2024-2025学年高中数学 第一章 预备知识 3 不等式 1.3.1 不等式的性质教学实录 北师大版必修第一册

2024-2025学年高中数学第一章预备知识3不等式1.3.1不等式的性质教学实录北师大版必修第一册课题：科目：班级：课时：计划1课时教师：单位：一、教学内容分析1.本节课的主要教学内容：本节课主要教授不等式的性质，包括不等式的传递性、不等式的可乘性、不等式的可除性等。

2.教学内容与学生已有知识的联系：本节课内容与北师大版必修第一册第一章预备知识2中的不等式概念和不等式的运算紧密相关，学生需要掌握不等式的定义和基本运算，才能更好地理解不等式的性质。二、核心素养目标分析本节课旨在培养学生数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等核心素养。通过不等式性质的学习，学生能够提升对数学概念的理解和应用能力，培养严谨的逻辑思维和解决问题的能力。此外，通过探究不等式性质，学生将学会如何将实际问题转化为数学模型，增强数学建模和数学应用意识。三、教学难点与重点1.教学重点

-明确本节课的核心内容，以便于教师在教学过程中有针对性地进行讲解和强调。

-理解并掌握不等式的传递性，即如果a>b，那么a+c>b+c，a-c>b-c。

-掌握不等式的可乘性，当c>0时，如果a>b，那么ac>bc；当c<0时，如果a>b，那么ac<bc。

-理解不等式的可除性，当c≠0时，如果a>b且c>0，那么a/c>b/c；如果a>b且c<0，那么a/c<b/c。

2.教学难点

-识别并指出本节课的难点内容，以便于教师采取有效的教学方法帮助学生突破难点。

-理解不等式性质在不同情况下的适用性，如c的正负对不等式性质的影响。

-应用不等式性质解决实际问题，例如在解决不等式组或不等式方程时，如何正确运用不等式性质进行变形。

-将不等式性质与函数图像结合，理解不等式性质在坐标系中的几何意义，例如如何判断两个函数图像在坐标系中的相对位置关系。四、教学资源-软硬件资源：多媒体教学设备（如电脑、投影仪）、粉笔、黑板。

-课程平台：学校内部教学平台，用于发布课件和作业。

-信息化资源：不等式性质相关的电子课件、教学视频、在线测试题库。

-教学手段：实物教具（如不等式性质演示板）、教学软件（如几何画板用于动态展示不等式性质）。五、教学过程一、导入新课

同学们，今天我们来学习第一章预备知识中的第三部分——不等式的性质。首先，请回顾一下我们之前学过的关于不等式的基本概念和运算。你们觉得哪些性质是我们今天需要重点探讨的呢？

（学生回答后，教师总结）

二、新课讲授

1.不等式的传递性

同学们，我们先来探讨不等式的传递性。请看这个例子：如果a>b，那么a+c>b+c，a-c>b-c。这个性质告诉我们，在不等式两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不会改变。

（教师板书并讲解）

（学生练习，教师巡视指导）

2.不等式的可乘性

现在，我们来学习不等式的可乘性。当c>0时，如果a>b，那么ac>bc；当c<0时，如果a>b，那么ac<bc。这个性质告诉我们，在不等式两边同时乘以一个正数或负数时，不等号的方向会根据乘数的正负而改变。

（教师板书并讲解）

同学们，请尝试完成以下题目：如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc。

（学生练习，教师巡视指导）

3.不等式的可除性

最后，我们来学习不等式的可除性。当c≠0时，如果a>b且c>0，那么a/c>b/c；如果a>b且c<0，那么a/c<b/c。这个性质告诉我们，在不等式两边同时除以一个正数或负数时，不等号的方向会根据除数的正负而改变。

