湖南省岳阳市岳阳楼区部分校2024-2025学年九年级下学期第一次质量监测数学试题（原卷版+解析版）

2025年3月九年级第一次质量检测试卷数学温馨提示：1．本试卷共三道大题，26道小题，满分120分，考试时量120分钟；2．本试卷分为试题卷和答题卡两部分，所有答案都必须填涂或填写在答题卡上规定的答题区域内．一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.的倒数是（）A. B.2025 C. D.2.在全球人工智能应用市场，DeepSeek的下载量以惊人的速度增长．截至2025年2月5日，DeepSeek的全球下载量约4000万．数据“4000万”用科学记数法可以表示为（）A. B. C. D.3.我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B.

C. D.4.下列运算正确的是（）A. B.C. D.5.如图，，且，，则等于（）A. B. C. D.6.为贯彻落实教育部《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》精神，把劳动教育纳入人才培养全过程，某校组织学生周末赴劳动教育实践基地开展锄地、除草、浇水、剪枝、捉鱼、采摘六项实践活动，已知六个项目参与人数（单位：人）分别是：35，38，40，42，42，43．则这组数据的众数和中位数分别是（）A.38，39 B.42，40 C.42，41 D.42，427.已知平面直角坐标系上有一点位于第二象限，则m值可能为（）A. B.1 C. D.8.下列命题中，是真命题是（）A.无限小数都是无理数 B.三边长分别是1，，3的三角形是直角三角形C.相似三角形的面积比等于相似比 D.圆内接四边形对角相等9.如图，矩形中，分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线分别交于点，连接，若，以下结论错误的是（）A. B. C. D.10.新定义：为二次函数（为实数）的“图象数”，如：的“图象数”为，若点在“图象数”为的二次函数的图象上，且，当时，则的取值范围为（）A. B. C. D.二、填空题：本题共8个小题，每小题3分，共24分．11.在函数中，自变量x的取值范围是______．12.分式方程的解为_______．13.将一次函数的图象沿轴向下平移3个单位长度后，得到新的一次函数的解析式为______．14.关于x的一元二次方程有实数根，则a的值可以是_____（写出一个即可）．15.农科院计划为某地选择合适的甜玉米种子．选择种子时，甜玉米的产量和产量的稳定性是农科院所关心的问题．为了解甲、乙两种玉米的相关情况，农科院各用10块自然条件相同的试验田进行试验，得到数据如图．则甲、乙两种甜玉米产量的方差大小关系为_______．（填“”或“”）16.抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，分别与相切于点C，D，延长交于点P．若，的半径为，则图中的长为________．（结果保留）17.如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点D，且点D为线段AB的中点．若点C为x轴上任意一点，且△ABC的面积为4，则k=______________．18.如图，在正方形中，，分别是边和对角线上的动点，且，当的最小值为时，则正方形的边长为_______．三、填空题：本题共8个小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．19.计算：．20先化简，再求值：，其中21.如图，在菱形中，于点于点，连接．（1）求证：；（2）若，求证：为等边三角形．22.某学校为丰富课后服务内容，计划开设经典诵读，花样跳绳、电脑编程、倒画赏析、民族舞蹈五门兴趣课程．为了解学生对这五门兴趣课程的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查（要求每位学生只能选择门课程），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．根据图中信息，完成下列问题：（1）本次调查共抽取了____________名学生；（2）补全条形统计图；（3）计算扇形统计图中“电脑编程”所对应扇形的圆心角度数；（4）若全校共有1200名学生，请估计选择“民族舞蹈”课程的学生人数；（5）在经典通读课前展示中，甲同学从标有A《出师表》、B《观沧海》、C《行路难》的三个签中随机抽取一个后放回，乙同学再随机抽取一个，请用列表或画树状图的方法，求甲乙两人至少有一人抽到A《出师表》的概率．23.六月是离别的季节，三年的初中时光就将告一段落，为了给大家的青春留下纪念，各班家委决定为同学们采购特色钢笔和笔记本两种商品，具体信息如表：根据以下信息解答下列问题：班级购买数量（件）购买总费用（元）钢笔笔记本九（1）班40201100九（2）班20601300（1）求钢笔和笔记本的单价；（2）若九（3）班购买这两种商品共60件，且钢笔的数量不少于笔记本数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．24.位于潍河南岸的万古塔，为唐式七层八角攒尖外加地宫建筑，框架结构．某校综合与实践小组测量万古塔的高度，形成了不完整的实践报告：测量对象万古塔测量目的运用三角比有关知识解决生活实际问题测量工具无人机测量方案1．先将无人机从地面的点G处垂直上升至点P，测得塔的顶端A的俯角为；2．再将无人机从点P处沿水平方向飞行，到达点C处，然后沿垂直方向上升到达点Q，测得塔的顶端点A的俯角为，图中各点均在同一竖直平面内．测量示意图请根据以上测量数据，求万古塔的高度．（结果精确到；参考数据：，，）25.如图，为外接圆，弦，垂足为E，直径交于点G，连接，．若，．（1）证明：四边形为平行四边形；（2）求值；（3）求的值．26.如图，抛物线经过两点，与轴交于点，连接．（1）求该拋物线的解析式；（2）点是抛物线上一点，若平分，求点的坐标；（3）如图，若点是抛物线上位于第一象限的一动点，连接，直线交轴于点，过点作直线交轴于点，连接，在点的运动过程中，四边形的面积是否会发生改变？若不变，求其值；若改变，求出它的变化范围．

