2025年重点高中自主招生考试数学试卷试题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页初升高名牌一级重点高中招生考试卷优化重组卷（二）数学满分120分，考试时间120分钟一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）1．已知a，b为常数，若ax＋b＞0的解是x<，则bx－a<0的解是（）A．x＞－3 B．x<－3 C．x＞3 D．x<32．设a=，b=，c=，则a，b，c之间的大小关系是（

）A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．a<c<b3．已知abc0，而且，那么直线y=px+p一定通过（

）．A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限4．（多选）如图是古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边，．的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自I，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为，则下列说法错误的是（

）A． B． C． D．5．对于直角坐标平面内的任意两点，定义它们之间的一种“距离”：．给出下列三个命题：①若点C在线段上，则；②在中，若，则；③在中，．其中真命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．36．若一个三角形的任意两边都不相等，则称之为不规则三角形,用一个正方体上的任意三个顶点构成的所有三角形中，不规则三角形的个数是（

）A．18 B．24 C．30 D．367．如图，在平面直角坐标系中，等腰梯形的顶点坐标分别为．y轴上一点绕点A旋转得点，点绕点B旋转得点，点绕点C旋转得点，点绕点D旋转得点，……重复操作依次得到点，，…则点的坐标是（

）A． B． C． D．8．一个旅游团50人到一家宾馆住宿，宾馆的客房有三人间、二人间、单人间三种，其中三人间每人每晚100元，标准间每人每晚150元，单人间每晚200元．如果该团住满了20间客房，最低总消费是（

）A．5800元 B．5000元 C．5300元 D．5500元9．已知抛物线y=–x2+1的顶点为P，点A是第一象限内该二次函数图像上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图像于点B，分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连接PA、PD,PD交AB于点E，△PAD与△PEA相似吗？

（

）A．始终相似 B．始终不相似 C．只有AB=AD时相似 D．无法确定10．已知，，点点分别在射线，射线上，若点与点关于对称，点点关于对称，与相交于点，则（

）A． B．C． D．二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）11．如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝度．12．已知点A，B的坐标分别为（1，0），（2，0）．若二次函数y=x2+（a﹣3）x+3的图象与线段AB只有一个交点，则a的取值范围是．13．已知x、y是实数且满足x2+xy+y2﹣2=0，设M=x2﹣xy+y2，则M的取值范围是．14．已知x，y为正整数，，则．15．已知一个圆心角为270°扇形工件，未搬动前如图所示，A、B两点触地放置，搬动时，先将扇形以B为圆心，作如图所示的无滑动翻转，再使它紧贴地面滚动，当A、B两点再次触地时停止，半圆的直径为6m，则圆心O所经过的路线长是m．（结果用含π的式子表示）16．一次棋赛，有n个女选手和9n个男选手，每位参赛者与其个选手各对局一次，计分方式为：胜者的2分，负者得0分，平局各自得1分.比赛结束后统计发现所有参赛男选手的分数和是所有女选手的分数和的4倍，则n的所有可能值是.三、解答题（本题有7小题，共66分）17．已知关于x的方程有实根．（1）求取值范围；（2）若原方程的两个实数根为，且，求的值．18．如图，数轴上从左到右依次有A，B，C，D四个点，它们对应的实数分别为a，b，c，d，如果存在实数λ，满足：对线段AB和CD上的任意一点，其对应的数为x，实数对应的点N仍然在线段AB或CD上，则称（a，b，c，d，λ）为“完美数组”．例如：（1，2，3，6，6）就是一组“完美数组”，已知|AB|＝1，|BC|＝5，|CD|＝4，求此时所有的“完美数组”，写出你的结论和推算过程．19．如图，已知是反比例函数图象上的一点．(1)求过点P且与双曲线只有一个公共点的一次函数解析式．(2)Q是第三象限内双曲线上一动点，过点Q的直线与双曲线只有一个公共点，且与x轴、y轴分别交于C，D两点，设（1）中求得的直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，求证：．(3)在（2）的条件下，试求四边形面积的最小值．20．公交车由始发站A站开出向B站行进，与此同时，小强和小明分别从A，B两站同时出发，小强由A向B步行，小明骑自行车由B向A行驶，小明的速度是小强的3倍，公交车每隔相同时间发一辆车，小强发现每隔有一辆公交车追上他，而小明也发现每隔就遇到一辆公交车．(1)求两辆公交车发车的间隔时间．(2)若A，B两站相距，公交车的速度为，问在行进途中（不包括起点和终点），小强被几辆公交车追上，小明又遇到了几辆公交车？21．如图，的直径为，过点O，且与内切于点B．C为上的点，与交于点D，且．点E在上，且，的延长线与交于点F，求证：．22．如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．（1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE；（2）连接FC，观察并猜测∠FCN的度数，并说明理由；（3）如图（2），将图（1）中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=a，BC=b（a、b为常数），E是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．判断当点E由B向C运动时，∠FCN的大小是否总保持不变？若∠FCN的大小不变，请用含a、b的代数式表示tan∠FCN的值；若∠FCN的大小发生改变，请举例说明．23．如图，在平面直角坐标系中，已知点，过点A的直线交y轴于点N．过点K且垂直于x轴的直线与过点A的直线交于点M．

