2024年吉林省长春市中考数学试题【含答案、解析】

试卷第=page44页，共=sectionpages55页试卷第=page11页，共=sectionpages55页2024年吉林省长春市中考数学试题【含答案、解析】学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．比大1的数是（

）A．2022 B．2024 C． D．2．如图的几何体由五个相同的小正方体搭成，它的主视图是（

）A． B． C． D．3．某人用同种正多边形瓷砖铺设无缝地板，他购瓷砖形状可能是（

）A．正五边形 B．正六边形 C．正十边形 D．正十一边形4．下列运算正确的是（

）A． B．C． D．5．如果a＞b，那么下列各式中一定正确的是（）A．c+a＞c+b B．c﹣a＞c﹣b C．ac＞bc D．a2＞b26．如图，在中，，，，则的值是（

）

A．4 B． C． D．7．下面是黑板上出示的尺规作图题，需要回答符号代表的内容（

）如图，已知∠AOB，求作：∠DEF，使∠DEF＝∠AOB作法：（1）以●为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点P、Q；（2）作射线EG，并以点E为圆心◎长为半径画弧交EG于点D；（3）以点D为圆心⊙长为半径画弧交（2）步中所画弧于点F；（4）作，∠DEF即为所求作的角．A．●表示点E B．◎表示PQ C．⊙表示OQ D．表示射线EF8．如图，为的直径，点A是弧的中点，交于E点，的切线与的延长线交于点F，，．则（

）

A． B． C． D．1二、填空题9．单项式的系数与次数和是．10．计算的结果是．11．有四张正面分别标有数字﹣4，﹣3，﹣2，1，的不透明卡片，它们除数字不同外其他全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中抽取一张，将该卡片上的数字记为a，放回后洗匀，再从中抽取一张，将该卡片上的数字记为b，则a，b使得二次函数y＝x2﹣（a+5）x+3当x≤1时y随x的增大而减小，且一元二次方程（a+2）x2+bx+1＝0有解的概率为．12．已知一次函数，函数值y随自变量x的值增大而减小，那么的取值范围是．13．如图，在平面直角坐标系中，面积是100的正方形ABCD的两个顶点A，B在坐标轴上滑动，点B由原点O出发沿x轴正方向移动，点A沿y的正半轴向原点O移动，当∠ABO＝40°时，边AB的中点E经过的路径长是.14．如图，为半径为4的的弦，弧沿弦折叠经过圆心，点为弧上一动点，连接交于点，点为的中点，则最小值为．三、解答题15．化简求值：已知a是方程x2＋3x－2＝0的一个根，求代数式的值．16．不透明的口袋中装有大小、形状完全相同的2个白球，a个红球．（1）若从中任意摸出1个球，“是白球”的概率为，则a＝．（2）在（1）的条件下，从中任意摸出2个球，求“两个球的颜色相同”的概率．17．我国传统数学名著《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子．问每头牛、每只羊分别值多少两银子？18．我们知道，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．由此，我们可以引入如下新定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．(1)如图1，点在线段上，，求证：点是的准外心；(2)如图2，在Rt中，的准外心在的直角边上，试求的长．19．南昌市某学校组织了一次“野生动物保护知识赛”，竞赛题共20题．竞赛活动结后，学校团委随机抽查了七、八年级各100名学生的考卷，对学生答题情况进行分析统计，发现所抽查的考卷中答对的题量最少为16题，并且根据调查情况得到如下不完整的统计图表．学生答对的题量情况统计表

题量年级16题17题18题19题20题七年级10b八年级815a2732合计182838c62学生答题情况折线统计图请根据统计图表提供的信息解答以下问题：（1）填空：________，________．（2）若答对一题得5分，答错或不答不扣分，请你计算出七、八年级的平均成绩分别是多少？（3）若该校七年级共有学生1600人，且都参加了这次竞赛活动，请你根据所学的知识估计一下七年级学生20题都答对的有多少人？20．如图，在长度为1个单位的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．请仅用无刻度的直尺作图：（1）在图中画出与△ABC关于直线MN成轴对称的△A′B′C′；（不写画法）（2）请你判断△ABC的形状，并加以证明；（3）若点P是MN上的动点，求的最小值．21．如图，一次函数的图象与轴和轴分别交于点和，直线经过点与点(1)求点的坐标及直线的表达式；(2)在轴正半轴上有一动点，过点做轴的垂线与直线交于点，与直线交于点，若，求的值22．如图，在中，，，点D在边上运动（D不与A，B重合），连接，作，交与点E．