2025年3月九年级第一次质量检测试卷数学温馨提示：1．本试卷共三道大题，26道小题，满分120分，考试时量120分钟；2．本试卷分为试题卷和答题卡两部分，所有答案都必须填涂或填写在答题卡上规定的答题区域内．一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.的倒数是（）A. B.2025 C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了倒数的定义，倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数，根据定义即可求解．【详解】解：根据倒数的定义得的倒数是，故选：D．2.在全球人工智能应用市场，DeepSeek的下载量以惊人的速度增长．截至2025年2月5日，DeepSeek的全球下载量约4000万．数据“4000万”用科学记数法可以表示为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值和的值是解题的关键．根据科学记数法的表示形式即可解答．【详解】解：4000万．故选：B．3.我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B.

C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键．中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转，能够与自身重合的图形．轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．依据定义判断．【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意．C．是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意．D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．故选：B．4.下列运算正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了积的乘方运算、完全平方公式、整式除法运算、二次根式的加减运算等知识，掌握相关运算法则和运算公式是解题关键．根据积的乘方运算、完全平方公式、整式除法运算、二次根式的加减运算法逐项分析判断即可．【详解】解：A．

，故运算错误，不符合题意；B．

，故运算错误，不符合题意；C．

，故运算错误，不符合题意；D．

，运算正确，符合题意．故选：D．5.如图，，且，，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】可求，再由，即可求解．【详解】解：，，，，．故选：D．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质，掌握三角形外角的性质是解题的关键．6.为贯彻落实教育部《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》精神，把劳动教育纳入人才培养全过程，某校组织学生周末赴劳动教育实践基地开展锄地、除草、浇水、剪枝、捉鱼、采摘六项实践活动，已知六个项目参与人数（单位：人）分别是：35，38，40，42，42，43．则这组数据的众数和中位数分别是（）A.38，39 B.42，40 C.42，41 D.42，42【答案】C【解析】【分析】根据众数和中位数的定义即可求解.【详解】解：已知六个项目参与人数分别是：35，38，40，42，42，43，42出现了2次，出现的次数最多，众数为42．已知六个项目参与人数分别是：35，38，40，42，42，43，处在最中间的两位数为40，42，中位数：．故选：C．【点睛】本题考查了众数和中位数的定义．解题的关键在于熟练掌握众数和中位数定义．一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．7.已知平面直角坐标系上有一点位于第二象限，则m的值可能为（）A. B.1 C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查象限点的坐标特征．根据第二象限的点：横坐标为负，纵坐标为正，可得到关于m的不等式组，即可求解．【详解】解：∵点在第二象限，∴，解得：，则m的值可能为．故选：A．8.下列命题中，是真命题是（）A.无限小数都是无理数 B.三边长分别是1，，3的三角形是直角三角形C.相似三角形的面积比等于相似比 D.