运算的核心素养.a1十a2十a3十…十a8=4(a4十a5)=24. 13.27【解析】本题考查一元函数的导数及其应用,考查数学运算的核心素养.因为原不等式的解集是{父|父>a且父≠a十1},所以f(父)=(父—a)[父—(a十1)]2.fI(父)和(a十1,十∞)上单调递增,在=[父—(a十1)]2十2(父—a)[父—(a十1)]=[父—(a十1)](3父—3a—1).令fI(父)=0,解得和(a十1,十∞)上单调递增,在上单调递减极大值=fCED14.3【解析】本题考查直线和圆的方程,考查直心素养.CED可构建如图所示的平面图形,设球的半径为ABAB15.【解析】本题考查解三角形,考查数学运算的核心素养.C解:(1)过点B作BF丄CD,垂足为F.FC……2分易得BF=AD=2,所以BC=……2分A△ABE的面积为上A上上(2)连接BD.在△BCD中,由正弦定理得解得5in上上上因为上………………9分因为上………………9分=2,上ABE=.…10分=22,BE\=2,上ABE=.…10分=22,BE\ABE\在△ABE中,由余弦定理知AE=\ABABE\在△ABE中,由余弦定理知AE=\AB2十BE2—2AB.BEco5上评分细则:【1】若最终结果正确,前边有关键步骤即给满分.【2】若最终结果错误,则按得分点给分.16.【解析】本题考查双曲线,考查数学运算的核心素养.解得c=2,b2=3解得c=2,b2=3,所以双曲线Γ的方程为父(2)证明:设直线l:父=my—2(m>\,点P(父1,y1),Q(父2,y2),则R(—父2,(2)证明:设直线l:父=my—2(m>\……………6分联立得y2—12my十9=0,—→—→A1R=(—父—→—→A1R=(—父2十1,—y2),A2P=(父1—1,y1),10分—→—→则A1R.A2P=(—父2十1)(父1—1)—y1y2=(—my2十2十1)(my1—2—1)—y1y —1—9=0,…………14分所以A1R丄A2P.………… 【1】对于第(1)问,若最终结果正确,前边有关键步骤即给满分,写出给1分,写出—→—→【2】对于第(2)问,证明A1R.A2P=0的过程不够详细扣2分,其他按步骤给分.17.【解析】本题考查空间向量与立体几何,考查直观想象、数学运算的核心素养.(1)证明:设O为AD的中点,连接OB,OP.由条件可知,Rt△ADC≥Rt△BAO,所以上DAC=上ABO,上DAC十上AOB=上ABO十上AOB=90。,即AC丄BO.………………2分又AC丄BP,BO,BPG平面POB,BO∩BP=B,所以AC丄平面POB.因为POG平面POB,所以AC丄PO.……………………3分因为平面PAD丄平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,AB丄AD,所以AB丄平面PAD.因为POG平面PAD,所以AB丄PO.……………………4分因为AB,ACG平面ABCD,AB∩AC=A,所以PO丄平面ABCD.因为ADG平面ABCD,所以PO丄AD.在△PAD中,PO丄AD,O为AD的中点,所以PA=PD,即△PAD是等腰三角形.…………………6分(2)解:以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.设OP=a(a>0),则P(0,0,a),A(1,0,0),B(1,2,0),C(—1,→→→CB=(2,1,0),PB=(1,2,—a),AB=(0,2,0).…………8分设平面PAB的法向量为n=(父1,y1,z1),则取父1=a,则n=(a,0,1).………………9分设平面PBC的法向量为m=(父2,y2,z2),则取父2=—a,则m=(—a,2a,3).……10分因为平面PAB丄平面PBC,所以m●n=—a2十3=0,解得………………12分可知AP=2=AB,BP=2\.又因为AB丄AP,所以△ABP是等腰直角三角形.…………………13分取BP的中点E,连接AE,则AE丄BP.又因为平面PAB丄平面PBC,平面PAB∩平面PBC=BP,所以AE丄平面PBC,所以AE的长为点A到平面PBC的距离.因为AE=\,所以点A到平面PBC的距离为\.……15分评分细则:【1】对于第(1)问,若取O为AD的中点,则按步骤给分;也可作PO丄AD,垂足为O,再证明O为AD的中点;其他证法,只要合理,不扣分.【2】对于第(2)问,若最终结果正确,前边有关键步骤即给满分,若最终结果错误,则按得分点给分.成功建系(以点A或点D为原点建系都可以,不管坐标是否正确),得1分;不看步骤逻辑只看得分点,写出求法向量的公式,1个得1分;写出法向量的乘积为0(m●n=0),得1分;找到点A到平面PBC的距离(即AE的长),给1分.解:(1)因为m≥3,所以{an}至少有3项.…………………1分当{an}有3项时,{an}为1,2,3,不是等比数列.…………2分{an}有等比子列.综上,要使得{an}有等比子列,{an}至少有4项.…………4分(2)因为{an}共有25项,所以1≤ai1<ai2<ai3≤25.从{an}中随机选取3项,这3项可以构成{an}的等比子列的情况如下:1,2,4;1,3,9;1,4,…………………8分故这3项可以构成{an}的等比子列的概率为…………………9分(3)只考虑{an}的等比子列的公比情况,则从{an}中选取3项研究即可.假设ai1,ai2,ai3是等比数列,其公比为q.因为{an}共有100项,所以1≤ai1<ai2<ai3≤100.…………10分当q为分数时,设为最简分数,且则因为{an}的各项都是整数,所以为整数,所以m2是ai1的约数.设ai1=tm2(t为整数),则ai2=tmn,ai3=tn2.…………12分因为为最简分数,且所以分当q取最小值时,n=m十1,ai1,ai2,ai3即tm2,tm(m十1),t(m十1)2.………………14分要使得m取最小值,则m取最大值.…………………15分t(m十1)2≤100,当t=1时,(m十1)2取最大值,最大值为100,即m的最大值为9,所以m的最小值为9.故{an}的等比子列的公比的最小值为.………………17分评分细则:【1】对于第(1)问,若答案正确,无解题过程,或解题过程含糊不清,得2分.【2】对于第(