（教师板书并讲解）

同学们，请尝试完成以下题目：如果a>b，c>0，那么a/c>b/c；如果a>b，c<0，那么a/c<b/c。

（学生练习，教师巡视指导）

三、课堂活动

1.小组讨论

请同学们以小组为单位，讨论以下问题：如何运用不等式的性质解决实际问题？举例说明。

（学生分组讨论，教师巡视指导）

2.课堂展示

请各小组选派代表上台展示他们的讨论成果，其他同学认真聆听并评价。

（学生展示，教师点评）

四、巩固练习

1.完成课本练习题

请同学们完成课本中的练习题，巩固今天所学的知识。

（学生独立完成练习，教师巡视指导）

2.课堂问答

教师提问，学生回答，检查学生对不等式性质的理解程度。

（教师提问，学生回答）

五、总结与反思

今天我们学习了不等式的性质，包括传递性、可乘性和可除性。这些性质对于解决不等式问题非常重要。在今后的学习中，希望大家能够熟练掌握这些性质，并将其应用于解决实际问题。

（教师总结，学生反思）

六、布置作业

1.完成课本课后练习题

2.收集生活中的不等式实例，并尝试运用不等式性质进行解答。

（教师布置作业，学生记录）六、教学资源拓展1.拓展资源：

-不等式的历史与发展：介绍不等式在数学发展史上的重要性，以及不同数学家对不等式的研究贡献，如卡尔丹的不等式定理等。

-不等式的应用领域：探讨不等式在经济学、物理学、工程学等领域的应用实例，如优化理论、质能方程等。

-不等式的图形表示：介绍不等式在坐标系中的图形表示方法，如不等式区域、线性规划中的可行域等。

2.拓展建议：

-阅读相关书籍：《数学分析》、《高等数学》等书籍中关于不等式的章节，了解不等式的深入理论和应用。

-观看教学视频：通过在线教育平台搜索相关的教学视频，如“不等式性质讲解”、“不等式在物理学中的应用”等，以不同角度加深理解。

-实践应用：选择生活中或实际工作中的问题，尝试运用不等式知识进行建模和分析，提高数学应用能力。

-参加数学竞赛：通过参加数学竞赛，如数学建模竞赛、不等式解题竞赛等，锻炼解题技巧和创新能力。

-深入研究：对于对数学有浓厚兴趣的学生，可以进一步研究不等式的高级理论，如不等式积分、不等式方程等。

-实验探究：设计简单的实验或项目，如使用不等式分析物体的运动轨迹，或通过实验验证不等式的性质。

-交流讨论：加入数学学习小组或论坛，与同学和老师交流不等式学习心得，共同探讨问题解决方法。

-教学辅助工具：使用教学辅助工具，如数学软件（如MATLAB、Mathematica等）来辅助不等式的图形化表示和计算。七、板书设计①不等式的性质

-传递性：如果a>b，那么a+c>b+c，a-c>b-c。

-可乘性：当c>0时，如果a>b，那么ac>bc；当c<0时，如果a>b，那么ac<bc。

-可除性：当c≠0时，如果a>b且c>0，那么a/c>b/c；如果a>b且c<0，那么a/c<b/c。

②不等式性质的应用

-不等式变形：在不等式两边同时加上或减去同一个数。

-不等式乘除：在不等式两边同时乘以或除以同一个正数或负数。

③不等式的图形表示

-不等式区域：在坐标系中表示不等式的可行区域。

-线性规划：利用不等式表示线性规划问题中的约束条件。

④不等式实例分析

-生活中的不等式：分析日常生活中的不等式问题，如购物打折、排队等候等。

-经济学中的不等式：探讨经济学中的不等式应用，如供需关系、成本效益分析等。

⑤不等式性质总结

-不等式的性质是解决不等式问题的关键。

-正确运用不等式性质可以简化问题，提高解题效率。八、反思改进措施反思改进措施（一）教学特色创新

1.案例教学法的应用：在讲解不等式性质时，我尝试通过实际案例来帮助学生理解抽象的数学概念。例如，通过分析经济学中的供需关系模型，让学生直观感受到不等式在现实生活中的应用。

