江苏省南京市南京师范大学附属中学秦淮科技高中2024-2025学年高一下学期第一次阶段性检测（3月）数学试题（原卷版+解析版）

附中科高2024级高一（下）第一次阶段性检测数学本卷考试时间：150分钟总分：150分命题人：吕俊审核人：石磊第Ⅰ卷（选择题共58分）一、选择题，本大题共8小题，每小题5分，计40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题纸的指定位置填涂答案选项．1.计算等于（）A. B. C. D.2.设且则A. B. C. D.3.设关于x方程有实数解，则p是q的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，则（）A. B.C. D.5.已知向量，满足，，则向量与的夹角的余弦值等于（）A.0 B. C. D.6.设，则有（）A. B. C. D.7.已知正方形的边长为是它的外接圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是（）A B. C. D.8.平面内，定点，，，满足，且，动点，满足，，则的最大值为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，计18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分进心的得部分分，有选错的得0分，9.已知向量，则（）A. B.向量夹角为C. D.在上的投影向量是10.已知函数，则下列函数判断正确是（）A.为奇函数B.的图象关于直线对称C.在上单调递减D.的图象关于点对称11.如图，在梯形中，，，为线段的中点，与交于点，为线段上的一个动点，则（）AB.向量与共线C.D.若，则最大值第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，计15分，请把答案写在答题纸的指定位置上．12.已知向量，，，______．13.设向量，且，则________；＝________.14.在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是______.四、解答题：本大题共5小题，计77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区城内．15.已知向量.（1）若，求的值；（2）若，求实数的值；（3）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围.16.已知锐角的终边与单位圆相交于点.（1）求实数及的值；（2）求的值；（3）若，且，求的值.17.如图，在矩形中，点在边上，，且.M是线段上一动点.（1）M是线段的中点，求的值；（2）若，求的最小值.18.某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角和以为直径的半圆拼接而成，点P为半圈上一点（异于），点H在线段上，且满足.已知，设.（1）为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足，且达到最大，当为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果；（2）为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足，且达到最大.当为何值时，取得最大值，并求该最大值.19.如图，是单位圆（圆心为）上两动点，是劣弧（含端点）上的动点.记（均为实数（1）若到弦的距离是，（i）当点恰好运动到劣弧的中点时，求的值；（ii）求的取值范围；（2）若，记向量和向量的夹角为，求的最小值.

附中科高2024级高一（下）第一次阶段性检测数学本卷考试时间：150分钟总分：150分命题人：吕俊审核人：石磊第Ⅰ卷（选择题共58分）一、选择题，本大题共8小题，每小题5分，计40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题纸的指定位置填涂答案选项．1.计算等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用角的变换将转化为，再用两角差的正弦展开，化简后，逆用两角和的正弦求解.【详解】故选：A【点睛】本题主要考查了两角和与差的正弦的正用和逆用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.2.设且则A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】[方法一]：.故选：C.[方法二]：又.故选：C.[方法三]：由已知得，，去分母得，，所以，又因为，，所以，即，故选：C.考点：同角间的三角函数关系，两角和与差的正弦公式．3.设关于x的方程有实数解，则p是q的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先结合辅助角公式及正弦函数性质求出对应的范围，然后结合充分必要条件的定义即可判断.【详解】因为，所以，即.因为，所以由可以推出，由不可以推出，所以是的充分不必要条件．故选：A.4.如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】题意可得，即可得到，再根据平面向量线性运算计算即可.【详解】依题意在平行四边形中，，又是的中点，则，又与交于点，所以，则，所以，又，所以故选：A.5.已知向量，满足，，则向量与的夹角的余弦值等于（）A.0 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用已知可求得，，进而利用向量的夹角公式可求.【详解】因为，两边平方得，所以，，，所以．故选：D．6.设，则有（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用三角恒等变换转化，然后利用特殊角的三角函数值比较判断.【详解】因为，，，所以，故选：A7.已知正方形的边长为是它的外接圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】作出图形，结合向量的线性运算和数量积运算化简，求的范围可得的取值范围.【详解】当弦的长度最大时，弦过正方形的外接圆的圆心，因为正方形的边长为2，所以圆的半径为，如下图所示：则，，所以，.因为点为正方形四条边上的动点，所以，又，所以，故选：A.8.平面内，定点，，，满足，且，动点，满足，，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，结合平面向量的线性运算与垂直的性质可得是正三角形，且是的中心，再以为坐标原点建立直角坐标系，再根据，结合三角函数设点的坐标，进而表达出，结合三角函数的最值求解即可.【详解】由题，则到，，三点的距离相等，所以是的外心.又，变形可得，所以，同理可得，，所以是的垂心，所以的外心与垂心重合，所以是正三角形，且是的中心；由，解得，所以的边长为；如图所示，以为坐标原点建立直角坐标系，则，，，，可设，其中，，而，即是的中点，则，，当时，取得最大值为．