《高等数学》练习题库

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一.选择题

1.函数y二一一是()

尸+1

A.偶函数B.奇函数C单调函数D无界函数

2.设f(sin±)=cosx+l,则f(x)为()

2

A2x2-2B2-2x2C1+x2D1-x2

3.下列数列为单调递增数列的有()

A.0.9,0.99,0.999,0.9999B.999

C.{f(n)},其中f(n尸D.{)

4.数列有界是数列收敛的()

A.充分条件B.必要条件

C.充要条件D既非充分也非必要

5.下列命题正确的是()

A.发散数列必无界B.两无界数列之和必无界

C.两发散数列之和必发散D.两收敛数列之和必收敛

6.()

A.1B.OC.2D.1/2

7.设e则k=()

A.lB.2C.6D.1/6

8.当x1时，下列与无穷小(x-l)等价的无穷小是()

A.x-1B.x-1C.(x-l)D.sin(x-l)

9.f(x)在点x=xo处有定义是f(x)在x=xo处连续的1)

A.必要条件B.充分条件

C.充分必要条件D.无关条件

10、当冈＜1时,y=()

A.是连续的B、无界函数

C.有最大值与最小值D.无最小值

11、设函数f(x)=(1-x)cotx要使f(x)在点：x=0连续，则应补

充定义f(0)为()

A.B、eC、

D^~e-l

12.下列有跳跃间断点x=0的函数为()

A.xarctanl/xB、arctanl/x

C.tanl/xD.cosl/x

13、设f(x)在点xO连续，g(x)在点xO不连续，则下列结论成立是()

A.f(x)+g(x)在点xO必不连续

B.f(x)Xg(x：在点xO必不连续须有

C.复合函数f[g(x)]在点xO必不连续

/O)

D.g(x)在点xO必不连续

14、设f(x尸在区间(-8,+8)上连续，且f(x)=0,则a,b满足()

A.a>0,b>0B、a>0,b<0

C.a<0,b>0D.a<0,b<0

15、若函数f(x)在点xO连续，则卜.列复合函数在xO也连续的有

()

A.B、

C.tan[f；x)]D.f[f(x)]

16.函数f(x)=tanx能取最小最大值的区间是下列区间中的()

A.[0,Ji]B、(0,月)

C.[-Ji/4,Ji/4]D、(-JI/4,"/4)

17、在闭区间[a,b]上连续是函数f(x)有界的()

A.充分条件B.必要条件

C.充要条件D、无关条件

18、f(a)f(b)VO是在[a,b]上连续的函f(x)数在(a,b)内取零值的()

A.充分条件B.必要条件

C.充要条件D、无关条件

19、下列函数中能在区间(0,1)内取零值的有()

A.f(x)=x+lB.f(x)=x-l

C.f(x)=x2-lD、f(x)=5x4-4x+l

20、曲线y=x2在x=l处的切线斜率为()

A.k=0B.k=lC.k=2D.-1/2

21＞若直线y=x与对数曲线y=logx相切，则()

A.eB.1/eC.exD.el/e

22.曲线y=lnx平行于直线x-y+l=0的法线方程是()

A.x-y-l=0B.x-y+3e-2=0C.x-y-3e-2=0D.-x-y+3e-2=0

23＞设直线y=x+a与曲线y=2arctanx相切，则a=()

A.±1B.±Ji/2C.±(Ji/2+l)D.±(JI/2-1)

24、设f(设为可导的奇函数,且f'(x0)=a,则f'(-x0)=()

A.aB.-aC.|a.|D.0

25、设y=ln,则y'|x二0=()

A.-1/2B.1/2C.-1D.0

26、设y=(cos)sinx,则y'|x二0=()

A.-lB.0C.1D.不存在

27、设yf(x)=In(1+X),y=f[f(x)],则y'|x=0=()

A.0B.1/In2C.1D.In2

28、已知y=sinx,则y(10)=()

A.sinxB.cosxC.-sinxD.-cosx

29、已知y=xInx,则y(10)=()

A.-l/x9B.1/x9C.8.l/x9D.-8.l/x9

30、若函数f(x);xsin|x|,则()

A.r'、(0)不存在B.f''(0)=0C.「'(0)=3D.f''(0)=JI

31、设函数y=yf(x)在［0,刀］内由方程x+cos(x+y)=0所确定，则

|dy/dx|x=0=()

A.-lB.0C.JI/2D.2

32、圆x2cos。，尸2sin。上相应于0=JI/4处的切线斜率，K=()