(1)试判断的形状，并说明理由．(2)将所在的直线l向上平移，平移后的直线l与x轴、y轴分别交于点D，E．当直线l平移时（包括l与直线重合），在直线上是否存在点P，使得是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．B【分析】根据ax+b＞0的解集是，可以解得ab的值，再代入bx-a＜0中求其解集即可．【详解】解：∵ax+b＞0的解集是，由于不等号的方向发生了变化，∴a＜0，又，即a=-3b，∴b＞0，不等式bx-a＜0即bx+3b＜0，解得x＜-3．故选B．【点睛】解答这类题学生在解题时要注意移项要改变符号这一点．不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．正确判断出a、b的取值范围及关系是解答此题的关键．2．A【分析】利用平方法把三个数值平方，然后借助乘法公式计算后再比较大小即可．【详解】∵a2=2000+2，b2=2000+2，c2=4000=2000+2×1000，1003×997=1000000-9=999991，1001×999=1000000-1=999999，10002=1000000．∴c＞b＞a．故选A．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，及实数大小比较的知识，这里注意比较数的大小可以用平方法，两个正数，平方大的就大．此题也要求学生熟练运用完全平方公式和平方差公式．3．B【分析】根据得到a+bc=b+ca=c+ab=p，再将式子拆分进行相加得到2（a+b+c）=p（a+b+c），讨论当p=2或a+b+c=0两种情况即可．【详解】解：由条件得：①a+b=pc，②b+c=pa，③a+c=pb，三式相加得2（a+b+c）=p（a+b+c）．∴有p=2或a+b+c=0．当p=2时，y=2x+2．则直线通过第一、二、三象限．当a+b+c=0时，不妨取a+b=-c，于是p==-1，（c≠0），∴y=-x-1，∴直线通过第二、三、四象限．综合上述两种情况，直线一定通过第二、三象限．故选B．【点睛】本题考查了一次函数的图象与系数的关系及比例的性质，比较有难度，关键是根据a+bc=b+ca=c+ab=p列出方程，然后讨论求解．4．BCD【分析】本题考查了勾股定理、三角形面积、圆的面积以及概率等知识，熟练掌握勾股定理，证明S1=S2是解题的关键．设，由勾股定理得，则，再由三角形面积公式和圆的面积公式证明，即可得出结论．【详解】解：设，由勾股定理得，∴，，，，，．故选∶BCD．5．B【分析】本题考查了平面直角坐标系，解题的关键是正确理解题目所给的两点之间的一种“距离”的定义．对于①若点C在线段上，设C点坐标为然后代入验证显然成立．成立故正确．对于②平方后不能消除，，命题不成立；对于③在中，用坐标表示然后根据绝对值不等式可得到大于不成立，故可得到答案．【详解】解：对于直角坐标平面内的任意两点，，定义它们之间的一种“距离”：．对于①若点C在线段上，设C点坐标为，在之间，在之间，则成立，故①正确．对于②平方后不能消除，命题不成立；对于③在中，，，∴．③不一定成立∴命题①成立，故选B．6．B【分析】根据题意画出图形，从正方体的一个顶点出发求出构成的不规则三角形的个数即可求出用任意三个顶点构成的所有三角形中，不规则三角形的个数．【详解】解：如图所示，∵连接BD、BE、BF、EG，则△BEF、△BEG、△BDE均为不规则三角形，∴从正方体的一个顶点出发与所有顶点的连线中有三个不规则的三角形，∴用一个正方体上的任意三个顶点构成的所有三角形中，不规则三角形的个数是3×8=24个．故选：B．