2.多媒体辅助教学：利用多媒体课件和视频，将复杂的不等式性质以更直观的方式呈现给学生，提高他们的学习兴趣和参与度。

反思改进措施（二）存在主要问题

1.学生对不等式性质的理解不够深入：部分学生在面对复杂的不等式问题时，仍然难以灵活运用不等式性质进行解题。

2.课堂互动不足：在课堂讨论环节，学生的参与度不高，未能充分调动他们的积极性和主动性。

3.评价方式单一：主要依靠学生的作业和考试成绩来评价他们的学习效果，缺乏多元化的评价手段。

反思改进措施（三）改进措施

1.深化不等式性质的教学：针对学生对不等式性质理解不深入的问题，我将通过更多的练习和实例来巩固他们的知识，同时鼓励学生提出问题，进行深入的讨论。

2.丰富课堂互动形式：为了提高学生的参与度，我计划在课堂上增加小组讨论、角色扮演等互动环节，让学生在活动中学习，提高他们的沟通能力和团队协作能力。

3.多元化评价方式：除了传统的作业和考试，我还将引入课堂表现、小组合作、项目展示等多种评价方式，全面评估学生的学习成果。

4.结合信息技术：利用教育平台和在线资源，为学生提供更多自主学习的途径，同时，通过在线测试和反馈，及时了解学生的学习进度和问题，以便进行针对性的辅导。

5.加强与学生的沟通：定期与学生交流，了解他们的学习需求和困难，调整教学策略，确保教学内容的实用性和针对性。典型例题讲解1.例题：

已知a>b，c>0，求证：ac>bc。

解答：

因为a>b，所以a-b>0。

由于c>0，两边同时乘以c，得到ac-bc>0。

即ac>bc。

2.例题：

已知a>b，c<0，求证：ac<bc。

解答：

因为a>b，所以a-b>0。

由于c<0，两边同时乘以c，注意乘以负数时不等号方向改变，得到ac-bc<0。

即ac<bc。

3.例题：

已知a>b，c>0，求证：a/c>b/c。

解答：

因为a>b，所以a-b>0。

由于c>0，两边同时除以c，得到a/c-b/c>0。

即a/c>b/c。

4.例题：

已知a>b，c<0，求证：a/c<b/c。

解答：

因为a>b，所以a-b>0。

由于c<0，两边同时除以c，注意除以负数时不等号方向改变，得到a/c-b/c<0。

即a/c<b/c。

5.例题：

已知a>b，c>0，d>0，求证：(a+d)/(c+d)>(b+d)/(c+d)。

解答：

因为a>b，所以a-b>0。

由于c>0，d>0，两边同时加上d，得到a+d>b+d。

由于c+d>0，两边同时除以c+d，得到(a+d)/(c+d)>(b+d)/(c+d)。

这些例题涵盖了不等式性质中的传递性、可乘性和可除性，以及它们在不同情况下的应用。通过这些例题，学生可以更好地理解不等式性质的运用，并能够将这些性质应用到解决实际问题中去。课堂1.课堂评价

课堂评价是教学过程中不可或缺的一部分，它有助于教师及时了解学生的学习情况，发现问题并进行针对性的解决。以下是我将采取的几种课堂评价方法：

（1）提问：通过提问，我可以了解学生对不等式性质的理解程度。我会设计一些开放性问题，鼓励学生积极思考，表达自己的观点。例如：“如何运用不等式的性质解决实际问题？”这样的问题可以激发学生的思维，让他们从不同的角度去思考问题。

（2）观察：在课堂上，我会注意观察学生的参与度、互动情况以及解题过程。通过观察，我可以发现哪些学生掌握得较好，哪些学生存在困难。例如，在讲解不等式的可乘性时，我会观察学生是否能够正确运用性质进行变形。

（3）测试：为了检验学生对不等式性质掌握的情况，我会设计一些小测试。这些测试可以是口头提问，也可以是书面测试。测试的内容包括基本概念、性质应用和实际问题解决等。通过测试，我可以了解学生对知识的掌握程度，以及他们在应用知识时可能存在的困难。

2.作业评价

作业是课堂学习的延伸，也是检验学生学习效果的重要手段。以下是我将采取的作业评价方法：

（1）认真批改：我会对学生的作业