故选：D．二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，计18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分进心的得部分分，有选错的得0分，9.已知向量，则（）A. B.向量的夹角为C. D.在上的投影向量是【答案】BD【解析】【分析】由向量垂直坐标表示计算即可求出判断A；由向量夹角余弦公式结合向量夹角范围即可求解判断B；由向量模长公式即可计算求解判断C；由投影向量公式计算即可求解判断D.【详解】对于A，因为，所以，所以，故A错误；对于B，由A可得，又，故，即向量的夹角为.故B正确；对于C，，所以，故C错误；对于D，在上的投影向量是，故D正确.故选：BD.10.已知函数，则下列函数判断正确的是（）A.为奇函数B.的图象关于直线对称C.在上单调递减D.的图象关于点对称【答案】BC【解析】【分析】利用三角降幂公式和辅助角公式，化简函数解析式为，运用奇偶性定义判断A项，利用代入检验法判断B,D项，利用余弦函数的图象判断C项即可.【详解】由，可得.对于A，因，则为偶函数，故A错误；对于B，因当时，，，故的图象关于直线对称，即B正确；对于C，当时，，而在上单调递减，故C正确；对于D，当时，，故函数的图象关于点对称，即D错误.故选：BC.11.如图，在梯形中，，，为线段的中点，与交于点，为线段上的一个动点，则（）A.B.向量与共线C.D若，则最大值【答案】ACD【解析】【分析】利用平面向量的基本定理求出关于、的表达式，可判断A选项；利用平面向量的线性运算可得出关于、的表达式，结合平面向量共线的基本定理可判断B选项；推导出，可得出、、面积的关系，可判断C选项；分析可知存在，使得，利用平面向量的基本定理可得出关于的表达式，可求出的最大值，可判断D选项.【详解】对于A选项，由题意可知，，则，因为为的中点，则，即，所以，，因为，则存在，使得，因为、、三点共线，则存在，使得，即，可得，因为、不共线，所以，，解得，故，A对；对于B选项，，所以，、不共线，B错；对于C选项，因为为的中点，则，因为，则，故，同理可得，所以，，C对；对于D选项，因为为线段上一个动点，则存在，使得，所以，，因为、不共线，则，，故，因此，的最大值为，D对.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于选择基底，将问题中相关的向量利用基本向量加以表示，再结合平面向量相关知识求解.第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，计15分，请把答案写在答题纸的指定位置上．12.已知向量，，，______．【答案】【解析】【分析】由向量的数量积运算，可得，结合完全平方公式展开，将，代入，即可求解.【详解】由，得，即，即，又，，解得.故答案为：.13.设向量，且，则________；＝________.【答案】①.##②.【解析】【分析】利用向量坐标运算得到方程组，利用和角的三角公式展开化简后即可求出的值，再运用二倍角公式与和角公式化简所求式，最后化弦为切即得.【详解】由题意，，化简得，由；则故答案为：；.14.在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是______.【答案】8.【解析】【详解】，又，因此即最小值为8.【考点】三角恒等变换，切的性质应用【名师点睛】消元与降次是高中数学中的主旋律，利用三角形中隐含的边角关系作为消元依据是本题突破口，斜三角形中恒有，这类同于正、余弦定理，是一个关于切的等量关系，平时应多总结积累常见的三角恒等变形，提高转化问题能力，培养消元意识．此类问题的求解有两种思路：一是边化角，二是角化边．四、解答题：本大题共5小题，计77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区城内．15.已知向量.（1）若，求的值；（2）若，求实数的值；（3）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）（3）且【解析】【分析】（1）根据向量平行的坐标运算列式求解的值，从而得模长；（2）根据向量的坐标的线性运算得的坐标，再根据向量垂直的坐标运算求解实数的值；（3）根据向量夹角与数量积的关系求解即可.【小问1详解】因为向量，且，所以，解得，所以.【小问2详解】因为，且，所以，解得.【小问3详解】因为与的夹角是钝角，则且与不共线，即且，所以且.16.已知锐角的终边与单位圆相交于点.（1）求实数及的值；（2）求的值；（3）若，且，求的值.【答案】（1），；（2）（3）【解析】【分析】（1）由题意列式即可求解m，再由正切函数定义即可得解；（2）由锐角的终边上点的坐标求得，结合余弦两角和公式和倍角公式即可计算得解；（3）由和角的范围，求得，再巧妙地把所求转化为，然后借助正弦两角差公式即可计算得解.【小问1详解】由于点在单位圆上，且是锐角，可得，，则，；【小问2详解】因为锐角的终边与单位圆相交于点，所以，，可得，，所以.【小问3详解】因为为锐角，所以，又，所以，因为，所以，所以.17.如图，在矩形中，点在边上，，且.M是线段上一动点.（1）M是线段的中点，求的值；（2）若，求的最小值.【答案】（1）30（2）【解析】【分析】（1）根据向量的线性运算结合数量积的运算律，即可求得答案.（2）建立平面直角坐标系，求得相关点坐标，，利用，求得m的值，即可求得的表达式，结合二次函数性质，即可求得答案.【小问1详解】因，故，所以,又在矩形中，,故.【小问2详解】如图，以A为坐标原点，以为轴建立平面直角坐标系，则，设,则，故由得，，即，由于M点在上，设，则，则，即，故，所以，，所以，当且仅当时，取得最小值.18.某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角和以为直径的半圆拼接而成，点P为半圈上一点（异于），点H在线段上，且满足.已知，设.（1）为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足，且达到最大，当为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果；（2）为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足，且达到最大.当为何值时，取得最大值，并求该最大值.【答案】（1）（2），最大值为【解析】【分析】（1）由，则在直角中，，，计算得到，计算最值得到答案.（2）计算，得到，得最值.【小问1详解】由，在直角中，，；在直角中，，；，所以当，即时，的最大值为，即时，工艺礼品达到最佳观赏效果；【小问2详解】在直角中，由，可得；在直角中，，所以，，所以，所以当时，取得最大值，且最大值为.19.如图，是单位圆（圆心为）上两动点，是劣弧（含端点）上动点.记（均为实数（1）若到弦的距离是，（i）当点恰好运动到劣弧的中点时，求的值；（ii）求的取值范围；（2）若，记向量和向量夹角为，求的最小值.【答案】（1）（i）；（ii）（2）【解析】【分