(1)当时，若，则．(2)当时，判断的形状，并说明理由．(3)在点D运动的过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出的度数；若不可以，请说明理由．23．（1）问题提出如图①，在中，，点D，E分别是的中点．若点M，N分别是和上的动点，则的最小值是______．（2）问题探究如图②，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥（与河床垂直），桥造在何处，才能使从A到B的路径最短．博琳小组针对该问题展开讨论，小旭同学认为：过A作河岸的垂线，使，为河宽，连接，与河的一岸交于点N，此时在点N处建桥，可使从A到B的路径最短．你认为小旭的说法正确吗？请说明理由．（3）问题解决如图③，在矩形中，．E、F分别在上，且满足，．若边长为10的正方形在线段上运动，连接，当取值最小时，求的长．

24．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（1，0）、B（4，0），与y轴交于点C，直线经过B，C两点，（1）求二次函数的解析式；（2）设点Q是抛物线上一点，当Q在直线BC的下方时，△BCQ的面积为4，求点Q的坐标；（3）过（2）中的点Q作QEy轴，交x轴于点E．点M是抛物线x轴上方的一个动点，是否存在以E、M、N三点为顶点的直角三角形（其中M为直角顶点）与△BOC相似？如果存在，求出满足条件的M的坐标；如果不存在，请说明理由．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《初中数学中考试题》参考答案题号12345678答案CDBBAADA1．C【分析】根据题意列出算式进行计算．【详解】解：-2023+1=-（2023-1）=-2022，故选：C．【点睛】本题考查有理数的加法运算，理解有理数加法运算法则（同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．异号两数相加，绝对值相等时，和为零；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同零相加仍得这个数）是解题关键．2．D【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【详解】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，故选：D．【点睛】本题考查了简答组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．3．B【分析】本题主要考查了平面镶嵌，判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角．若能构成，则说明能够进行平面镶嵌；反之则不能，据此逐一判断即可．【详解】解：A、正五边形的一个内角度数为，不能整除，不能进行平面镶嵌，不符合题意；B、正六边形的一个内角度数为，能整除，能进行平面镶嵌，符合题意；C、正十边形的一个内角度数为，不能整除，不能进行平面镶嵌，不符合题意；D、正十一边形的一个内角度数为，不能整除，不能进行平面镶嵌，不符合题意；故选B．4．B【分析】根据积的乘方、平方差公式、完全平方公式和多项式乘多项式运算法则进行计算即可．【详解】解：A.，故该选项错误；B.，故该选项正确；C.，故该选项错误；D.，故该选项错误．故选：B．【点睛】本题主要考查完全平方公式，平方差公式，多项式乘法，积的乘方，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键．5．A【分析】根据不等式的性质：（1）不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；（2）不等式两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边同时乘(或除以)同一个负数，不等式的方向改变；据此判断即可．【详解】A．因为a＞b，所以c+a＞c+b，故本选项符合题意；B．因为a＞b，所以﹣a＜﹣b，所以c﹣a＜c﹣b，故本选项不合题意；C．不妨设c＝﹣1，则ac＜bc，故本选项不合题意；D．不妨设a＝1，b=-2则a2＜b2，故本选项不合题意；故选：A．【点睛】本题考查了不等式的性质，解决本题的关键是掌握不等式的性质．6．A【分析】根据锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解．