山东省名校联盟2024-2025学年高一下学期3月校际联考数学试题（原卷版+解析版）

2025年3月高一校际联考（名校卷）数学试题命题单位：济南市历城第二中学·数学学科组本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量，则（）A. B. C. D.2.已知是虚数单位，则（）A. B. C. D.3.在中，已知，则的面积为（）A. B. C.1 D.24.在中，在线段上，为的角平分线，若，则（）A B.C. D.5.如图，在测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点．现测得，在点测得塔顶的仰角为，则塔高（）A. B. C. D.6.已知复数可以表示为，其中，是以轴非负半轴为始边，向量所在射线为终边的角．已知与的乘积，则将向量绕原点逆时针旋转，长度变为原来的2倍后，得到向量的坐标为（）A. B. C. D.7.如图所示，的三条边均与圆相切，其中，则圆的半径约为（）A5.861 B.5.674 C.5.076 D.4.9268.已知向量是平面向量，，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值为（）A B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知平面向量，则下列说法正确的是（）A B.C.向量与的夹角的余弦值为 D.向量在上的投影向量为10.设为复数，则下列结论正确的有（）A B.C.若，则 D.若，则11.已知三角形的外心，重心，垂心依次位于同一条直线上，且重心到垂心的距离是重心到外心距离的两倍．若的外心为，重心为，垂心为为边的中点，且，则下列结论正确的有（）A. B.C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知i为虚数单位，若复数为纯虚数，则的值为______．13.如图，在中，点满足，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，则的值为______．14.在圆内接四边形中，，则面积的最大值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在三角形中，分别是边的中点，已知．（1）求三角形的面积；（2）求三角形的周长．16.已知复数，其中i为虚数单位．（1）若，求；（2）若，求的值．17.已知是平面内两个不共线的向量．（1）若，求证：三点共线；（2）试确定实数，使和共线；（3）若，求实数的值．18.已知三角形的内角的对边分别是，且满足．（1）求角A的大小；（2）若三角形的面积为10，内切圆的半径为1，求；（3）若的角平分线交于，且，求三角形面积的最小值．19.个有次序的实数所组成的有序数组称为一个维向量，其中称为该向量的第个分量.特别地，对一个维向量，若，则称为维信号向量．设，，则和的内积定义为，且．（1）直接写出4个两两垂直的4维信号向量；（2）证明：不存在14个两两垂直的14维信号向量；（3）已知个两两垂直的2024维信号向量.若它们的前个分量都是相同的，求证：．

2025年3月高一校际联考（名校卷）数学试题命题单位：济南市历城第二中学·数学学科组本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用向量的坐标运算求解即得.【详解】由向量，得.故选：D2.已知是虚数单位，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据给定复数进行除法运算即可得解.【详解】.故选：A3.在中，已知，则的面积为（）A. B. C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】利用三角形面积公式计算.【详解】.故选：A.4.在中，在线段上，为的角平分线，若，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用三角形面积可得，再利用向量的线性运算求解判断.【详解】在中，为的角平分线，，，即，因此，所以.故选：C5.如图，在测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点．现测得，在点测得塔顶的仰角为，则塔高（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理和锐角三角函数定义求解即可.【详解】在中，由正弦定理得，则，在中，，所以.故选：A6.已知复数可以表示为，其中，是以轴非负半轴为始边，向量所在射线为终边的角．已知与的乘积，则将向量绕原点逆时针旋转，长度变为原来的2倍后，得到向量的坐标为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将向量对应的复数表示为，再由给定信息求出向量对应的复数即可.【详解】设射线为终边的角为，而，则，，，向量对应复数，所以向量的坐标为.故选：B7.如图所示，的三条边均与圆相切，其中，则圆的半径约为（）A.5.861 B.5.674 C.5.076 D.4.926【答案】C【解析】【分析】作出辅助线，用圆半径的表示出，结合已知求出，再用三角恒等变化求解.【详解】令圆切直线于点，连接，设圆半径为，依题意，，则，则，得，因此.故选：C8.已知向量是平面向量，，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先确定向量所表示的点的轨迹，再根据直线与圆的位置关系求出最小值．【详解】设向量共起点，由，得，令，则，，因此点的轨迹是以线段为直径的圆，令圆心为，则，圆半径为1，由与的夹角为，得向量的终点在与所成角为的两条射线上，如图，而是圆上的点与射线上的点间距离，过作垂直于射线于，，所以的最小值为.故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知平面向量，则下列说法正确的是（）A. B.C.向量与的夹角的余弦值为 D.向量在上的投影向量为【答案】ABD【解析】【分析】根据给定条件，求出的坐标，再结合数量积的坐标运算逐项求解判断.【详解】由向量，得，，对于A，，则，A正确；对于B，，B正确；对于C，，则，C错误；对于D，，向量在上的投影向量，D正确.故选：ABD10.设为复数，则下列结论正确的有（）A. B.C.若，则 D.若，则【答案】AB【解析】【分析】利用复数的乘法、共轭复数的意义及复数的模的公式求解判断AB；举例说明判断CD.【详解】设，对于A，，则，，A正确；对于B，，B正确；对于C，取，满足，而，，C错误；对于D，取，，而，D错误.故选：AB11.已知三角形的外心，重心，垂心依次位于同一条直线上，且重心到垂心的距离是重心到外心距离的两倍．若的外心为，重心为，垂心为为边的中点，且，则下列结论正确的有（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根据给定条件，利用向量与四心的性质逐项求解判断.【详解】对于A，由重心为G，得，则，A正确；对于B，外心为O，有，，，B错误；对于C，由重心为G，得，由欧拉线定理得，因此，C正确；对于D，由，得，则，，D正确.故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知i为虚数单位，若复数为纯虚数，则的值为______．【答案】【解析】【分析】由纯虚数概念可得答案.【详解】，因为纯虚数，则.故答案为：13.如图，在中，点满足，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，则的值为______．【答案】3【解析】【分析】运用向量线性运算及三点共线结论即可求得结果.【详解】由，得，而，，则，又、、三点共线，则，所以.故答案为：314.在圆内接四边形中，，则面积的最大值为______．【答案】【解析】【分析】根据给定条件，利用余弦定理确定的形状，设并结合正弦定理表示出，再利用三角形面积公式求出最大值.【详解】在中，，由余弦定理得，则，，是四边形外接圆直径，，设，则，在中，，由正弦定理得，即，在中，，，当且仅当时取等号，所以面积的最大值为.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在三角形中，分别是边的中点，已知．（1）求三角形的面积；（2）求三角形的周长．【答案】（1）（2）【解析】【分析】如图设，利用结合余弦定理可得三角形三边.（1）由余弦定理可得，进而可得，即可得面积；（2）三边相加可得周长.【小问1详解】如图，因分别是边的中点，则设.注意到，则.则由余弦定理：.解得.则在三角形中，.由余弦定理可得，从而.则三角形的面积为：；【小问2详解】由（1）易得三角形的周长为16.已知复数，其中i为虚数单位．（1）若，求；（2）若，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用复数的模和共轭复数的运算结论代入已知表达式，利用复数相等的条件：实部和虚部相等，建立方程组求解；（2）利用错位相减法，结合复数虚数单位的幂的运算求解.【小问1详解】首先，复数的模长平方