A.-lB.OC.1D.2

43、若函数f（x）在（a,b）内存在原函数，则原函数有（）

A.一个B.两个C.无穷多个D,都不对

44.若Jf(x)dx=2cx/2+C=()

A.2ex/2B.4ex/2C.ex/2+CD.ex/2

45.Sxe-xdx=(D)

A.xe-x-e-x+CB、-xe-x+e-x+C

C.xe-x+e-x+CD.-xe-x-e-x+C

46、设P（X）为多项式，为自然数，则/P（x）（x-l）-ndx（）

A.不含有对数函数B、含有反三角函数

C.一定是初等函数D、一定是有理函数

47、/.1°|3x+l|dx=（）

A.5/6B.1/2C.-1/2I）.I

48、两椭圆曲线x74+y2=l及（x-l）2/9+y74=l之间所围的平面图形面积等于

)

A.JiB.2JiC.4JiD.6Ji

49、曲线y=x?-2x与x轴所围平面图形绕轴旋转而成的旋转体体积是（）

A.JIB.6JI/15C.16JI/15D.32JI/15

50、点（1,0,-1）与（0,-1,1）之间的距离为（）

A.B.2C.31/2D.21/2

51、设曲面方程（P,Q）则用下列平面去截曲面，截线为抛物线的平面是

（）

A.Z=4B.Z=0C.Z=-2D.x=2

52.平面x=a截曲面x2/a2+y2/b2-z2/c2=l所得截线为（）

A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.两相交直线

53.方程=0所表示的图形为（）

A.原点（0,0,0）B.三坐标轴

C.三坐标轴D、曲面，但不可能为平面

54、方程3x2+3y2-z2=0表示旋转曲面，它的旋转轴是（）

A.X轴B.Y轴C.Z轴D.任一条直线

55.方程3x2-y2-2z2=l所确定的曲面是()

A.双叶双曲面B、单叶双曲面C、椭圆抛物面D、圆锥曲面

二、填空题

1.求极限(x2+2x+5)/(x2+l)=()

2.求极限r(x3-3x+l)/(x-4)+l]=()

3.求极限x-2/(x+2)l/2=()

4.求极限[x/(x+l)]x=()

5.求极限(l-x)l/x二()

6.已知y二sinx-cosx,求y'|x二刀/6=()

7、已知P=巾sin巾+cos4/2,求dp/d力|i|)=JI/6=()

8、己知f(x)=3/5x+x2/5,求f'(0)=()

9、设直线y=x+a与曲线y=2arctanx相切，则()

10、函数产x'2-2x+3的极值是y(l)=()

11.函数y=2x3极小值与极大值分别是()

12.函数y=x2-2x-l的最小值为()

13.函数y=2x-5x2的最大值为()

14.函数f(x)=x2c-x在[T,1]上的最小值为()

15、点(0,1)是曲线y=ax3+bx2+c的拐点，则有b=()c=()

16.Jxxl/2dx=()

17、若F(x)=f(x),则JdF(x)=()

18、若/f(x)dx=x2e2x+c,则f(x)=()

19^d/dxS?arctantdt=()

20、已知函数f(x)=在点x=0连续，则a=()

21.JO2(x2+l/x4)dx=()

22.f49xl/2(l+xl/2)dx=()

23./031/2adx/(a2+x2)=()

24.JOIdx/(4-x2)l/2=()

25.J刀/3刀sin(〃/3+x)dx=()

26.J49xl/2(l+xl/2)dx=()

9,/2,/2

27>f4x(l+x)dx=()

28、J，49x,/2(l+x,/2)dx=()

29/?x,/2(l+x,?2)dx=()

30>f.i9x1/2(l+x,/2)dx=()

3L/49xl/2(l+xU2)dx=()

32.J49xl/2(l+xl/2)dx=()

33.满足不等式|x-2|Vl的X所在区间为()

34、设f(x)=[x]+1,贝I]f(Ji+10)=()

35.函数Y=|*inx|的周期是()

36.y=sinx,y=cosx直线x=0,x=Ji/2所围成的面积是()

37、y=3-2x・x2与x轴所围成图形的面积是()

38、心形线r=a(l+cosB)的全长为()

39、三点(1,1,2),(-1,1,2),(0,0,2)构成的三角形为()

4()、一动点与两定点(2,3,1)和(4,5,6)等距离，则该点的轨迹方程是

()

41.求过点(3,0,・1),且与平面3x-7y+5z・12=0平行的平面方程是()

42.求三平面x+3y+z=l,2x-y-z=0,-x+2y+2z=0的交点是()