【点睛】本题考查的是立体图形，解答此题的关键是根据题意画出图形，找出从正方体的一个顶点出发求出构成的不规则三角形的个数．7．B【分析】本题考查坐标与图形的变化-旋转，规律型-点的坐标，解题的关键是从一般到特殊探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．由P、A两点坐标可知，点P绕点A旋转得点，即为点P关于A的对称点，以此类推，点为关于B的对称点，由此发现一般规律．【详解】解：由题意，得,,…由此发现序号是4的倍数的点的横坐标与序号相同，纵坐标为2．，的坐标为．故选：B．8．D【分析】此题是一道比较新颖的三元一次方程组应用题，它的答案不唯一，需要讨论一下，根据生活中的常时，x，y，z必须为自然是来求解，题不是很难，但是一道结合生活实际应用的一道好题．可根据题意设三人间，二人间，单人间分别住了x，y，z间，再根据三人间人每晚100元，二人间每人每晚150元，单人间每人每晚200元，旅游团共住20间客房，列出两个方程，再根据x，y，z都是自然数，求出费用最低的选择．【详解】解：设三人间、二人间、单人间分别住了x，y，z间，其中x，y，z都是自然数，总的住宿费为w元，则解得都是自然数，或或或或或，随z的增大而减小，∴当，即时，住宿的总费用最低，为，故选：D．9．A【分析】先求出P点坐标，得到OP的长，再设A（m，﹣m2+1），即AD=﹣m2+1，再表示出OD，OF，PF，AF，然后根据△PEF∽△PDO，利用相似三角形的性质列式求出EF，再利用勾股定理表示出PA2，PE，PD，从而得到，再根据相似三角形的判定定理即可得证.【详解】解：令x=0，则y=1，∴OP=1，设A（m，﹣m2+1），即AD=﹣m2+1，∵AB⊥y轴，AD⊥x轴，∴AF=OD=m，OF=﹣m2+1，PF=m2，在Rt△PAF中，PA2=PF2+AF2=（m2）2+m2=m4+m2，在Rt△POD中，PD=，由AB∥x轴得，△PEF∽△PDO，∴，即，解得PE=m2，∴PA2=PD·PE=m4+m2，∴，∵∠APE=∠DPA，∴△PAD∽△PEA，则△PAD与△PEA始终相似.故选A.【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数的性质，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.10．A【分析】本题考查了轴对称的性质和锐角三角函数定义，根据轴对称的性质，，进而得出，利用等腰三角形的性质和判定求出其他线段和角的度数，利用锐角三角函数的定义即可求解．【详解】设，∵，点与点关于对称，∴，，．，∵∴，，，∴，∵点点关于对称，∴，，∴，，∴，故选项B错误；，∴．∴∴．故选项A正确；∵，，∴，∴∵，故选项C错误，∵，，∴，∵，∴∴，故选项D错误，故选A．11．540【分析】连接DG、AC，在四边形EFGD中，根据四边形内角和为360°，三角形内角和为180°，可得∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠B＝180°，进而即可求解．【详解】解：连接DG、AC．在四边形EFGD中，得∠E＋∠F＋∠EDG＋∠DGF＝360°，又∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠B＝180°，∴∠GAB＋∠B＋∠BCD＋∠EDC＋∠E＋∠F＋∠AGF＝540°．故答案为540．【点睛】本题考查了多边形内角和定理与三角形内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．12．﹣1≤a＜﹣或a=3﹣2．