【详解】解：在中，，．，，．，故选A．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．7．D【分析】根据用尺规作一个角等于已知角的性质分析，即可得到答案．【详解】根据题意，●表示点O，故选项A不正确；◎表示OP或OQ，故选项B不正确；⊙表示PQ，故选项C不正确；表示射线EF，故选项D正确；故选：D．【点睛】本题考查了角的知识；解题的关键是熟练掌握用尺规作一个角等于已知角的性质，从而完成求解．8．A【分析】由圆周角定理得，证明，可求出，再利用勾股定理求出，进而可得答案【详解】∵点A是弧的中点，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，在中，由勾股定理得，，∴，故选A．【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，证明是解题的关键．9．/【分析】本题考查了单项式的系数、次数，先根据单项式求出系数和次数，然后求和即可，正确计算是解题的关键．【详解】解：单项式的系数为：，的指数为：2，的指数为：1，∴，故答案为：．10．【分析】先进行二次根式的化简，再合并二次根式即可求解．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确化简二次根式是解决此类问题的关键．11．【分析】根据二次函数满足的条件先求出a的取值范围，然后再由一元二次方程有解，确定a，b满足的范围，再根据概率公式求解即可．【详解】解：∵二次函数y＝x2﹣（a+5）x+3，二次项系数为1，大于0，∴抛物线开口向上，对称轴为直线，∵要使得当x≤1时，y随x的增大而减小，∴应满足，解得：；∵一元二次方程（a+2）x2+bx+1＝0有解，∴且，∴且，∴由题意可知，a仅能取-3或1，当时，，∴b取﹣4，﹣3，﹣2，1时，均满足；当时，，∴仅有b取﹣4时，满足；综上分析，当时，b取﹣4，﹣3，﹣2，1，满足题意；当时，b取﹣4满足题意；共有5种情况满足题意；∵由题意可得，两次抽取共有16种情况发生，∴两次抽取后满足题意的概率为，故答案为：．【点睛】本题考查概率公式求解概率，涉及到二次函数的性质，一元二次方程的定义和根的判别式，理解二次函数的基本性质，掌握一元二次方程的根的判别式以及概率公式是解题关键．12．【分析】根据一次函数的增减性列出不等式，通过解该不等式即可求得的取值范围．【详解】解：由题意得，，解得，；故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系．在直线中，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．13．【分析】AB的中点E的运动轨迹是圆弧，根据弧长公式即可计算出点E所经过的路径长.【详解】解：面积是100的正方形ABCD的连长是10.∴AB=10∵E是AB的中点，在Rt△ABO中，OE=AB=5，OE=BE,∠BOE=∠ABO=40°∴∠AOE=50°∴点E经过的路径长为故答案为【点睛】本题考查弧长的计算和直角三角形的性质，能认识到E的运动轨迹是圆弧，并找到圆弧所在圆的半径和圆弧所对的圆心角是解题的关键.14．/【分析】连接，，，作交于点G．连接，．首先证明是等边三角形，再证明点在以为直径的圆上运动．得出当、、在同一直线时，长度最小，再求解可得结论．【详解】解：连接，，，作交于点G．连接，．由题知：沿着弦折叠，正好经过圆心，，，，，，，，，，是等边三角形，是中点，，又，是中点，即是斜边中线，，即点在以为直径的圆上运动．所以，当、、在同一直线时，长度最小，此时，，，的半径是4，即，，（勾股定理），．故答案为：．【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．15．【分析】将代数式化简成，从已知求得的值，代入求解即可．【详解】解：代数式，∵a是方程的一个根，∴，∴．【点睛】本题考查分式化简求值以及一元二次方程，结合已知条件化简代数式是解题的关键．16．(1)3;(2)【详解】【分析】（1）先求出球的总个数，再求红球个数；（2）用列举法求解.【详解】解：（1）3；（2）记两个白球分别为白1、白2，三个红球分别为红1、红2、红3．则所有基本事件：(白１、白2)、(白1、红1)、(白1，红2)、(白1，红3)、(白2、红1)、(白2、红2)、(白2、红3)、(红1、红2)、(红1、红3)、(红2、红3)共有10种等可能的情况