圆内接四边形对角相等【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了命题与定理的知识，熟练掌握无理数的概念，勾股定理的逆定理，圆内接四边形的性质及相似三角形的性质是解决此题的关键．利用无理数的概念，勾股定理的逆定理，圆内接四边形的性质及相似三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A、无限不循环小数是无理数，故原选项错误，是假命题，不符合题意；B、由得三边长分别是1，，3的三角形是直角三角形，故原选项正确，是真命题，符合题意；C、相似三角形的面积比等于相似比的平方，故原选项错误，是假命题，不符合题意；D、圆内接四边形对角互补，故原选项错误，是假命题，不符合题意；故选：B．9.如图，矩形中，分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线分别交于点，连接，若，以下结论错误的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由作图知，垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得到，可判定正确；根据矩形的性质得到，根据平行线的性质得到，求得，可判定正确；先证出得，根据勾股定理得到，，得到，于是得到，可判定错误，由矩形的性质得，可判定正确．【详解】解：A、由作图知，垂直平分，，故正确，不符合题意；B、四边形是矩形，，，，，，故正确，不符合题意；C、如图，，，，，，，，，，，故错误，符合题意；D、四边形为矩形，，故正确，不符合题意；故选：．【点睛】本题主要考查了作图-基本作图、全等三角形的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质、矩形的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．10.新定义：为二次函数（为实数）的“图象数”，如：的“图象数”为，若点在“图象数”为的二次函数的图象上，且，当时，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的性质，理解“图象数”的定义是解题关键．由“图象数”可知二次函数为，则对称轴为直线，再求出点的坐标，根据二次函数图象的开口方程和增减性求解即可．【详解】解：由题意可知，“图象数”为的二次函数为，对称轴为直线，，，解得：或，或，，二次函数图象开口向上，当时，的取值范围为，故选：A二、填空题：本题共8个小题，每小题3分，共24分．11.在函数中，自变量x的取值范围是______．【答案】且【解析】【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，解题关键是掌握函数自变量的范围一般从三个方面考虑：①当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；②当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数表达式是二次根式时，被开方数是非负数．根据二次根式和分式有意义的条件求解即可．【详解】解：，，，且，故答案为：且．12.分式方程的解为_______．【答案】4【解析】【分析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程时注意要检验．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：去分母，方程两边同时乘以得：，解得，检验：将代入∴原方程的解为．故答案为：4．13.将一次函数的图象沿轴向下平移3个单位长度后，得到新的一次函数的解析式为______．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，根据函数图象的平移规律，上加下减，可得答案．【详解】解：由一次函数的图象沿y轴向下平移3个单位后，得到的图象对应的函数关系式为，化简，得，故答案为：．14.关于x的一元二次方程有实数根，则a的值可以是_____（写出一个即可）．【答案】1（答案不唯一）【解析】【分析】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．由于方程有实数根，则其根的判别式，由此可以得到关于a的不等式，解不等式就可以求出a的取值范围，即可求解．【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，，