【分析】根据题意，当二次函数顶点在x轴下方或当二次函数的顶点在x轴上时，分情况讨论问题．借助于根的判别式即可解答．【详解】依题意，应分为两种情况讨论，①当二次函数顶点在x轴下方，若当x=1时，y＜0且当x=2时，y≥0，即，解得此不等式组无解；若当x=2时，y＜0且当x=1时，y≥0，即，解得：﹣1≤a；②当二次函数的顶点在x轴上时，△=0，即（a﹣3）2﹣12=0，解得：a=3±2，而对称轴为x，可知12，故a=3﹣2．故答案为﹣1≤a或a=3﹣2．【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数对称轴的确定方法，一元二次方程的根的判别式，用分类讨论的数学思想，是解答本题的关键．13．≤M≤6【分析】把原式的xy变为2xy-xy，根据完全平方公式特点化简，然后由完全平方式恒大于等于0，得到xy的范围；再把原式中的xy变为-2xy+3xy，同理得到xy的另一个范围，求出两范围的公共部分，然后利用不等式的基本性质求出2-2xy的范围，最后利用已知x2+xy+y2-2=0表示出x2+y2，代入到M中得到M=2-2xy，2-2xy的范围即为M的范围．【详解】由得：即所以由得：即所以∴∴不等式两边同时乘以−2得：,即两边同时加上2得：即∵∴∴则M的取值范围是≤M≤6.故答案为≤M≤6.【点睛】此题考查了完全平方公式,以及不等式的基本性质,解题时技巧性比较强,对已知的式子进行了三次恒等变形,前两次利用拆项法拼凑完全平方式,最后一次变形后整体代入确定出M关于xy的式子,从而求出M的范围.要求学生熟练掌握完全平方公式的结构特点:两数的平方和加上或减去它们乘积的2倍等于两数和或差的平方.14．8【分析】本题考查代数式求值、二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．将等式进行因式分解，得到，求得，即可求解．【详解】解：，，，，，，均为正整数，或．故答案为：8．15．6π【分析】O经过的路线是两个半径是3，圆心角的45°的弧，平移的距离是半径长是3，圆心角是270°的弧长，二者的和就是所求的路线长．【详解】解：∠AOB＝360°﹣270°＝90°，则∠ABO＝45°，则∠OBC＝45°，O旋转的长度是：2×；O移动的距离是：；则圆心O所经过的路线长是：＝6π，故答案为：6π．【点睛】本题考查了弧长的计算公式，正确理解O经过的路线是关键．16．1【分析】根据题意可求出比赛男女选手的总得分，又根据题意可得每场对局都有2分产生，就可求出总比赛场数，求出男女选手总得分．再假设男选手与女选手的所有比赛中都不得分，即男选手只和男选手比赛才得分，就可以求出男选手的最低得分和女选手的最高得分，再由男选手的分数和是所有女选手的分数和的4倍，可列出方程，进而可解的n的值，再根据n表示人数，只能是正整数，可得出答案．【详解】∵每场对局都有2分，10n个棋手对局共下局，∴总分为，假设男选手与女选手的所有比赛中都不得分，即男选手只和男选手比赛才得分，∴男选手最低总得分为，∴女选手最高得分总和为，依题意，得去括号，移项，合并同类项，化简，解得：或（舍去）故答案为：1．【点睛】本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题，仔细审题用含n的式子表示出男选手最低总得分和女选手最高得分总和列出方程是解答本题的关键．17．（1）；（2）．【分析】(1)设，分两种情况讨论,①方程为一元一次方程,②方程为二元一次方程,那么有,根据△≥0即可求解;(2)设，，根据根与系数的关系即可求解.【详解】设，则原方程化为：当方程（2）为一次方程时，即a