记事件“两个球的颜色相同”为A，事件A包括4个基本事件：(白１、白2)

(红1、红2)、(红1、红3)、(红2、红3).∴P(A)＝即从中任意摸出个球，两个球颜色相同的概率为.【点睛】本题考核知识点：概率.解题关键点：熟记概率的求法.17．每头牛值3两银子，每只羊值2两银子【分析】本题考查了方程组的应用，设每头牛值两银子，每只羊值两银子，列出方程组，求解即可．【详解】解：设每头牛值两银子，每只羊值两银子．根据题意，得，解得．答：每头牛值3两银子，每只羊值2两银子．18．(1)证明见解析(2)的长为3或4或【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理及新定义的运用能力．理解题中给的定义是解题的关键．（1）利用证明，得到，由定义可知点P是的准外心；（2）先利用勾股定理计算，再进行讨论：当P点在上，，当P点在上，，易得对应的值；当P点在上，，设，则，利用勾股定理得到，然后解方程得到此时的长．【详解】（1）证明：∵，∴，，∴，在和中，，∴，∴，∴点P是的准外心；（2）解：∵，，，∴，当P点在上，，则；当P点在上，，则，当P点在上，，如图2，设，则，在中，，解得，即此时，综上所述，的长为3或4或．19．（1）18；27；（2）92.7；93；（3）480人【分析】（1）根据图表中的数据求解即可；（2）分别算出七、八年级所有人的总分之和，再除以人数即可；（3）用1600乘以七年级中答对20题的人数占100的比例即可．【详解】解：（1）a=100-8-15-27-32=18，再由折线图可知：b=27，故答案为：18；27；（2）七年级：（10×16+13×17+20×18+27×19+30×20）×5÷100=92.7（分）八年级：（8×16+15×17+18×18+27×19+32×20）×5÷100=93（分），∴七年级的平均成绩是92.7分，八年级的平均成绩是93分；（3）（人），∴该校七年级学生20题都答对的有480人．【点睛】本题考查了统计图表的应用，记住求平均数的方法及公式是关键．20．（1）见解析；（2）△ABC是等腰直角三角形，证明见解析；（3）【分析】（1）直接利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）直接利用勾股定理逆定理得出答案；（3）利用轴对称求最短路线的方法得出答案．【详解】解：（1）如图所示：△ABC关于MN的对称点是A'，B'，C'，即可得解，图中所作△A′B′C′即为所求；（2）由题可知：∵AB2＝12+42＝17，BC2＝12+42＝17，AC2＝32+52＝34，∴AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是等腰直角三角形；（3）连接A'B，与MN相交于点P，连接AP，，，∴A'B即为PA+PB的最小值，∴，故PA+PB的最小值是．【点睛】此题主要考查了应用设计与作图以及勾股定理等知识，正确利用轴对称求最短路线是解题关键．21．(1)，(2)【分析】（1）令中，得，得到点B的坐标，将点B，C的坐标代入，利用待定系数法求出函数解析式；（2）根据函数解析式得到点E，F的坐标，再利用列出等式求解即可．【详解】（1）解：令中，得，∴，将，代入，得，解得，∴；（2）∵过点做轴的垂线与直线交于点，与直线交于点，，∴，∴，解得．【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的应用，正确掌握待定系数法求出函数解析式是解题的关键．22．(1)(2)是直角三角形，理由见详解(3)或【分析】（1）先求出，根据，可得，进而可得，在中，可得，同理可得：，问题随之得解；（2）由得到，再由，得到，则是直角三角形；（3）分类讨论：当时，；当时，；当时，；然后利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行计算．【详解】（1）如图，

∵在中，，，∴，∵，∴，∵，∴，在中，，∴，同理可得：，∵，∴；（2）∵中，，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，

∴是直角三角形；（3）可以是等腰三角形．理由如下：①当时，，∴，∵，∴，②当时，，∵，∴，∴，③当时，，即，∵，∴此时，点D与点B重合，不合题意．综上，可以是等腰三角形，此时的度数为或．【点睛】本题考查了直角三角形的判定、等腰三角形的判定与性质、外角的性质以及含角的直角三角形的性质等，关键在于运用数形结合的思想，熟练地运用相关的性质定理，认真地进行计算．23．（1）3；（2）小旭的说法正确，理由见解析；（3）38或14【分析】（1）连接，过点A作于点F，根据两点之间线段最短，可得当时，最短，此时点N与点F重合，即的最小值为的长，再根据直角三角形的性质，即可求解；（2）根据题意可得四边形为平行四边形，从而得到，再根据“两点之间线段最短”，当点，N，B三点共线时，最短，即可求解；（3）过点N分别作，分别交于点H，G，连接交于点T，过点G作于点X，则，，证明四边形，四边形都是平行四边形，可得，从而得到当点H，T，G三点共线时，的值最小，此时点N与点T重合，然后证明，可得，可求得的长；过点Q分别作，分别交于点K，L，连接交于点S，当点K，S，L三点共线时，的值最小，此时点N与点S重合，同理可求出的长，即可求解．【详解】解：（1）如图，连接，过点A作于点F，

∴，当时，最短，此时点N与点F重合，即的最小值为的长，∵，∴，∴，∴的最小值为3；故答案为：3（2）解：小旭的说法正确，理由如下：根据题意得：，，∴四边形为平行四边形，∴，根据“两点之间线段最短”，当点，N，B三点共