解上式得．∴的任意实数．∴a的值可以是1（答案不唯一）．故答案为：1（答案不唯一）．15.农科院计划为某地选择合适的甜玉米种子．选择种子时，甜玉米的产量和产量的稳定性是农科院所关心的问题．为了解甲、乙两种玉米的相关情况，农科院各用10块自然条件相同的试验田进行试验，得到数据如图．则甲、乙两种甜玉米产量的方差大小关系为_______．（填“”或“”）【答案】【解析】【分析】本题考查了统计图和方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．从图中数据的波动情况分析，即可求解．【详解】解：从图中看到，乙的波动比甲的波动小，∴乙的产量比较稳定，∴，故答案为：．16.抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，分别与相切于点C，D，延长交于点P．若，的半径为，则图中的长为________．（结果保留）【答案】【解析】【分析】连接OC、OD，利用切线的性质得到，根据四边形的内角和求得，再利用弧长公式求得答案．【详解】连接OC、OD，∵分别与相切于点C，D，∴，∵，，∴，∴的长=（cm），故答案为：．

【点睛】此题考查圆的切线的性质定理，四边形的内角和，弧长的计算公式，熟记圆的切线的性质定理及弧长的计算公式是解题的关键．17.如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点D，且点D为线段AB的中点．若点C为x轴上任意一点，且△ABC的面积为4，则k=______________．【答案】【解析】【分析】设点，利用即可求出k的值．【详解】解：设点，∵点D为线段AB的中点．AB⊥y轴∴，又∵，∴．故答案为：【点睛】本题考查利用面积求反比例函数的k的值，解题的关键是找出．18.如图，在正方形中，，分别是边和对角线上的动点，且，当的最小值为时，则正方形的边长为_______．【答案】2【解析】【分析】本题考查正方形性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，设正方形的边长为，得，延长至点，使得，连接，，再证，得，可知，当点在上时，取得最小值，即，在中，，列出方程求解即可．【详解】解：设正方形的边长为，在正方形中，，，，则，延长至点，使得，连接，，在与中，，∴，∴，∴，当点在上时，取得最小值，∵的最小值为，即：，在中，，即，解得：（负值舍去），故答案为：2．三、填空题：本题共8个小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．19.计算：．【答案】3．【解析】【分析】此题考查了实数的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数和算术平方根是解题的关键．代入特殊角的三角函数值、计算算术平方根、负整数指数幂、绝对值化简，再进行计算即可．【详解】解：20.先化简，再求值：，其中【答案】，【解析】【分析】此题考查了分式化简求值，涉及了分式的四则运算，完全平方公式和平方差公式，解题的关键是熟练掌握分式的四则运算法则．根据分式的四则运算先化简，然后代数求解即可．【详解】解：，当时，原式．21.如图，在菱形中，于点于点，连接．（1）求证：；（2）若，求证：为等边三角形．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）根据“”证明即可；（2）根据菱形的性质和已知条件可推出度数，再根据第一问的三角形全等和直角三角形的性质可求出和度数，从而求出度数，即可证明为等边三角形．【小问1详解】证明：（1）四边形是菱形，．又于点于点，，在与中，．；【小问2详解】证明：，；四边形是菱形，∴，，∵，，又，，由（1）知，，．是等边三角形．【点睛】本题主要考查了三角形全等、菱形的性质、等边三角形的判定，解题的关键在于熟练掌握全等的方法和菱形的性质．22.某学校为丰富课后服务内容，计划开设经典诵读，花样跳绳、电脑编程、倒画赏析、民族舞蹈五门兴趣课程．为了解学生对这五门兴趣课程的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查（要求每位学生只能选择门课程），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．