2-1=0，a=±1．若a=1，方程（2）的解为，原方程的解为满足条件；若a=－1，方程（2）的解为，原方程的解为满足条件；∴a=±1．当方程为二次方程时，a

2-1≠0，则a≠±1，要使方程有解，则，解得：，此时原方程没有增根，∴取值范围是．（2）设，，则则是方程（a

2-1）y

2-（2a+7）y+1=0的两个实数根，由韦达定理得：∵，∴，解得：∴．【点睛】题考查了根与系数的关系，根的判别式及分类讨论的数学思想，关键是掌握根与系数之间的关系进行解题.18．（2，3，8，12，24）或（﹣2，﹣1，4，8，﹣8）或（﹣4，﹣3，2，6，12）【分析】认真阅读题干，理解“完美数组”的定义即可解答；【详解】解：设A表示的数是x，则B表示x+1，C表示x+6，D表示x+10，由“完美数组”的定义，可知有如下情况：①x（x+10）＝（x+1）（x+6）；∴x＝2，∴“完美数组”是（2，3，8，12，24）；②x（x+6）＝（x+1）（x+10）；∴x＝﹣2∴“完美数组”是（﹣2，﹣1，4，8，﹣8）；③x（x+1）＝（x+6）（x+10）；∴x＝﹣4，∴“完美数组”是（﹣4，﹣3，2，6，12）；【点睛】本题考查新定义，数轴与整式的运算；熟练掌握多项式乘多项式，单项式与多项式的运算法则，能够通过题意将点与“完美数组”的关系转化为整式的运算是解题的关键．19．(1)(2)见解析(3)48【分析】（1）求出直线解析式为，反比例函数为．联立直线与反比例解析式并整理得：，由题意得到方程有两个相等的实数根，由，即可求解；（2）设过点Q的直线为，联立上式和反比例函数的表达式并整理得：，由，即即可求解；（3）由，从而可得，则即可求解．【详解】（1）解：设过点P的一次函数解析式为（），把点代入，得，，．又点在上，∴，反比例函数为．联立，得由题意，得只有一个解，即方程有两个相等的实数根，，，一次函数解析式为．（2）证明：设过点Q的直线为，点Q的直线与只有一个公共点，将直线与双曲线联立，得，消去y，得，．，．由直线，令，则，令，则，∴，，∴，，．（3）解：．，，当，即时，四边形的面积最小，最小值为48．【点睛】本题综合考查了三角形的面积，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，反比例函数的性质，根的判别式，方程组等知识点，主要考查学生综合运用性质进行计算的能力，本题综合性比较强，难度偏大，属一次函数与反比例函数、几何图形综合题目．20．(1)(2)被5辆公交车追上，共遇到3辆公交车【分析】此题属于应用类问题，解答本题的关键是求出公交车的速度与小明、小强的速度的关系，要注意掌握解不定方程的技巧．（1）设小强速度是x，那么小明的速度，再设公交车为y，因为两辆车间隔距离相等，小强与车是追及问题，即小强与小明之间距离为①，小明与小强是相遇问题，即小明与车之间的距离为②，根据上面两式可得到，代入①即可求得一的值，也即可得出两辆公交车发车的间隔时间．（2）根据题意条件求出小强、小明的速度，及走完全路程所用的时间，结合第一问可得出答案．【详解】（1）解：设小强的速度是x，则小明的速度是．设两辆公交车之间的距离是s，公交车的速度为y．由题意，得解得，∴两辆公交车发车的间隔时间为．（2）解：，，小强走完用，每被追上一次，总共就被追上6次，除去终点的一次，共被5辆公交车追上．小明骑完用，第一次相遇时是第，每相遇一次，∴总共遇到3辆公交车．21．见解析【分析】首先连接，利用圆周角定理得出，进而得出，，进而得出，再利用相似三角形的判定可得出结论．【详解】证明：连结．过点O，且与内切于点B，∴为的直径，．，垂直平分，．，，，．，，．，．，，．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与圆周角定理、线段垂直平分线的性质定理，等腰三角形的性质等知识，根据已知得出是解题关键．22．（1）见解析；（2）45°；（3）.【详解】试题分析：（1）由正方形的性质，用SAS证明△BAE≌△DAG；（2）作FH⊥MN于H，证明△EFH≌△ABE，再证△CHF是等腰直角三角形；（3）结合（1）（2），可证明△EFH≌△GAD，△EFH∽△ABE，再用相似三角形的性质得到结论.试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，∴AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°，∴∠BAE+∠EAD=∠DAG+∠EAD，∴∠BAE=∠DAG，∴△BAE≌△DAG．（2）解：∠FCN=45°，理由是：作FH⊥MN于H，∵∠AEF=∠ABE=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°，∠FEH+