43.求平行于xoz面且经过(2,・5,3)的平面方程是()

44.通过Z轴和点(31,-2)的平面方程是()

45、平行丁X轴且经过两点(4,(),-2)和(5,1,7)的平面方程是()

三、解答题

1.设Y=2X_5X2,问X等于多少时Y最大？并求出其最大值。

2.求函数y=x2-54/x.(x<0=的最小值。

3.求抛物线y=x2-4x+3在其顶点处的曲率半径。

4.相对数函数y=lnx上哪一点处的曲线半径最小？求出该点处的曲率半径。

5.求y=x2与直线y=x及y=2x所围图形的面积。

6.求y=ex,y=e-x与直线x=l所围图形的面积。

7、求过(1,1,-1),(-2,-2,2)和(1,-1,2)三点的平面方程。

8、求过点(4,-1,3)且平行于直线(x-3)/2=y=(z-1)/5的直线方程。

9、求点(-1,2,0)在平面x+2y・z+l=0上的投影。

10^求曲线y=sinx,y=cosx直线x=0,x=n/2所围图形的面积。

11.求曲线y=3-2x-x2与x轴所围图形的面积。

12.求曲线y2=4(x-l)与y2=4(2-x)所围图形的面积。

13.求抛物线y=-x2+4x-3及其在点(0,3)和(3,0)得的切线所围成的图形狗面

积。9/4

14、求对数螺线r=eaO及射线0二・刀，0二刀所围成的图形的面积.

15、求位于曲线y二ex下方，该曲线过原点的切线的左方以及x轴上方之间的图

形的面积。

16.求由抛物线y2=4ax与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值。

17、求曲线yr?与x=y2绕y轴旋转所产生旋转体的体积。

18、求曲线产achx/a,x=0,y=(),绕x轴所产生旋转体的体积。

19、求曲线x2+(y5尸=16绕x轴所产生旋转体的体积。

20、求x2+y2=a2,绕x=-b,旋转所成旋转体的体积。

21.求椭圆x2/4+y2/6=l绕轴旋转所得旋转体的体积。

22、摆线x=a(l・sint),y=a(l-cost)的一拱，y=0所围图形绕y=2a(a>0)旋转所得旋转

体体积。

23.计算曲线上相应于的一段弧的长度。

24.〃•算曲线y=x/3(3-x)上相应丁1WXW3的一段弧的长度。

25.计算半立方抛物线y2=2/3(x-l)3被抛物线y2=x/3截得的一段弧的长度。

26.计算抛物线y2=2px从顶点到这典线上的一点M(x,y)的弧长。

27、求对数螺线r=ea"自0=0至lj0二3的一段弧长。

28、求曲线「。二1自0二3/4至04/3的一段弧长。

29、求心形线r=a(l+cos。)的全长。

30、求点M(4,-3,5)与原点的距离。

31.在yoz平面上,求与三已知点A(3,1,2),B(4,-2,-2)和C(0,5,1)等距

离的点。

32.设U=a-b+2c,V=-a+3b-c,试用a,b,c表示2U-3V。

33.一动点与两定点(2,3,1)和(4,5,6)等距离。求这动点的轨迹方程。

34.将xoz坐标面上的抛物线z2=5x绕轴旋转一周，求所生成的旋轴曲方程。

35、将xoy坐标面上的圆x2+y2=9绕Z轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程。

36、将xoy坐标面上的双曲线4x2-9y2=36分别绕x轴及y轴旋转一周，求所生

成的旋转曲面的方程。

37、求球面x2+y2+z2=9与平面x+z=l的交线在xoy面上的投影方程。

38、求球体x2+(y-l)2+(z-2)2^9在xy平面上的投影方程。

39、求过点(3,0,-1),且与平面3x・7x+5z-12=0平行的平面方程.