根据图中信息，完成下列问题：（1）本次调查共抽取了____________名学生；（2）补全条形统计图；（3）计算扇形统计图中“电脑编程”所对应扇形的圆心角度数；（4）若全校共有1200名学生，请估计选择“民族舞蹈”课程的学生人数；（5）在经典通读课前展示中，甲同学从标有A《出师表》、B《观沧海》、C《行路难》的三个签中随机抽取一个后放回，乙同学再随机抽取一个，请用列表或画树状图的方法，求甲乙两人至少有一人抽到A《出师表》的概率．【答案】（1）300（2）见详解（3）120°（4）200（5）【解析】【分析】（1）由国画赏析的人数除以所占的百分比，即可得到答案；（2）利用抽取的总人数减去其他项目的人数，再补全条形图即可；（3）先求电脑编程所占百分比，然后乘以360°，即可得到答案；（4）先求民族舞蹈所占百分比，然后乘以1200，即可得到答案；（5）先列出表格得出所有等可能的结果数，再根据概率公式即可得出答案．【小问1详解】解：本次调查共抽取的学生人数为：（人）；故答案为：300；【小问2详解】解：根据题意，花样跳绳的人数为：（人）；补全条形图如下：【小问3详解】解：根据题意，“电脑编程”所对应扇形的圆心角度数为：；【小问4详解】解：全校选择“民族舞蹈”课程的学生人数为：（人）；【小问5详解】解：列表如下：ABCAA，AB，AC，ABA，BB，BC，BCA，CB，CC，C共有9种等可能的结果，其中甲乙两人至少有一人抽到A有5种，所以两人至少有一人抽到A《出师表》的概率为．【点睛】本题考查了列表法或树形图、用样本估计总体、条形统计图、扇形统计图等知识点，能根据题意列出算式是解此题的关键．23.六月是离别的季节，三年的初中时光就将告一段落，为了给大家的青春留下纪念，各班家委决定为同学们采购特色钢笔和笔记本两种商品，具体信息如表：根据以下信息解答下列问题：班级购买数量（件）购买总费用（元）钢笔笔记本九（1）班40201100九（2）班20601300（1）求钢笔和笔记本的单价；（2）若九（3）班购买这两种商品共60件，且钢笔的数量不少于笔记本数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．【答案】（1）钢笔的单价是20元，笔记本的单价是15元；（2）最省钱的购买方案为：购买40支钢笔，20本笔记本，见解析．【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）结合表格信息，列出二元一次方程组，再求解，即可作答．（2）根据九（3）班购买这两种商品共60件，且钢笔的数量不少于笔记本数量的2倍，列出不等式，再解得，然后结合设九（3）班购买这两种商品共花费元，则，运用一次函数的性质作答即可．【小问1详解】解：设钢笔的单价是元，笔记本的单价是元，根据题意得：，解得：．答：钢笔的单价是20元，笔记本的单价是15元；【小问2详解】解：（2）最省钱的购买方案为：购买40支钢笔，20本笔记本，理由如下：设九（3）班购买支钢笔，则购买本笔记本，根据题意得：，解得：，设九（3）班购买这两种商品共花费元，则，即，，随的增大而增大，当时，取得最小值，此时，最省钱的购买方案为：购买40支钢笔，20本笔记本．24.位于潍河南岸万古塔，为唐式七层八角攒尖外加地宫建筑，框架结构．某校综合与实践小组测量万古塔的高度，形成了不完整的实践报告：测量对象万古塔测量目的运用三角比有关知识解决生活实际问题测量工具无人机测量方案1．先将无人机从地面的点G处垂直上升至点P，测得塔的顶端A的俯角为；2．再将无人机从点P处沿水平方向飞行，到达点C处，然后沿垂直方向上升到达点Q，测得塔的顶端点A的俯角为，图中各点均在同一竖直平面内．测量示意图请根据以上测量数据，求万古塔的高度．（结果精确到；参考数据：，，）【答案】【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，延长交于E，延长交于F，设，在中，利用正切定义求出，在中，利用正切定义求出，进而求出，即可得出关于x的方程，然后解方程求解即可．【详解】解：如图，延长交于E，延长交于F，根据题意，得，，四边形、都是矩形，∴，，，设，则，在中，，在中，，∴，解得，∴，∴，答：万古塔的高度约为．25.如图，为的外接圆，弦，垂足为E，直径交于点G，连接，．若，．（1）证明：四边形为平行四边形；（2）求的值；（3）求的值．【答案】（1）见解析（2）（