，共轭复数

.代入方程得：，展开并整理实部和虚部：，根据复数相等的条件，得到两个方程：，解得，代入第一个方程：，因此，复数；【小问2详解】考虑.则.相减得：其中，（因为），且。因此：解得：，因此，，即，，故.17.已知是平面内两个不共线的向量．（1）若，求证：三点共线；（2）试确定实数，使和共线；（3）若，求实数的值．【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）计算

，观察

与

的关系，即可得到结论；（2）根据向量共线的条件，利用向量共线定理，求得；（3）计算

和

坐标，利用向量垂直的坐标表示求得.【小问1详解】,所以，则有

，又

与

有公共点，因此

三点共线.【小问2详解】由于

和

共线，存在实数

使得：和共线，有，则有，解得

，所以.【小问3详解】，则，，由，则，解得.18.已知三角形的内角的对边分别是，且满足．（1）求角A的大小；（2）若三角形的面积为10，内切圆的半径为1，求；（3）若的角平分线交于，且，求三角形面积的最小值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由正弦定理边角互化结合三角函数和差角公式可得答案；（2）由三角形面积及内切圆的半径可得，由三角形面积及（1）可得，最后结合余弦定理可得答案；（3）如图由几何知识可设，则，据此可得面积表达式，然后由两角和的正切公式结合基本不等式取等条件可得答案.【小问1详解】由正弦定理边角互化可得：又，则，从而，结合，则或（舍去）.故.【小问2详解】因三角形的面积为10，内切圆的半径为.则，则.又由（1），.则由余弦定理：.化简后可得：；小问3详解】如图，过D点做AB，AC垂线，垂足为E，F.由（1）可得，则，又由角平分线性质可得，又注意到，，则，设，则.又，则.其中.故三角形面积：.注意到.则.要使最小，则需使最大.注意到，则由基本不等式取等条件可得，要使最大，需满足.则，此时，即三角形为等边三角形.19.个有次序的实数所组成的有序数组称为一个维向量，其中称为该向量的第个分量.特别地，对一个维向量，若，则称为维信号向量．设，，则和的内积定义为，且．（1）直接写出4个两两垂直的4维信号向量；（2）证明：不存在14个两两垂直的14维信号向量；（3）已知个两两垂直的2024维信号向量.若它们的前个分量都是相同的，求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析；【解析】【分析】（1）由题可写出答案；（2）考虑存在14个两两垂直的14维信号向量，任取其中两个，可得有7个分量相同，则有7个分向量不同，再通过假设第三个与他们垂直向量存在，从而利用反证法完成证明；（3）通过个2024维信号向量后个分量组成的向量的和向量模长为非负数，结合题意可完成证明.【小问1详解】由题可得4个两两垂直的4维信号向量可以为：；小问2详解】证明：假设存在14个两两垂直14维信号向量，任取其中两个不同向量，.因，则设与中，有个分量相同，则有个分向量不同.因，则.再取任意与和不同向量，设在与相同分量的7个位置中，有个分量与相同，则有个分量与相反，在与相反分量的7个位置中，有个分量与相同，则有个分量与相反.因，则.由上可得在与相同分量的7个位置中，有个分量与相同，则有个分量与相反，在与相反