40、求过点M0(2,9,-6)且与连接坐标原点及点M0的线段OMO垂直的平面方

程。

41.求过(1,1,1),(2-2,2)和(1,-1,2)三点的平面方程。

42、一平面过点(1,0,-1)且平行于向量a=｛2』』｝和b=｛试求这平面方

程。

43.求平面2xy+2z8=()及x+y+z10=()夹角弦。

44.求过点(4,-1,3)且平行于直线(x-3)/2=y=(z-1)/5的直线方程。

45.求过两点M(3,-2,1)和M(-1,0,2)的直线方程。

46.求过点(0,2,4)且与两平面x+2z=l和y-3z=z平行的直线方程。

47、求过点(3,1,-2)且通过直线(x-4)/5=(y+3)/2+z/l的平面方程。

48、求点(-1,2,0)在平面x+2y-z+l=0上的投影。

49、求点P(3,-1,2)到直线x十2y-z+1=()的距离。

5()、求直线2x-4y+z=0,3X-y-2z=()在平面4x-y+z=l上的投影直线的方程。

四、证明题

1.证明不等式：

2.证明不等式

3.设，g(x)区间上连续,g(x)为偶函数，且满足条件

证明：

4.设n为正整数，证明

5.设是正值连续函数，则曲线在上是凹的。

6.证明：

7.设是定义在全数轴上，且以T为周期的连续函数,a为任意常数，则

「j\x)dx=£f(x)dx

JaJO

8.若是连续函数，则

9.设，在上连续，证明至少存在一个使得

f(^g(x)dx=/(幻。1

10.设在上连续，证明：

11.设在上可导，且，证明：

bM

ff(x)dx<-(b-a)2

12

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《高等数学》练习测试题库参考答案

选择题

1------10ABABDCCDAA

11——20ABABBCAADC

21——30DCDAABCCCA

31——40BABDDCCAAD

41——50ABCDDCACCA

51------55DDCCA

填空题

1.2

2.3/4

3.0

4.e-1

5.e-1

6.(31/2+1)/2

7.(1+)

8.9/25

9.-1或1-

10.2

11.-1,0

12.-2

13.1/5

14.0

15.0,1

16.C+2x3/2/5

17.F(x)+C

18.2xe(1+x)

19.0

20.0

21.21/8

22.271/6

23./3a

24./6

25.0

26.2(31/2-1)

27./2

28.2/3

29.4/3

30.21/2

31.0

32.3/2

33.(1,3)

34.14

35.

36.7/6

3732/3

38.8a

39.等腰直角

40.4x+4y+10z-63=0

41.3x-7y+5z-4=0

42.(1,-1,3)

43.y+5=0

44.x+3y=0

45.9x-2y-2=0

三.解答题

1.当X=l/5时，有最大值1/5

2.X=-3时，函数有最小值27

3.R=l/2

4.在点(，・)处曲率半径有最小值3X31/2/2

5.7/6

6.e+l/e-2

7.x-3y-2z=0

8.(x-4)/2=(y+l)/l=(z-3)/5

9.(-573,2/3,2/3)

10.2(21/2-1)

11.32/3

12.4X21/2/3

13.9/4

a~,2ftc-2a\

1/4t.——(a-e)

4

15.e/2

16.8a2/3

17.3Ji/10

7ra2a+^(e2-e-2)

18.—

4

19.160Ji2

20.2Ji2a2b

2L咀L

3

22.7Ji2a3

23.1+1/2In3/2

24.273-4/3

+>),+“2+),2

Zo.-+--为------

2p

27.J"，*

28.1n3/2+5/12

29.8a

30.5X21/2

31.(0,1,-2)

32.5a-llb+7c

33.4x+4y+10z-63=0

34.y2+z2=5x

35.x+y2+z2=9

36.x轴：4x2-9(y2+z2)=36y轴：4(x2+z2)-9y2=36

37.x2+y2(l-x)2=9z=0

38.x2+y2+(l-x)2^9z=O

39.3x-7y+5z-4=0

40.2x+9y-6z-121=0

41.x-3y-2z=0

42.x+y-3z-4=0

43.

44.==

45.==

46.==

47.8x-9y-22z-59=0

48.(-5/3,2/3,2/3)

49.

50.

四.证明题

1.证明不等式：

证明：令

则，

令/(©=0,得X=O

f(-l)=f(l)=V2,f(0)=l

贝lj1M/(x)MV2

上式两边对X在上积分，得不出右边要证的结果，因此必须对f(x)进行分析，显

然有于是

dx<+<J：(1+炉)dx,故

2<^yl\+x4dx<-

i3

2.证明不等式

证明：显然当时，(n>2)有

1

1I1—7t

1<,=一W<--,=arcsinA

J()2=T

J-"yl\-x22Jo1-x206

即,

3.设，g(x)区间上连续,g(x)为偶函数，且满足条件

证明：

证明：

f,f(x)g(xWx令x=u-Cf(-u)g(-u)du=/f(r)g(xWx

J-a=JaJO

「J(x)g(x世二(-x)g(x世+rf(x)g(x)ca=£[/(%)+f(-x)]^x)dx=A[^x)dx

4.设n为正整数，证明

证明：令t=2x,有